Cette thèse se compose de trois parties indépendantes, toutes en rapport avec les lois et processus stables. Dans un premier temps, nous établissons des théorèmes de convergence (principe d'invariance) vers des processus stables. Les objets considérés sont des fonctionnelles additives de carrés non intégrables d'une chaîne de Markov à temps discret. L'approche envisagée repose sur l'utilisation des coefficients de mélange pour les chaînes de Markov. Dans un second temps, nous obtenons des vitesses de convergence vers des lois stables dans le théorème central limite généralisé à l'aide des propriétés de la distance idéale de Zolotarev. La dernière partie est consacrée à l'étude des ordres stochastiques convexes ou inégalités de comparaison convexe entre des intégrales stochastiques dirigées par des processus stables. L'idée principale sur laquelle reposent les résultats consiste à adapter au contexte stable le calcul stochastique forward-backward. / This PhD Thesis is composed of three independent parts about stable laws and processes. In the first part, we establish convergence theorems (invariance principle) to stable processes, for additive functionals of a discrete time Markov chain that are not assumed to be square-integrable. The method is based on the use of mixing coefficients for Markov chains. In the second part, we obtain some rates of convergence to stable laws in the generalized central limit theorem by means of the Zolotarev ideal probability metric. The last part of the thesis is devoted to the study of convex ordering or convex comparison inequalities between stochastic integrals driven by stable processes. The main idea of our results is based on the forward-backward stochastic calculus for the stable case.