L'objectif de la thèse est d'étudier le modèle du look-down avec sélection dans le cas d'une population composée seulement de deux types génétiques, l'un deux bénéficiant d'un avantage sélectif. Dans cette thèse, cette sélection est modélisée par un taux de mort pour les individus non avantagés. Tout d'abord, nous nous intéressons dans le cas d'une population de taille infinie. Nous montrons que le modèle est bien défini. Nous montrons aussi que dans la limite d'une population de taille infinie, la proportion d'individu d'un type donné suit la diffusion de Wright-Fisher avec sélection. Ensuite nous étudions ce modèle dans le cas d'une population de taille finie et fixée. Nous proposons deux méthodes de convergence de ce modèle fini vers la diffusion deWright-Fisher avec sélection. Enfin, une autre approche est considérée. Nous étudions le modèle de look-down dans le cas d'une population de taille infinie en remplaçant le modèle de reproduction dual du coalescent de Kingman par le modèle de reproduction dual du Lambda-coalescent. Nous montrons d'abord que le modèle est bien défini. Ensuite nous montrons que la proportion de l'un des types converge en probabilité, quand la taille N de la population tend vers l'infini, vers un processus qui est solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par processus ponctuel de Poisson. Pour finir, nous montrons que si Lambda-coalescent descend de l'infini alors l'un des types se fixe en temps fini. / The purpose of the dissertation is to study the look-down model with selection in the case of a population composed only two alleles, one of them has a selective advantage. In this thesis, this selective advantage is modelled by a death rate for the wild-type allele. In the first part, we are interested in the case of a population of infinite size. We show the model is well defined. We show convergence in probability, as the population size tends to infinity, towards the Wright-Fisher diffusion with selection. In the second part we study a variant of the simplest look-down with selection where the size of the population is finite and fixed. We propose two methods of convergence of this finite model towards the Wright-Fisher diffusion with selection. Finally, another approach is considered. We study the look-down model with selection when we replace the usual reproduction model, which is dual to Kingman's coalescent by a population model dual to the Lambda-coalescent in the case of a population of infinite size. We first show this model is well defined. We show that the proportion of one of the two types converges in probability, as the population size N tends to infinity, towards the solution of a stochastic differential equation driven by a Poisson point process. Finally, we show that one of the two types fixate in finite time if and only if the Lambda-coalescent comes down from infinity.

Le cliquet de Muller est un modèle mathématiques illustrant l'accumulation de mutations délétères dans une population asexuée. L'idée principale est que l'absence de recombinaison oblige les enfants à avoir au moins autant de mutations nocives que leurs parents, et au bout d'un certain temps, le nombre minimum de mutations délétères de la population, qui est donc un processus croissant, augmente : on dit alors que le cliquet clique. Le modèle du cliquet de Muller qui est étudié dans cette thèse est un système infini d'équations différentielles stochastiques de Fleming-Viot couplées. On montre dans une première partie d'abord que le cliquet s'actionne en temps fini p.s., puis que l'espérance du temps mis pour cliquer est également finie. On utilise pour cela des comparaisons d'équations stochastiques et des changements de temps. Dans une deuxième partie, on démontre que ce modèle est équivalent à un modèle du look-down modifié auquel on a ajouté des mutations et des morts. Puis dans la troisième partie on généralise le résultat de la deuxième à un cadre plus large de systèmes d'équations différentielles stochastiques. / Muller's Ratchet is a model from evolutionary theory describing the accumulation of deleterious mutations in asexually reproducing population. The lack of recombination implies that children have all the deleterious mutations of his parent. The minimal number of deleterious mutations carried in the population is an non-decreasing process, and if it increases we say that the Muller's ratchet clicks. The model studied in this thesis is an infinite system of stochastic differential equations. In the first chapter, we first prove that the ratchet clicks in finite time a.s., then that the clicking time has finite expectation. For this we use comparison arguments and time changes. In the second chapter, we prove that this model is equivalent to a modified look-down model with mutation and selection. In the third chapter we generalize the results of chapter 2 to a more general model.