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Processos estocásticos complexos são muitas vezes utilizados em modelagem, com o intuito de capturar uma maior proporção das principais características dos sistemas biológicos. A descrição do comportamento desses sistemas tem sido realizada por muitos amostradores baseados na distribuição a posteriori de Monte Carlo. Modelos probabilísticos que descrevem esses processos podem levar a funções de verossimilhança computacionalmente intratáveis, impossibilitando a utilização de métodos de inferência estatística clássicos e os baseados em amostragem por meio de MCMC. A Computação Bayesiana Aproximada (ABC) é considerada um novo método de inferência com base em estatísticas de resumo, ou seja, valores calculados a partir do conjunto de dados (média, moda, variância, etc.). Essa metodologia combina muitas das vantagens da eficiência computacional de processos baseados em estatísticas de resumo com inferência estatística bayesiana uma vez que, funciona bem para pequenas amostras e possibilita incorporar informações passadas em um parâmetro e formar uma priori para análise futura. Nesse trabalho foi realizada uma comparação entre os métodos de estimação, clássico, bayesiano e ABC, para estudos de simulação de modelos simples e para análise de dados de dinâmica populacional. Foram implementadas no software R as distâncias modular e do máximo como alternativas de função distância a serem utilizadas no ABC, além do algoritmo ABC de rejeição para equações diferenciais estocásticas. Foi proposto sua utilização para a resolução de problemas envolvendo modelos de interação populacional. Os estudos de simulação mostraram melhores resultados quando utilizadas as distâncias euclidianas e do máximo juntamente com distribuições a priori informativas. Para os sistemas dinâmicos, a estimação por meio do ABC apresentou resultados mais próximos dos verdadeiros bem como menores discrepâncias, podendo assim ser utilizado como um método alternativo de estimação. / Complex stochastic processes are often used in modeling in order to capture a greater proportion of the main features of natural systems. The description of the behavior of these systems has been made by many Monte Carlo based samplers of the posterior distribution. Probabilistic models describing these processes can lead to computationally intractable likelihood functions, precluding the use of classical statistical inference methods and those based on sampling by MCMC. The Approxi- mate Bayesian Computation (ABC) is considered a new method for inference based on summary statistics, that is, calculated values from the data set (mean, mode, variance, etc.). This methodology combines many of the advantages of computatio- nal efficiency of processes based on summary statistics with the Bayesian statistical inference since, it works well for small samples and it makes possible to incorporate past information in a parameter and form a prior distribution for future analysis. In this work a comparison between, classical, Bayesian and ABC, estimation methods was made for simulation studies considering simple models and for data analysis of population dynamics. It was implemented in the R software the modular and maxi- mum as alternative distances function to be used in the ABC, besides the rejection ABC algorithm for stochastic differential equations. It was proposed to use it to solve problems involving models of population interaction. The simulation studies showed better results when using the Euclidean and maximum distances together with informative prior distributions. For the dynamic systems, the ABC estimation presented results closer to the real ones as well as smaller discrepancies and could thus be used as an alternative estimation method.

Processos estocásticos complexos são muitas vezes utilizados em modelagem, com o intuito de capturar uma maior proporção das principais características dos sistemas biológicos. A descrição do comportamento desses sistemas tem sido realizada por muitos amostradores baseados na distribuição a posteriori de Monte Carlo. Modelos probabilísticos que descrevem esses processos podem levar a funções de verossimilhança computacionalmente intratáveis, impossibilitando a utilização de métodos de inferência estatística clássicos e os baseados em amostragem por meio de MCMC. A Computação Bayesiana Aproximada (ABC) é considerada um novo método de inferência com base em estatísticas de resumo, ou seja, valores calculados a partir do conjunto de dados (média, moda, variância, etc.). Essa metodologia combina muitas das vantagens da eficiência computacional de processos baseados em estatísticas de resumo com inferência estatística bayesiana uma vez que, funciona bem para pequenas amostras e possibilita incorporar informações passadas em um parâmetro e formar uma priori para análise futura. Nesse trabalho foi realizada uma comparação entre os métodos de estimação, clássico, bayesiano e ABC, para estudos de simulação de modelos simples e para análise de dados de dinâmica populacional. Foram implementadas no software R as distâncias modular e do máximo como alternativas de função distância a serem utilizadas no ABC, além do algoritmo ABC de rejeição para equações diferenciais estocásticas. Foi proposto sua utilização para a resolução de problemas envolvendo modelos de interação populacional. Os estudos de simulação mostraram melhores resultados quando utilizadas as distâncias euclidianas e do máximo juntamente com distribuições a priori informativas. Para os sistemas dinâmicos, a estimação por meio do ABC apresentou resultados mais próximos dos verdadeiros bem como menores discrepâncias, podendo assim ser utilizado como um método alternativo de estimação. / Complex stochastic processes are often used in modeling in order to capture a greater proportion of the main features of natural systems. The description of the behavior of these systems has been made by many Monte Carlo based samplers of the posterior distribution. Probabilistic models describing these processes can lead to computationally intractable likelihood functions, precluding the use of classical statistical inference methods and those based on sampling by MCMC. The Approxi- mate Bayesian Computation (ABC) is considered a new method for inference based on summary statistics, that is, calculated values from the data set (mean, mode, variance, etc.). This methodology combines many of the advantages of computatio- nal efficiency of processes based on summary statistics with the Bayesian statistical inference since, it works well for small samples and it makes possible to incorporate past information in a parameter and form a prior distribution for future analysis. In this work a comparison between, classical, Bayesian and ABC, estimation methods was made for simulation studies considering simple models and for data analysis of population dynamics. It was implemented in the R software the modular and maxi- mum as alternative distances function to be used in the ABC, besides the rejection ABC algorithm for stochastic differential equations. It was proposed to use it to solve problems involving models of population interaction. The simulation studies showed better results when using the Euclidean and maximum distances together with informative prior distributions. For the dynamic systems, the ABC estimation presented results closer to the real ones as well as smaller discrepancies and could thus be used as an alternative estimation method.

Natural history models for breast cancer describe the unobservable disease progression. These models can either be fitted using likelihood-based estimation to data on individual tumour characteristics, or calibrated to fit statistics at a population level. Likelihood-based inference using individual level data has the advantage of ensuring model parameter identifiability. However, the likelihood function can be computationally heavy to evaluate or even intractable. In this thesis likelihood-free estimation using Approximate Bayesian Computation (ABC) will be explored. The main objective is to investigate whether ABC can be used to fit models to data collected in the presence of mammography screening. As a background, a literature review of ABC is provided. As a first step an ABC-MCMC algorithm is constructed for two simple models both describing populations in absence of mammography screening, but assuming different functional forms of tumour growth. The algorithm is evaluated for these models in a simulation study using synthetic data, and compared with results obtained using likelihood-based inference. Later, it is investigated whether ABC can be used for the models in presence of screening. The findings of this thesis indicate that ABC is not directly applicable to these models. However, by including a sub-model for tumour onset and assuming that all individuals in the population have the same screening attendance it was possible to develop an ABC-MCMC algorithm that carefully takes individual level data into consideration in the estimation procedure. Finally, the algorithm was tested in a simple simulation study using synthetic data. Future research is still needed to evaluate the statistical properties of the algorithm (using extended simulation) and to test it on observational data where previous estimates are available for reference. / Natural history models för bröstcancer är statistiska modeller som beskriver det dolda sjukdomsförloppet. Dessa modeller brukar antingen anpassas till data på individnivå med likelihood-baserade metoder, eller kalibreras mot statistik för hela populationen. Fördelen med att använda data på individnivå är att identifierbarhet hos modellparametrarna kan garanteras. För dessa modeller händer det dock att det är beräkningsintensivt eller rent utav omöjligt att evaluera likelihood-funktionen. Huvudsyftet med denna uppsats är att utforska huruvida metoden Approximate Bayesian Computation (ABC), som används för skattning av statistiska modeller där likelihood-funktionen inte är tillgänglig, kan implementeras för en modell som beskriver bröstcancer hos individer som genomgår mammografiscreening. Som en del av bakgrunden presenteras en sammanfattning av modern ABC-forskning. Metoden består av två delar. I den första delen implementeras en ABC-MCMC algoritm för två enklare modeller. Båda dessa modeller beskriver tumörtillväxten hos individer som ej genomgår mammografiscreening, men modellerna antar olika typer av tumörtillväxt. Algoritmen testades i en simulationsstudie med syntetisk data genom att jämföra resultaten med motsvarande från likelihood-baserade metoder. I den andra delen av metoden undersöks huruvida ABC är kompatibelt med modeller för bröstcancer hos individer som genomgår screening. Genom att lägga till en modell för uppkomst av tumörer och göra det förenklande antagandet att alla individer i populationen genomgår screening vid samma ålder, kunde en ABC-MCMC algoritm utvecklas med hänsyn till data på individnivå. Algoritmen testades sedan i en simulationsstudie nyttjande syntetisk data. Framtida studier behövs för att undersöka algoritmens statistiska egenskaper (genom upprepad simulering av flera dataset) och för att testa den mot observationell data där tidigare parameterskattningar finns tillgängliga.