Published in Lietuvos Matematikos Rinkinys, Vol. 46, No. 3, pp. 332–350, July–September, 2006.

Disertaciją sudaro mokslinių tyrimų medžiaga, kurie atlikti 2008 -2012 metais Vilniaus universitete Matematikos ir informatikos fakultete. Disertacijoje įrodomos naujos teoremos apie Lercho ir Selbergo dzeta funkcijų reikšmių pasiskirstymą, atliekami kompiuteriniai skaičiavimai matematine programa MATHEMATICA. Disertaciją sudaro įvadas, 3 skyriai, išvados ir literatūros sąrašas. Disertacijos rezultatai atspausdinti trijuose moksliniuose straipsniuose, Lietuvos ir užsienio žurnaluose, pristatyti Lietuvoje ir užsienyje vykusiose mokslinėse konferencijose bei katedros seminarų metu. Pirmajame skyriuje įrodinėjamos ribinės teoremos Lercho dzeta funkcijai. Praėjusio šimtmečio ketvirtame dešimtmetyje Selbergas įrodė, kad tinkamai normuotas Rymano dzeta funkcijos logaritmas ant kritinės tiesės turi standartinį normalųjį pasiskirstymą. Selbergo įrodymas rėmėsi Oilerio sandauga, kuria turi Rymano dzeta funkcija, bet bendru atveju jos neturi Lercho dzeta funkcija. Antrajame skyriuje įrodoma teorema apie Lercho transcendentinės funkcijos nulių įvertį vertikaliose kompleksinės plokštumos juostose bei atliekami kompiuteriniai nulių skaičiavimai srityje Re(s)>1 programa MATHEMATICA. Trečiajame skyriuje nagrinėjamos dviejų Selbergo dzeta funkcijų monotoniškumo savybės, kurios yra tiesiogiai susijusios su šių funkcijų nulių išsidėstymu kritinėje juostoje. Monotoniškumo savybės lyginamos su Rymano dzeta funkcijos monotoniškumo savybėmis ir nulių išsidėstymu, kuris yra viena didžiausių... [toliau žr. visą tekstą] / The doctoral dissertation contains the material of scientific investigations done in 2008-2012 in the Faculty of Mathematics and Informatics at Vilnius University. The dissertation includes new theorems for the value distribution of Lerch and Selberg zeta-functions and computer calculations performed using the computational software program MATHEMATICA. The dissertation consists of the introduction, 3 chapters, the conclusions and the references. The results of the thesis are published in three scientific articles in Lithuanian and foreign journals, reported in scientific conferences in Lithuania and abroad and at the seminars of the department. In the first chapter, the limit theorems for several cases of the Lerch zeta-functions are proved. In the 1940s, Selberg proved that suitably normalized logarithm of modulus of the Riemann zeta-function on the critical line has a standard normal distribution. Selberg's proof was based on the Euler product; however, in general, Lerch zeta-functions have no Euler product. In the second chapter, the theorem concerning the zero distribution of the Lerch transendent function is proved, and computer calculations of zeros in the region Re(s)>1 are performed using MATHEMATICA. In the third chapter, the monotonicity properties of Selberg zeta-functions are investigated. Monotonicity of these two functions is directly related to the location of zeros in the critical strip. The results are compared to the monotonicity... [to full text]

The doctoral dissertation contains the material of scientific investigations done in 2008-2012 in the Faculty of Mathematics and Informatics at Vilnius University. The dissertation includes new theorems for the value distribution of Lerch and Selberg zeta-functions and computer calculations performed using the computational software program MATHEMATICA. The dissertation consists of the introduction, 3 chapters, the conclusions and the references. The results of the thesis are published in three scientific articles in Lithuanian and foreign journals, reported in scientific conferences in Lithuania and abroad and at the seminars of the department. In the first chapter, the limit theorems for several cases of the Lerch zeta-functions are proved. In the 1940s, Selberg proved that suitably normalized logarithm of modulus of the Riemann zeta-function on the critical line has a standard normal distribution. Selberg's proof was based on the Euler product; however, in general, Lerch zeta-functions have no Euler product. In the second chapter, the theorem concerning the zero distribution of the Lerch transendent function is proved, and computer calculations of zeros in the region Re(s)>1 are performed using MATHEMATICA. In the third chapter, the monotonicity properties of Selberg zeta-functions are investigated. Monotonicity of these two functions is directly related to the location of zeros in the critical strip. The results are compared to the monotonicity... [to full text] / Disertaciją sudaro mokslinių tyrimų medžiaga, kurie atlikti 2008 -2012 metais Vilniaus universitete Matematikos ir informatikos fakultete. Disertacijoje įrodomos naujos teoremos apie Lercho ir Selbergo dzeta funkcijų reikšmių pasiskirstymą, atliekami kompiuteriniai skaičiavimai matematine programa MATHEMATICA. Disertaciją sudaro įvadas, 3 skyriai, išvados ir literatūros sąrašas. Disertacijos rezultatai atspausdinti trijuose moksliniuose straipsniuose, Lietuvos ir užsienio žurnaluose, pristatyti Lietuvoje ir užsienyje vykusiose mokslinėse konferencijose bei katedros seminarų metu. Pirmajame skyriuje įrodinėjamos ribinės teoremos Lercho dzeta funkcijai. Praėjusio šimtmečio ketvirtame dešimtmetyje Selbergas įrodė, kad tinkamai normuotas Rymano dzeta funkcijos logaritmas ant kritinės tiesės turi standartinį normalųjį pasiskirstymą. Selbergo įrodymas rėmėsi Oilerio sandauga, kuria turi Rymano dzeta funkcija, bet bendru atveju jos neturi Lercho dzeta funkcija. Antrajame skyriuje įrodoma teorema apie Lercho transcendentinės funkcijos nulių įvertį vertikaliose kompleksinės plokštumos juostose bei atliekami kompiuteriniai nulių skaičiavimai srityje Re(s)>1 programa MATHEMATICA. Trečiajame skyriuje nagrinėjamos dviejų Selbergo dzeta funkcijų monotoniškumo savybės, kurios yra tiesiogiai susijusios su šių funkcijų nulių išsidėstymu kritinėje juostoje. Monotoniškumo savybės lyginamos su Rymano dzeta funkcijos monotoniškumo savybėmis ir nulių išsidėstymu, kuris yra viena didžiausių... [toliau žr. visą tekstą]

Limit theorems in the sense of weak convergence of probability measures for the Lerch zeta-function with algebraic irrational parameter are obtained. A theorem of mentioned type on the complex plane, a joint limit theorem for a collection of Lerch zeta-functions on the complex plane as well as a limit theorem in the space of analytic functions are proved. The theorems obtained characterize the asymptotic behaviour of the Lerch zeta-function and can be applied in the investigation of the universality of that function. / Yra gautos Lercho dzeta funkcijos su algebriniu iracionaliuoju parametru ribinės teoremos silpno tikimybinių matų konvergavimo prasme. Yra įrodyta minėto tipo teorema kompleksinėje plokštumoje, jungtinė ribinė teorema Lercho dzeta funkcijų rinkiniui kompleksinėje plokštumoje ir teorema analizinių funkcijų erdvėje. Įrodytos teoremos charakterizuoja Lercho dzeta funkcijų asimptotinį elgesį ir gali būti taikomos šios funkcijos universalumui tirti.

Yra gautos Lercho dzeta funkcijos su algebriniu iracionaliuoju parametru ribinės teoremos silpno tikimybinių matų konvergavimo prasme. Yra įrodyta minėto tipo teorema kompleksinėje plokštumoje, jungtinė ribinė teorema Lercho dzeta funkcijų rinkiniui kompleksinėje plokštumoje ir teorema analizinių funkcijų erdvėje. Įrodytos teoremos charakterizuoja Lercho dzeta funkcijų asimptotinį elgesį ir gali būti taikomos šios funkcijos universalumui tirti. / Limit theorems in the sense of weak convergence of probability measures for the Lerch zeta-function with algebraic irrational parameter are obtained. A theorem of mentioned type on the complex plane, a joint limit theorem for a collection of Lerch zeta-functions on the complex plane as well as a limit theorem in the space of analytic functions are proved. The theorems obtained characterize the asymptotic behaviour of the Lerch zeta-function and can be applied in the investigation of the universality of that function.