La CSI (Coherence Scanning Interferometry) ou la WLSI (White Light Scanning Interferometry) est une technique d'imagerie optique bien établie pour mesurer la rugosité de surface et la forme des surfaces microscopiques. Les avantages sont la sensibilité axiale nanométrique, un large champ de vision (des centaines de μm à plusieurs mm) et la vitesse de mesure (quelques secondes à quelques minutes). La technique est basée sur l'interférométrie optique avec une configuration de Linnik très difficile à ajuster mais elle présente plusieurs avantages: des objectifs d'ouverture numérique plus élevés pour améliorer la résolution spatiale; longue distance de travail, car il n'y a aucun besoin de l'un des composants devant l'objectif; une configuration de mode de lumière polarisée; franges contrastées en raison de la possibilité de modifier les voies optiques et les intensités des deux bras indépendamment. Alors que l'utilisation d'un objectif d'immersion dans l'eau présente les avantages suivants: éviter les problèmes liés à l'ajustement entre la formation des franges et le plan de formation de l'image; et pour minimiser la différence de dispersion entre les bras de l'interféromètre. Afin de pouvoir mesurer en mode eau et d'obtenir des échantillons à haute résolution latérale de types chimiques et biologiques, plusieurs défis doivent être surmontés tels que l'équilibrage de l'OPD sur les deux bras; trouver et ajuster les bonnes franges de contraste; trouver et adapter une compensation adéquate de l'eau dans le bras de référence horizontal pour faire fonctionner un système dans l'eau. / Coherence Scanning Interferometry (CSI) or White Light Scanning Interferometry (WLSI) is a well-established optical imaging technique for measuring the surface roughness and the shape of microscopic surfaces. The advantages are the nanometric axial sensitivity, a wide field of view (hundreds of μm to several mm) and the measurement speed (a few seconds to a few minutes). The technique is based on optical interferometry with a Linnik configuration which very difficult to adjust but it offers several advantages: higher numerical aperture objectives to improve spatial resolution; long working distance, because there is no need for any of the components in front of the lens; a polarized light mode configuration; contrasting fringes because of the possibility of modifying the optical pathways and the intensities of the two arms independently. While the use of a water-immersion objective gives the following advantages: to avoid the problems related to the adjustment between the formation of the fringes and the plane of formation of the image; and to minimize the difference in dispersion between the arms of the interferometer. In order to be able to measure in water mode and to obtain high lateral resolution samples of chemical and biological types, several challenges must be overcome such as balancing the OPD on both arms; finding and adjusting the good contrast fringes; finding and adapting a suitable water compensation of water in horizontal reference arm to operate a system in water.

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Cette thèse se compose de deux projets. Le premier concerne la structure des fonctions multiplicatives dont les moyennes sont petites. En particulier, dans ce projet, nous établissons le comportement moyen des valeurs \(f(p)\) de \(f\) aux nombres premiers pour des fonctions \(f\) multiplicatives appropriées lorsque leurs sommes partielles \(\sum_{n\leqslant x}f(n)\) sont plus petites que leur borne supérieure triviale par un facteur d′une puissance de \(\log x\). Ce résultat poursuit un travail antérieur de Koukoulopoulos et Soundararajan et il est construit sur des idées provenant du traitement plus soigné de Koukoulopoulos sur le cas special des fonctions multiplicatives bornées. Le deuxième projet de la thèse est inspiré par un analogue d’une estimation que Linnik a déduit dans sa tentative de prouver son célèbre théorème concernant la taille du plus petit nombre premier d’une progression arithmétique. Cette estimation fournit une formule asymptotique fortement uniforme pour les sommes de la fonction de von Mangoldt \(\Lambda\) sur les progressions arithmétiques. Dans la littérature, ses preuves existantes utilisent des informations non triviales sur les zéros des fonctions \(L\) de Dirichlet \(L(\cdot,\chi)\) et le but du deuxième projet est de présenter une approche différente, plus élémentaire qui récupère cette estimation en évitant la “langue” de ces zéros. Pour le développement de cette méthode alternative, nous utilisons des idées qui apparaissent dans le grand crible prétentieux (pretentious large sieve) de Granville, Harper et Soundararajan. De plus, comme dans le cas du premier projet, nous empruntons également des idées du travail de Koukoulopoulos sur la structure des fonctions multiplicatives bornées à petites moyennes. / This thesis consists of two projects. The first one is concerned with the structure of multiplicative functions whose averages are small. In particular, in this project, we establish the average behaviour of the prime values \(f(p)\) for suitable multiplicative functions \(f\) when their partial sums \(\sum_{n\leqslant x}f(n)\) admit logarithmic cancellations over their trivial upper bound. This result extends previous related work of Koukoulopoulos and Soundararajan and it is built upon ideas coming from the more careful treatment of Koukoulopoulos on the special case of bounded multiplicative functions. The second project of the dissertation is inspired by an analogue of an estimate that Linnik deduced in his attempt to prove his celebrated theorem regarding the size of the smallest prime number of an arithmetic progression. This estimate provides a strongly uniform asymptotic formula for the sums of the von Mangoldt function \(\Lambda\) on arithmetic progressions. In the literature, its existing proofs involve non-trivial information about the zeroes of Dirichlet \(L\)-functions \(L(\cdot,\chi)\) and the purpose of the second project is to present a different, more elementary approach which recovers this estimate by avoiding the “language” of those zeroes. For the development of this alternative method, we make use of ideas that appear in the pretentious large sieve of Granville, Harper and Soundararajan. Moreover, as in the case of the first project, we also borrow insights from the work of Koukoulopoulos on the structure of bounded multiplicative functions with small averages.