Ce mémoire de thèse vise à proposer de nouvelles méthodes robustes pour l'estimation de la fréquence respiratoire (FR) à partir des signaux physiologiques souvent utilisés dans la clinique comme l'électrocardiogramme (ECG) ou le photoplethysmogramme (PPG), tout en évitant de porter des capteurs encombrants et inconfortables. En effet, la respiration influence les signaux ECG et/ou PPG. Plusieurs modulations qui décrivent la respiration sont extraites basée principalement sur l'amplitude, la fréquence et la ligne de base. Il est toutefois difficile de déterminer la combinaison optimale des modulations pour obtenir une estimation précise de la FR en raison du bruit, la spécificité de chaque patient et de l'activité. Après une revue de la littérature, il ressort que peu de travaux ont étudié la qualité de ces modulations. Nous proposons donc de quantifier la qualité des modulations à l'aide d'indices de qualité respiratoire (IQR), un nouvel indice basé sur une modulation sinusoïdale est introduit. Puis, deux méthodes sont proposées: la première sélectionne automatiquement la modulation avec l'IQR le plus élevé pour une estimation de la FR, la seconde combine les deux meilleurs modulations avec le lisseur de Kalman (LK). Une nouvelle approche de fusion de modulations basée sur un modèle multimodale est également explorée. Ces méthodes sont évaluées sur trois bases de données de différents contextes cliniques: la surveillance dans les soins postopératoires (où les patients sont immobiles), le suivi pendant les activités physiques quotidiennes et la surveillance néonatale. Les résultats expérimentaux montrent que les IQRs associés à un algorithme de fusion augmentent la précision de l'estimation de la FR à partir des modulations dérivées et montrent des résultats supérieurs aux travaux issus de la littérature. / The presented work in this dissertation concerns the development of approaches to estimate the breathing rate (BR) accurately from the electrocardiogram (ECG) and photoplethysmogram (PPG), to avoid wearing cumbersome and uncomfortable sensors for direct measurements. In fact, the respiration influences ECG and PPG signals. Several modulations are extracted to describe breathing cycles based on amplitude, frequency and baseline. However, it is difficult to determine the optimal combination to estimate the BR due to the noise and patient-dependency. Since few works have studied the quality of these modulations, we propose to study the quality of modulations using respiratory quality indices (RQI). To do so, we present two methods: the first automatically selects the modulations with the highest RQI for BR estimation, the second tracks the respiration signal using Kalman smoother. The obtained results show superior performance comparing to the methods in the literature. In addition, an extension of fusion approach is presented based on a multi-mode model. These proposed methods are tested on several datasets with different clinical contexts: monitoring post-operative care (where patients are immobile), daily physical activities and neonatal monitoring. The experimental results show that the RQIs coupled with a fusion algorithm increase the accuracy of the BR estimation from the derived modulations.

Le filtre de Kalman est largement utilisé pour l'assimilation de données en océanographie opérationnelle, notamment dans le cadre de prévisions. Néanmoins, à l'heure où les applications de l'assimilation de données tendent à se diversifier, notamment avec les réanalyses, la formulation tridimensionnelle (3D) du filtre n'utilise pas de façon optimale les observations. L'extension de ces méthodes 3D (filtre) à une formulation 4D (appelés lisseurs), permet de mieux tirer partie des observations en les assimilant de façon rétrograde. Nous étudions dans cette thèse la mise en place et les effets d'un lisseur de rang réduit sur les réanalyses, dans le cadre d'une configuration réaliste de la circulation océanique en Atlantique tropical. Ce travail expose dans un premier temps les aspects sensibles mais nécessaires de l'implémentation du lisseur, avec notamment la paramétrisation des statistiques d'erreur et leur évolution temporelle. Les apports du lissage sur les réanalyses sont ensuite étudiés, en comparant la qualité de la solution lissée par rapport à la solution filtrée. Ces résultats permettent d'exposer les bienfaits d'une assimilation 4D. On observe notamment une diminution de l'erreur globale de environ 15% sur les variables assimilées, ainsi qu'une bonne capacité du lisseur à fournir une solution cohérente avec la dynamique de référence. Ce point est illustré par le rephasage de certaines structures sensibles comme les anneaux du Brésil. Enfin, un cas moins en accord avec la théorie mais plus facile à mettre en pratique (et plus souvent utilisé dans les centres opérationnels), l'interpolation optimale, a permis d'étudier les apports du lissage et ses limites dans une telle configuration. L'évolution temporelle des erreurs pour le lissage s'est ainsi révélée nécessaire pour garder un maximum de cohérence avec les erreurs réelles. Néanmoins, le lisseur montre tout de même des résultats encourageant avec l'interpolation optimale en abaissant le niveau global d'erreur (de 10 à 15%).

Le filtre de Kalman est largement utilisé pour l'assimilation de données en océanographie opérationnelle, notamment dans le cadre de prévisions. Néanmoins, à l'heure où les applications de l'assimilation de données tendent à se diversifier, notamment avec les réanalyses, la formulation tridimensionnelle (3D) du filtre n'utilise pas de façon optimale les observations. L'extension de ces méthodes 3D (filtre) à une formulation 4D (appelés lisseurs), permet de mieux tirer partie des observations en les assimilant de façon rétrograde. Nous étudions dans cette thèse la mise en place et les effets d'un lisseur de rang réduit sur les réanalyses, dans le cadre d'une configuration réaliste de la circulation océanique en Atlantique tropical. Ce travail expose dans un premier temps les aspects sensibles mais nécessaires de l'implémentation du lisseur, avec notamment la paramétrisation des statistiques d'erreur et leur évolution temporelle. Les apports du lissage sur les réanalyses sont ensuite étudiés, en comparant la qualité de la solution lissée par rapport à la solution filtrée. Ces résultats permettent d'exposer les bienfaits d'une assimilation 4D. On observe notamment une diminution de l'erreur globale de environ 15% sur les variables assimilées, ainsi qu'une bonne capacité du lisseur à fournir une solution cohérente avec la dynamique de référence. Ce point est illustré par le rephasage de certaines structures sensibles comme les anneaux du Brésil. Enfin, un cas moins en accord avec la théorie mais plus facile à mettre en pratique (et plus souvent utilisé dans les centres opérationnels), l'interpolation optimale, a permis d'étudier les apports du lissage et ses limites dans une telle configuration. L'évolution temporelle des erreurs pour le lissage s'est ainsi révélée nécessaire pour garder un maximum de cohérence avec les erreurs réelles. Néanmoins, le lisseur montre tout de même des résultats encourageant avec l'interpolation optimale en abaissant le niveau global d'erreur (de 10 à 15%). / The Kalman filter is widely used in data assimilation for operational oceanography, in particular for forecasting problems. Yet, now that data assimilation applications tend to diversify, with reanalysis problems for instance, the three-dimensional (3D) formulation of the filter doesn't allow an optimal use of the observations. The four-dimensional extention of the 3D methods, called smoothers, allows a better use of the observations, assimilating them on a retrospective way. We study in this work the implementation and the effects of a reduced-rank smoother on reanalysis, with a realistic tropical Atlantic ocean circulation model. First we expose some sensitive steps required for the smoother implementation, most notably the covariances evolution parametrisation of the filter. The smoother's benefits for reanalysis are then exposed, compare to a 3D reanalysis. It shows that the global error can be reduced by 15% on assimilated variables (like temperature). The smoother also leads to an analyzed solution dynamically closer to the reference (compare to the filter), as we can observe with phasing of Brazil rings for instance. Finally, we studied a case of smoothing based on optimal interpolation (instead of the filter). This case is inconsistent with the theory but often used in operational centers. Results shows that the smoother can improve the reanalysis solution in an OI case (reducing the global error from 10 to 15%), but still the dynamical evolution of error covariances (filter) are needed to get a correction according with the real error structures.

L'algorithme de Levenberg-Marquardt (LM) est parmi les algorithmes les plus populaires pour la résolution des problèmes des moindres carrés non linéaire. Motivés par la structure des problèmes de l'assimilation de données, nous considérons dans cette thèse l'extension de l'algorithme LM aux situations dans lesquelles le sous problème linéarisé, qui a la forme min||Ax - b ||^2, est résolu de façon approximative, et/ou les données sont bruitées et ne sont précises qu'avec une certaine probabilité. Sous des hypothèses appropriées, on montre que le nouvel algorithme converge presque sûrement vers un point stationnaire du premier ordre. Notre approche est appliquée à une instance dans l'assimilation de données variationnelles où les modèles stochastiques du gradient sont calculés par le lisseur de Kalman d'ensemble (EnKS). On montre la convergence dans L^p de l'EnKS vers le lisseur de Kalman, quand la taille de l'ensemble tend vers l'infini. On montre aussi la convergence de l'approche LM-EnKS, qui est une variante de l'algorithme de LM avec l'EnKS utilisé comme solveur linéaire, vers l'algorithme classique de LM ou le sous problème est résolu de façon exacte. La sensibilité de la méthode de décomposition en valeurs singulières tronquée est étudiée. Nous formulons une expression explicite pour le conditionnement de la solution des moindres carrés tronqués. Cette expression est donnée en termes de valeurs singulières de A et les coefficients de Fourier de b. / The Levenberg-Marquardt algorithm (LM) is one of the most popular algorithms for the solution of nonlinear least squares problems. Motivated by the problem structure in data assimilation, we consider in this thesis the extension of the LM algorithm to the scenarios where the linearized least squares subproblems, of the form min||Ax - b ||^2, are solved inexactly and/or the gradient model is noisy and accurate only within a certain probability. Under appropriate assumptions, we show that the modified algorithm converges globally and almost surely to a first order stationary point. Our approach is applied to an instance in variational data assimilation where stochastic models of the gradient are computed by the so-called ensemble Kalman smoother (EnKS). A convergence proof in L^p of EnKS in the limit for large ensembles to the Kalman smoother is given. We also show the convergence of LM-EnKS approach, which is a variant of the LM algorithm with EnKS as a linear solver, to the classical LM algorithm where the linearized subproblem is solved exactly. The sensitivity of the trucated sigular value decomposition method to solve the linearized subprobems is studied. We formulate an explicit expression for the condition number of the truncated least squares solution. This expression is given in terms of the singular values of A and the Fourier coefficients of b.