The first part of the thesis deals with aspects of Loewner theory in several complex variables. First we show that a Loewner chain with minimal regularity assumptions (Df(0,t) of local bounded variation) satisfies an associated Loewner equation. Next we give a way of renormalizing a general Loewner chain so that it corresponds to the same increasing family of domains. To do this we will prove a generalization of the converse of Carathéodory's kernel convergence theorem. Next we address the problem of finding a Loewner chain solution to a given Loewner chain equation. The main result is a complete solution in the case when the infinitesimal generator satisfies Dh(0,t)=A where inf {Re<Az,z>: ||z| =1}> 0. We will see that the existence of a bounded solution depends on the real resonances of A, but there always exists a polynomially bounded solution. Finally we discuss some properties of classes of biholomorphic mappings associated to A-normalized Loewner chains. In particular we give a characterization of the compactness of the class of spirallike mappings in terms of the resonance of A. The second part of the thesis deals with the problem of finding examples of extreme points for some classes of mappings. We see that straightforward generalizations of one dimensional extreme functions give examples of extreme Carathéodory mappings and extreme starlike mappings on the polydisc, but not on the ball. We also find examples of extreme Carathéodory mappings on the ball starting from a known example of extreme Carathéodory function in higher dimensions.

Thesis (Ph.D.)--University of Cincinnati, 2008. / Committee/Advisors: David Herron PhD (Committee Chair), David Minda PhD (Committee Member), Nageswari Shanmugalingam PhD (Committee Member). Includes bibliographical references and abstract.

This thesis studies the geometry of objects from 2-dimensional statistical physics in the continuum. Chapter 1 is an introduction to Schramm-Loewner evolutions (SLE). SLEs are the canonical family of non-self-intersecting, conformally invariant random curves with a domain-Markov property. The family is indexed by a parameter, usually denoted by κ, which controls the regularity of the curve. We give the definition of the SLEκ process, and summarise the proofs of some of its properties. We give particular attention to the Rohde-Schramm theorem which, in broad terms, tells us that an SLEκ is a curve. In Chapter 2 we introduce the Gaussian free field (GFF), a conformally invariant random surface with a domain-Markov property. We explain how to couple the GFF and an SLEκ process, in particular how a GFF can be unzipped along a reverse SLEκ to produce another GFF. We also look at how the GFF is used to define Liouville quantum gravity (LQG) surfaces, and how thick points of the GFF relate to the quantum gravity measure. Chapter 3 introduces a diffusion on LQG surfaces, the Liouville Brownian motion (LBM). The main goal of the chapter is to complete an estimate given by N. Berestycki, which gives an upper bound for the Hausdor dimension of times that a γ-LBM spends in α-thick points for γ, α ∈ [0, 2). We prove the corresponding, tight, lower bound. In Chapter 4 we give a new proof of the Rohde-Schramm theorem (which tells us that an SLEκ is a curve), which is valid for all values of κ except κ = 8. Our proof uses the coupling of the reverse SLEκ with the free boundary GFF to bound the derivative of the inverse of the Loewner flow close to the origin. Our knowledge of the structure of the GFF lets us find bounds which are tight enough to ensure continuity of the SLEκ trace.

We focus on planar Random Walks and some related stochastic processes. The discrete models are introduced and some of their core properties examined. We then turn to the question of continuous analogues, starting with the well-known convergence of the Random Walk to Brownian Motion. For the Harmonic Explorer and the Loop Erased Random Walk, we discuss the idea for convergence to SLE(\kappa) and carry out parts of the proof in the former case using a martingale observable to pin down the Loewner driving process.

Cette thèse porte sur les relations entre les processus SLE, les ensembles CLE et le champ libre Gaussien. Dans le chapitre 2, nous donnons une construction des processus SLE(k,r) à partir des boucles des CLE(k) et d'échantillons de restriction chordale. Sheffield et Werner ont prouvé que les CLE(k) peuvent être construits à partir des processus d'exploration symétriques des SLE(k,r).Nous montrons dans le chapitre 3 que la configuration des boucles construites à partir du processus d'exploration asymétrique des SLE(k,k-6) donne la même loi CLE(k). Le processus SLE(4) peut être considéré comme les lignes de niveau du champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) correspond à la collection des lignes de niveau de ce champ libre Gaussien. Dans la deuxième partie du chapitre 3, nous définissons un paramètre de temps invariant conforme pour chaque boucle appartenant à CLE(4) et nous donnons ensuite dans le chapitre 4 un couplage entre le champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) à l'aide du paramètre de temps. Les processus SLE(k) peuvent être considérés comme les lignes de flot du champ libre Gaussien. Nous explicitons la dimension de Hausdorff de l'intersection de deux lignes de flot du champ libre Gaussien. Cela nous permet d'obtenir la dimension de l'ensemble des points de coupure et des points doubles de la courbe SLE, voir le chapitre 5. Dans le chapitre 6, nous définissons la mesure de restriction radiale, prouvons la caractérisation de ces mesures, et montrons la condition nécessaire et suffisante de l'existence des mesures de restriction radiale. / This thesis focuses on various relations between SLE, CLE and GFF. In Chapter 2, we give a construction of SLE(k,r) processes from CLE(k) loop configuration and chordal restriction samples. Sheffield and Werner has proved that CLE(k) can be constructed from symmetric SLE(k,k-6) exploration processes. We prove in Chapter 3 that the loop configuration constructed from the asymmetric SLE(k,k-6) exploration processes also give the same law CLE(k). SLE(4) can be viewed as level lines of GFF and CLE(4) can be viewed as the collection of level lines of GFF. We define a conformally invariant time parameter for each loop in CLE(4) in the second part of Chapter 3 and then give a coupling between GFF and CLE(4) with time parameter in Chapter 4. SLE(k,r) can be viewed as flow lines of GFF. We derive the Hausdorff dimension of the intersection of two flow lines in GFF. Then, from there, we obtain the dimension of the cut and double point set of SLE curve in Chapter 5. In Chapter 6, we define the radial restriction measure, prove the characterization of these measures, and show the if and only if condition for the existence of radial restriction measure.

This thesis focusses on the properties of, and relationships between, several fundamental objects arising from critical physical models. In particular, we consider Schramm--Loewner evolutions, the Gaussian free field, Liouville quantum gravity and the Brownian continuum random tree. We begin by considering branching diffusions in a bounded domain $D\subset$ $R^{d}$, in which particles are killed upon hitting the boundary $\partial D$. It is known that such a system displays a phase transition in the branching rate: if it exceeds a critical value, the population will no longer become extinct almost surely. We prove that at criticality, under mild assumptions on the branching mechanism and diffusion, the genealogical tree associated with the process will converge to the Brownian CRT. Next, we move on to study Gaussian multiplicative chaos. This is the rigorous framework that allows one to make sense of random measures built from rough Gaussian fields, and again there is a parameter associated with the model in which a phase transition occurs. We prove a uniqueness and convergence result for approximations to these measures at criticality. From this point onwards we restrict our attention to two-dimensional models. First, we give an alternative, ``non-Gaussian" construction of Liouville quantum gravity (a special case of Gaussian multiplicative chaos associated with the 2-dimensional Gaussian free field), that is motivated by the theory of multiplicative cascades. We prove that the Liouville (GMC) measures associated with the Gaussian free field can be approximated using certain sequences of ``local sets" of the field. This is a particularly natural construction as it is both local and conformally invariant. It includes the case of nested CLE$_{4}$, when it is coupled with the GFF as its set of ``level lines". Finally, we consider this level line coupling more closely, now when it is between SLE$_{4}$ and the GFF. We prove that level lines can be defined for the GFF with a wide range of boundary conditions, and are given by SLE$_{4}$-type curves. As a consequence, we extend the definition of SLE$_{4}(\rho)$ to the case of a continuum of force points.

La première partie de cette thèse est consacrée à l'étude d'interfaces critiques bidimensionnelles par des méthodes d'évolutions de Schramm-Loewner (SLE) et de théories conformes. Nous étudions en particulier le cas de SLE(2) qui est la limite d'échelle des marches à boucles effacées. La solution explicite du problème d'enroulement sur des domaines doublement connexes est discutée. Nous établissons une généralisation de la formule de Schramm pour SLE(2) dans la géométrie doublement connexe et étendons la solution au cas de conditions mixtes Dirichlet-Neumann. L'analyse par la théorie conforme permet l'identification de l'opérateur de changement des conditions aux bords. De plus, à partir de l'étude des lignes de discontinuité du champ gaussien libre sur des domaines doublement connexes nous mettons en évidence une relation entre SLE(4) et les ponts browniens.<br /><br />Le sujet de la seconde partie est l'étude de deux exemples de systèmes désordonnés de basse dimension. D'un coté nous établissons les propriétés de localisation et spectrales d'un hamiltonien aléatoire unidimensionnel qui interpole entre les cas du modèle de Halperin et le modèle supersymétrique désordonné. Un lien avec la diffusion unidimensionnelle dans un potentiel aléatoire permet d'étudier la modification de la dynamique ultra-lente de Sinai en présence d'absorbeurs. De l'autre côté nous analysons la transition vitreuse d'ARN pour des séquences aléatoires à l'aide de la théorie des champs de Lässig-Wiese-David. L'application au cas d'ARN soumis à une force extérieure conduit à la prédiction de la caractéristique force-extension pour des séquences hétérogènes. L'étude de la phase vitreuse nous amène à considérer un modèle hiérarchique combinatoire dont nous déterminons les exposants et lois d'échelle exactes ainsi que les corrections de taille finie.

A mixture experiment is an experiment in which the k ingredients are nonnegative and subject to the simplex restriction £Ux_i=1 on the (k-1)-dimensional probability simplex S^{k-1}. This dissertation discusses optimal designs for linear and quadratic log contrast models for experiments with mixtures suggested by Aitchison and Bacon-Shone (1984), where the experimental domain is restricted further as in Chan (1992). In this study, firstly, an essentially complete class of designs under the Kiefer ordering for linear log contrast models with mixture experiments is presented. Based on the completeness result, £X_p-optimal designs for all p, -¡Û<p≤1 including D- and A-optimal are obtained, where the eigenvalues of the design moment matrix are used. By using the approach presented here, we gain insight on how these £X_p-optimal designs behave. Following that, the exact N-point D-optimal designs for linear log contrast models with three and four ingredients are further investigated. The results show that for k=3 and N=3p+q ,1 ≤q≤2, there is an exact N-point D-optimal design supported at the points of S_1 (S_2) with equal weight n/N, 0≤n≤p , and puts the remaining weight (N-3n)/N uniformly on the points of S_2 (S_1) as evenly as possible, where S_1 and S_2 are sets of the supports of the approximate D-optimal designs. When k=4 and N=6p+q , 1 ≤q≤5, an exact N-point design which distributes the weights as evenly as possible among the supports of the approximate D-optimal design is proved to be exact D-optimal. Thirdly, the approximate D_s-optimal designs for discriminating between linear and quadratic log contrast models for experiments with mixtures are derived. It is shown that for a symmetric subspace of the finite dimensional simplex, there is a D_s-optimal design with the nice structure that puts a weight 1/(2^{k-1}) on the centroid of this subspace and the remaining weight is uniformly distributed on the vertices of the experimental domain. Moreover, the D_s-efficiency of the D-optimal design for quadratic model and the design given by Aitchison and Bacon-Shone (1984) are also discussed Finally, we show that an essentially complete class of designs under the Kiefer ordering for the quadratic log contrast model is the set of all designs in the boundary of T or origin of T . Based on the completeness result, numerical £X_p -optimal designs for some p, -¡Û<p≤1 are obtained.

La physique des phénomènes de surface a progressé en même temps que les modèles décrivant des transitions de phase dans le volume. A deux dimensions, en particulier, les théories des champs invariantes sous les transformations conformes se sont révélées des outils extrêmement puissants pour décrire de manière non-perturbative les transitions de phase. L'étude des phénomènes de surface dans ce contexte a produit de nombreux résultats exacts tels que des exposants critiques et des fonctions de corrélations dans divers modèles critiques. Dans cette thèse nous nous intéressons à des théories statistiques à deux dimensions dont les degrés de liberté sont non locaux, comme par exemple des polymères en solution. Ces théories peuvent être formulées localement au prix de poids de Boltzmann négatifs ou complexes, elles sont alors non-unitaires. Nous nous intéressons aux effets de surface dans ces théories, et décrivons les différentes conditions au bord qui sont compatibles avec l'invariance conforme. Notre stratégie n'est pas de formuler une approche axiomatique, mais plutôt de partir de modèles concrets sur réseau, et d'étudier leur limite continue.

Cette thèse porte sur les relations entre les processus SLE, les ensembles CLE et le champ libre Gaussien. Dans le chapitre 2, nous donnons une construction des processus SLE(k,r) à partir des boucles des CLE(k) et d'échantillons de restriction chordale. Sheffield et Werner ont prouvé que les CLE(k) peuvent être construits à partir des processus d'exploration symétriques des SLE(k,r).Nous montrons dans le chapitre 3 que la configuration des boucles construites à partir du processus d'exploration asymétrique des SLE(k,k-6) donne la même loi CLE(k). Le processus SLE(4) peut être considéré comme les lignes de niveau du champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) correspond à la collection des lignes de niveau de ce champ libre Gaussien. Dans la deuxième partie du chapitre 3, nous définissons un paramètre de temps invariant conforme pour chaque boucle appartenant à CLE(4) et nous donnons ensuite dans le chapitre 4 un couplage entre le champ libre Gaussien et l'ensemble CLE(4) à l'aide du paramètre de temps. Les processus SLE(k) peuvent être considérés comme les lignes de flot du champ libre Gaussien. Nous explicitons la dimension de Hausdorff de l'intersection de deux lignes de flot du champ libre Gaussien. Cela nous permet d'obtenir la dimension de l'ensemble des points de coupure et des points doubles de la courbe SLE, voir le chapitre 5. Dans le chapitre 6, nous définissons la mesure de restriction radiale, prouvons la caractérisation de ces mesures, et montrons la condition nécessaire et suffisante de l'existence des mesures de restriction radiale.