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Let X be a compact metric space, and Lip(X) is the space of all bounded real-valued Lipschitz functions on X. A linear map T:Lip(X)->Lip(Y) is called disjointness preserving if fg=0 in Lip(X) implies TfTg=0 in Lip(Y). We prove that a biseparating linear bijection T(i.e. T and T^-1 are separating) is a weighted composition operator Tf=hf¡³£p, f is Lipschitz space from X onto R, £p is a homeomorphism from Y onto X, and h(y) is a Lipschitz function in Y.

Thesis (M.S.)--University of Missouri-Columbia, 2008. / The entire dissertation/thesis text is included in the research.pdf file; the official abstract appears in the short.pdf file (which also appears in the research.pdf); a non-technical general description, or public abstract, appears in the public.pdf file. Title from title screen of research.pdf file (viewed on September 19, 2008) Includes bibliographical references.

Ce travail de thèse s’intéresse au problème d’optimisation séquentielle d’une fonction inconnue définie sur un ensemble continu et borné. Ce type de problème apparaît notamment dans la conception de systèmes complexes, lorsque l’on cherche à optimiser le résultat de simulations numériques ou plus simplement lorsque la fonction que l’on souhaite optimiser ne présente aucune forme de régularité évidente comme la linéarité ou la convexité. Dans un premier temps, nous nous focalisons sur le cas particulier des fonctions lipschitziennes. Nous introduisons deux nouvelles stratégies ayant pour but d’optimiser n’importe quelle fonction de coefficient de Lipschitz connu puis inconnu. Ensuite, en introduisant différentes mesures de régularité, nous formulons et obtenons des résultats de consistance pour ces méthodes ainsi que des vitesses de convergence sur leurs erreurs d’approximation. Dans une seconde partie, nous nous proposons d’explorer le domaine de l’ordonnancement binaire dans le but de développer des stratégies d’optimisation pour fonctions non régulières. En observant que l’apprentissage de la règle d’ordonnancement induite par la fonction inconnue permet l’identification systématique de son optimum, nous faisons le lien entre théorie de l’ordonnancement et théorie de l’optimisation, ce qui nous permet de développer de nouvelles méthodes reposant sur le choix de n’importe quelle technique d’ordonnancement et de formuler différents résultats de convergence pour l’optimisation de fonctions non régulières. Enfin, les stratégies d’optimisation développées au cours de la thèse sont comparées aux méthodes présentes dans l’état de l’art sur des problèmes de calibration de systèmes d’apprentissages ainsi que sur des problèmes synthétiques fréquemment rencontrés dans le domaine de l’optimisation globale. / This work addresses the sequential optimization of an unknown and potentially non-convex function over a continuous and bounded set. These problems are of particular interest when evaluating the function requires numerical simulations with significant computational cost or when the objective function does not satisfy the standard properties used in optimization such as linearity or convexity. In a first part, we consider the problem of designing sequential strategies which lead to efficient optimization of an unknown function under the only assumption that it has finite Lipschitz constant. We introduce and analyze two strategies which aim at optimizing any function with fixed and unknown Lipschitz constant. Consistency and minimax rates for these algorithms are proved, as well as fast rates under an additional Hölder like condition. In a second part, we propose to explore concepts from ranking theory based on overlaying level sets in order to develop optimization methods that do not rely on the smoothness of the function. We observe that the optimization of the function essentially relies on learning the bipartite rule it induces. Based on this idea, we relate global optimization to bipartite ranking which allows to address the cases of functions with weak regularity properties. Novel meta algorithms for global optimization which rely on the choice of any bipartite ranking method are introduced and theoretical properties are provided in terms of statistical consistency and finite-time convergence toward the optimum. Eventually, the algorithms developed in the thesis are compared to existing state-of-the-art methods over typical benchmark problems for global optimization.

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Le thème central de cette thèse est l'étude de plongements d'espaces métriques dans des espaces de Banach. La première étude concerne les plongements grossièrement Lipschitz entre les espaces de James Jp pour p≻1 et p fini. On obtient que, pour p,q différents, Jq ne se plonge pas grossièrement Lipschitz dans Jp. Nous avons également obtenu, dans le cas où q≺p, une majoration de l'exposant de compression de Jq dans Jp par q/p. La question naturelle qui se pose ensuite est de savoir si le résultat obtenu pour les espaces de James est vrai aussi en ce qui concerne leurs duaux. Nous obtenons que, pour p,q différents, Jp* ne se plonge pas grossièrement lipschitz dans Jq*. Suite à ce travail, on établit des résultats plus généraux sur la non-plongeabilité des espaces de Banach q-AUS dans les espaces de Banach p-AMUC pour p≺q. On en déduit aussi, à l'aide d'un théorème de renormage, un résultat sur les indices de Szlenk. Par ailleurs, on obtient un résultat sur la plongeabilité quasi-Lipschitz dont la définition diffère légèrement de la plongeabilité presque Lipschitz : pour deux espaces de Banach X et Y, si, pour C≻1, X est C-finiment crûment représentable dans tout sous-espace vectoriel de codimension finie de Y, alors tout sous-espace propre M de X se plonge quasi-Lipschitz dans Y. Pour conclure, on obtient le corollaire suivant : soient X et Y deux espaces de Banach tels que X est localement minimal et Y est finiment crûment représentable dans X. Alors, pour M sous-espace propre de Y, M se plonge quasi-Lipschitz dans X. / The central theme of this thesis is the study of embeddings of metric spaces into Banach spaces.The first study focuses on the coarse Lipschitz embeddings between James Spaces Jp for p≻1 and p finite. We obtain that, for p,q different, Jq does not coarse Lipschitz embed into Jp. We also obtain, in the case where q≺p, that the compression exponent of Jq in Jp is lower or equal to q/p. Another natural question is to know whether we have similar results for the dual spaces of James spaces. We obtain that, for p,q different, Jp* does not coarse Lipschitz embed into Jq*. Further to this work, we establish a more general result about the coarse Lipschitz embeddability of a Banach space which has a q-AUS norm into a Banach space which has a p-AMUC norm for p≺q. With the help of a renorming theorem, we deduce also a result about the Szlenk index. Moreover, after defining the quasi-Lipschitz embeddability, which is slightly different to the almost Lipschitz embeddability, we obtain the following result: For two Banach spaces X, if X is crudely finitely representable with constant C (where C≻1) in any subspace of Y of finite codimension, then every proper subset M of X quasi-Lipschitz embeds into Y. To conclude, we obtain the following corollary: Let X be a locally minimal Banach space, and Y be a Banach space which is crudely finitely representable in X. Then, for M a proper subspace of Y, M quasi-Lipschitz embeds into X.

<p> A class of Banach algebras which generalize the idea of the Lipschitz algebra on a metric space is studied. It is shown that homomorphisms of these algebras correspond to mappings of the underlying space which satisfy certain moduli of continuity. The relation is expressed in categorical terms, and application is made to the theory of quasiconformal mapping. </p> / Thesis / Doctor of Philosophy (PhD)

[ES] Los espacios libres Lipschitz F(M) son linearizaciones canónicas de espacios métricos M cualesquiera. Más concretamente, F(M) es el único espacio de Banach que contiene una copia isométrica de M que es linearmente densa, y tal que toda aplicación Lipschitz de M en cualquier espacio de Banach X puede extenderse a un operador linear continuo de F(M) en X. Estos espacios suponen una herramienta muy potente para el estudio de la geometría no lineal de espacios de Banach, al permitir la aplicación de las técnicas lineales clásicas, bien conocidas, a problemas no lineales. Pero este esfuerzo sólo merece la pena si se dispone de un conocimiento lo bastante detallado de la estructura de F(M). El estudio sistemático de los espacios libres Lipschitz es bastante reciente y, por ello, dicho conocimiento es todavía más bien limitado. Esta tesis se enmarca en el programa general de estudio de la estructura espacios libres Lipschitz genéricos. Empezamos nuestro estudio desarrollando algunas herramientas básicas para la teoría general de espacios libres Lipschitz. Primero definimos operadores de ponderación en espacios Lipschitz y los usamos para demostrar la conjetura de Weaver de que todos los funcionales normales del bidual F(M)** son débil* continuos. A continuación demostramos el teorema de la intersección, que en esencia dice que la intersección de espacios libres Lipschitz es de nuevo un espacio libre Lipschitz. Este resultado nos permite desarrollar el concepto de soporte de un elemento de F(M), análogo al de soporte de una medida. Además, extendemos el uso de estas herramientas al bidual F(M) y las usamos para establecer una descomposición del bidual en espacios de funcionales que están "concentrados en el infinito" y "separados del infinito", respectivamente. Con estas herramientas en nuestro poder, emprendemos el estudio de dos aspectos concretos de los espacios libres Lipschitz. En primer lugar analizamos la relación entre F(M) y los espacios de medidas sobre M. En particular, obtenemos caracterizaciones de los elementos de F(M) que pueden representarse como la integración con respecto a una medida de Borel (no necesariamente finita) sobre M y viceversa, y probamos que el soporte coincide con el de la medida asociada. También identificamos los espacios métricos M en los cuales todo elemento de F(M) puede ser representado como una medida de Borel. Este análisis se generaliza al bidual F(M)**, utilizando en este caso medidas sobre la compactificación uniforme de M y llegando a resultados similares. Obtenemos también algunas consecuencias para los elementos de F(M) y F(M)** que pueden expresarse como diferencia de dos elementos positivos, como la existencia de un análogo de la descomposición de Jordan para medidas. En segundo lugar, estudiamos la estructura extremal de la bola unidad de F(M) y hacemos algunas contribuciones al programa general consistente en encontrar caracterizaciones puramente geométricas de todos sus elementos extremales. Concretamente, caracterizamos los puntos extremos preservados de la bola, así como aquellos puntos extremos y expuestos que tienen soporte finito. Además damos una descripción completa de la estructura extremal de la parte positiva de la bola unidad. La teoría de los soportes en F(M) desarrollada anteriormente juega un papel crucial en las demostraciones de estos resultados. / [CA] Els espais lliures Lipschitz F(M) són linearitzacions canòniques d'espais mètrics M qualssevol. Més concretament, F(M) és l'únic espai de Banach que conté una còpia isomètrica de M que és linealment densa, i tal que tota aplicació Lipschitz de M en qualsevol espai de Banach X pot ser estesa a un operador lineal continu de F(M) en X. Aquests espais són una eina molt potent per a l'estudi de la geometria no lineal d'espais de Banach, ja que permeten l'aplicació de les tècniques lineals clàssiques, ben conegudes, a problemes no lineals. Però aquest esforç nomes val la pena si es disposa d'un coneixement bastant detallat de l'estructura de F(M). L'estudi sistemàtic dels espais lliures Lipschitz és bastant recent i, per això, aquest coneixement és encara prou limitat. Aquesta tesi s'emmarca en el programa general d'estudi de l'estructura dels espais lliures Lipschitz genèrics. Comencem el nostre estudi desenvolupant algunes eines bàsiques per a la teoria general d'espais lliures Lipschitz. Primer definim operadors de ponderació en espais Lipschitz i els fem servir per demostrar la conjectura de Weaver que tots els funcionals normals del bidual F(M)** son feble* continus. A continuació demostrem el teorema de la intersecció, que en essència diu que la intersecció d'espais lliures Lipschitz és de nou un espai lliure Lipschitz. Aquest resultat ens permet desenvolupar el concepte de suport d'un element de F(M), anàleg al de suport d'una mesura. A més, estenem l'ús d'aquestes eines al bidual F(M)** i les fem servir per establir una descomposició del bidual en espais de funcionals que estan "concentrats a l'infinit" i "separats de l'infinit", respectivament. Amb aquestes eines al nostre abast, emprenem l'estudi de dos aspectes concrets dels espais lliures Lipschitz. En primer lloc, analitzem la relació entre F(M) i els espais de mesures sobre M. En particular, obtenim caracteritzacions dels elements de F(M) que poden representar-se com la integració respecte a una mesura de Borel (no necessàriament finita) sobre M i viceversa, i provem que el suport coincideix amb el de la mesura associada. També identifiquem els espais mètrics M on tot element de F(M) pot ser representat com una mesura de Borel. Aquesta anàlisi es generalitza al bidual F(M)**, utilitzant en aquest cas mesures sobre la compactificació uniforme de M i arribant a resultats similars. També obtenim algunes conseqüències per als elements de F(M) i F(M)** que poden expressar-se com a diferència de dos elements positius, com ara l'existència d'un anàleg de la descomposició de Jordan per a mesures. En segon lloc, estudiem l'estructura extremal de la bola unitat de F(M) i fem algunes contribucions al programa general consistent en trobar caracteritzacions purament geomètriques de tots els seus elements extremals. Concretament, caracteritzem els punts extrems preservats de la bola, així com aquells punts extrems i exposats que tenen suport finit. A més fem una descripció completa de l'estructura extremal de la part positiva de la bola unitat. La teoria dels suports en F(M) desenvolupada anteriorment juga un paper crucial en les demostracions d'aquests resultats. / [EN] Lipschitz-free spaces F(M) are canonical linearizations of arbitrary complete metric spaces M. More specifically, F(M) is the unique Banach space that contains an isometric copy of M that is linearly dense, and such that any Lipschitz mapping from M into some Banach space X extends to a bounded linear operator from F(M) into X. Those spaces are a very powerful tool for studies of the nonlinear geometry of Banach spaces, as they allow the application of well-known classical linear techniques to nonlinear problems. But this effort is only worthwhile if we have sufficient knowledge about the structure of F(M). The systematic study of Lipschitz-free spaces is rather recent and so the current understanding of their structure is still quite limited. This thesis is framed within the general program of studying the structure of general Lipschitz-free spaces. We start our study by developing some basic tools for the general theory of Lipschitz-free spaces. First we introduce weighting operators and use them to solve Weaver's conjecture that all normal functionals in the bidual F(M)** are weak* continuous. Next we prove the intersection theorem, which essentially says that the intersection of Lipschitz-free spaces is again a Lipschitz-free space. That result allows us to develop the concept of support of an element of F(M), analogous to the support of a measure. Furthermore, we extend the use of these tools to the bidual F(M)** and apply them to establish a decomposition of the bidual into spaces of functionals that are "concentrated at infinity" and "separated from infinity", respectively. With these tools at our disposal, we undertake the study of two particular aspects of Lipschitz-free spaces. First we analyze the relationship between F(M) and spaces of measures on M. In particular, we obtain characterizations of those elements of F(M) that can be represented as integration against a (not necessarily finite) Borel measure on M and vice versa, and we show that their supports agree. We also identify those metric spaces such that every element of F(M) can be represented by a Borel measure. This analysis is generalized to the bidual F(M)**, using measures on the uniform compactification of M in that case and obtaining similar results. We also derive some consequences for those elements of F(M) and F(M)** that can be expressed as the difference between two positive elements, such as the existence of an analog of the Jordan decomposition for measures. Secondly, we study the extremal structure of the unit ball of F(M) and provide some contributions to the general program of finding purely geometric characterizations of all of its extremal elements. Namely, we characterize all of its preserved extreme points, and its extreme and exposed points of finite support. We also give a full description of the extremal structure of the positive unit ball. The theory of supports developed previously plays a crucial role in the proofs of these results / The author would like to thank Marek Cúth, Michal Doucha, Antonio José Guirao, Gilles Lancien and Eva Pernecká for their careful reading and correction of this document or parts of it. Some activities related to this thesis were partially supported by the Spanish Ministry of Economy, Industry and Competitiveness under Grant MTM2017-83262-C2-2-P, and by a travel grant of the Institute of Mathematics (IEMath-GR) of the University of Granada. Part of this research was conducted during visits to the Czech Technical University in Prague in 2018 and 2020, the Laboratoire de Mathématiques de Besançon in 2019, and the University of Granada in 2020. The author wishes to express his gratitude for the hospitality and the excellent working conditions during his visits. / Aliaga Varea, RJ. (2020). Geometry and structure of Lipschitz-free spaces and their biduals [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/159256 / TESIS

L'objectif de la thèse est l'étude des propriétés géométriques des ensembles définissables dans les structures o-minimales et de ses applications. Il existe trois principaux résultats présentés dans cette thèse. Le premier est une preuve géométrique de l'existence de stratifications vérifiant les conditions (a) et (b) de Whitney d'ensembles définissables. Ce résultat fut d'abord prouvé par T. L. Loi en 1994 par une autre méthode. Le second est une preuve de l'existence de stratifications de Lipschitz (dans le sens de Mostowski) pour les ensembles définissables dans une structure o-minimale polynomialement bornée. Ceci est une généralisation de résultats de Parusin'ski en 1994 pour les ensembles sous-analytiques. Le troisième résultat est au sujet de la continuité des variations de géométrie intégrale appelées courbures de Lipschitz Killing locales, qui ont été introduites par A. Bernig et L. Broker en 2002. Nous prouvons que les courbures de Lipschitz Killing locales sont continues le long de strates de stratifications de Whitney d'ensembles définissable dans une structure o-minimale polynomialement bornée, et si les stratifications sont (w) régulières alors les courbures de Lipschitz Killing locales sont localement lipschitziennes le long des strates. / The thesis focus on study geometric properties of definable sets in o-minimal structures and its applications. There are three main results presented in this thesis. The first is a geometric proof of the existence of Whitney (a) and (b)-regular stratifications of definable sets. The result was initially proved by T. L. Loi in 1994 by using another method. The second is a proof of existence of Lipschitz stratifications (in the sense of Mostowski) of definable sets in a polynomially bounded o-minimal structure. This is a generalization of Parusinski's 1994 result for subanalytic sets. The third result is about the continuity of of variations of integral geometry called local Lipschitz Killing curvatures which were introduced by A. Bernig and L. Broker in 2002. We prove that Lipschitz Killing curvatures are continuous along strata of Whiney stratifications of definable sets in a polynomially bounded o-minimal structure. Moreover, if the stratifications are (w)-regular the Lipspchitz Killing curvatures are locally Lipschitz.

Consider the graph induced by Z^d, equipped with uniformly elliptic random conductances on the edges. At time 0, place a Poisson point process of particles on Z^d and let them perform independent simple random walks with jump probabilities proportional to the conductances. It is well known that without conductances (i.e., all conductances equal to 1), an infection started from the origin and transmitted between particles that share a site spreads in all directions with positive speed. We show that a local mixing result holds for random conductance graphs and prove the existence of a special percolation structure called the Lipschitz surface. Using this structure, we show that in the setup of particles on a uniformly elliptic graph, an infection also spreads with positive speed in any direction. We prove the robustness of the framework by extending the result to infection with recovery, where we show positive speed and that the infection survives indefinitely with positive probability.