Les méthodes de type mortier, introduites en 1987 par Bernardi, Maday et Patera, font partie de la grande famille des méthodes par décomposition de domaine. Combinées à la méthode des éléments finis, elles consistent à construire une discrétisation non conforme des espaces fonctionnels du ou des problèmes étudiés. Les trente dernières années de recherche portant sur ces méthodes ont permis d'acquérir des connaissances solides tant au point de vue théorique que pratique. Aujourd'hui, elles sont naturellement utilisées pour résoudre des problèmes d'une grande complexité. Comme applications, nous pouvons simplement penser à des problèmes de contact entre divers solides, à des problèmes d'interaction fluide-structure ou à des problèmes impliquant des mécanismes en mouvement tel des engrenages ou des alternateurs. Cette thèse de doctorat a pour objectif d'expliquer en détail la construction des méthodes de type mortier et de développer des algorithmes adaptés à la résolution des systèmes ainsi créés. Nous avons décidé d'employer l'algorithme du GCR (Generalized Conjugate Residual method) comme solveur de base pour nos calculs. Nous appliquons d'abord une factorisation du système linéaire global grâce à son écriture naturelle en sous-blocs. Cette factorisation génère un système utilisant un complément de Schur qu'il faut résoudre. C'est sur ce sous-système que nous employons l'algorithme du GCR. Le complément de Schur est préconditionné par une matrice masse redimensionnée, mais il est nécessaire de modifier l'algorithme du GCR pour obtenir des résultats théoriques intéressants. Nous montrons que la convergence de ce solveur modifié est indépendante du nombre de sous-domaines impliqués ainsi que de ses diverses composantes physiques. Nous montrons de plus que le solveur ne dépend que légèrement de la taille des éléments d'interface. Nous proposons une solution élégante dans le cas de sous-domaines dits flottants. Cette solution ne requiert pas la modification du solveur décrit plus haut. Des tests numériques ont été effectués pour montrer l'efficacité de la méthode du GCR modifiée dans divers cas. Par exemple, nous étudions des problèmes possédant plusieurs échelles au niveau de la discrétisation et des paramètres physiques. Nous montrons aussi que ce solveur a une accélération importante lorsqu'il est employé en parallèle. / The mortar methods, introduced in 1987 by Bernadi, Maday and Patera, are part of the large family of domain decomposition methods. Combined to the finite element method, they consist in constructing a nonconforming discretization of the functional space of the problem under consideration. The last thirty years of research about these methods has provided a solid knowledge from a theoretical and practical point of view. Today, they are naturally used to solve problems of great complexity such as contact problems between deformable solids, fluid-structure interaction problems or moving mechanisms problems like gears and alternators. The aim of this thesis is to explain in details the principles of mortar methods and to develop adapted algorithms to solve the generated linear systems. We use the GCR algorithm (Generalized Conjugate Residual method) as our basic solver in our computations. We first apply a factorization of the global linear system using the natural sub-block structure of the matrix. This factorization generates a system using a Schur complement. It is on this sub-system that we use the GCR algorithm. The Schur complement is preconditioned by a rescaled mass matrix, but it is necessary to slightly modify the GCR algorithm to obtain theorical results. We show that the convergence of this modified solver is independent of the number of subdomains involved and of the diverse physical parameters. We also show that the solver slightly depends on the size of the interface mesh. We present a strategy to take care of the so called floating subdomains. The proposed solution does not require any modification to the solver. Numerical tests have been performed to show the efficiency of the modified GCR method in various cases. We consider problems with several discretization and physical parameter scales. We finally show that the solver presents an important speedup in parallel implementation.

Ce travail de thèse porte sur le développement et la mise en oeuvre des méthodes de décomposition de domaines (DD) pour les équations de Schrödinger linéaires ou non-linéaires en une ou deux dimensions d'espace. Dans la première partie, nous considérons la méthode de relaxation d'ondes de Schwarz (SWR) pour l'équation de Schrödinger en une dimension. Dans le cas où le potentiel est linéaire et indépendant du temps, nous proposons un nouvel algorithme qui est scalable et permet une forte réduction du temps de calcul comparativement à l'algorithme classique. Pour un potentiel général, nous utilisons un opérateur linéaire préalablement défini comme un préconditionneur. Cela permet d'assurer une forte scalabilité. Nous généralisons également les travaux de Halpern et Szeftel sur la condition de transmission en utilisant des conditions absorbantes construites récemment par Antoine, Besse et Klein. Par ailleurs, nous portons les codes développés sur Cpu sur des accélérateurs Gpu. La deuxième partie concerne les méthodes DD pour l'équation de Schrödinger en deux dimensions. Nous généralisons le nouvel algorithme et l'algorithme avec préconditionneur proposés au cas de la dimension deux. Dans le chapitre 6, nous généralisons les travaux de Loisel sur la méthode de Schwarz optimisée avec points de croisement pour l'équation de Laplace, qui conduit à la méthode SWR avec points de croisement. Dans la dernière partie, nous appliquons les méthodes DD que nous avons étudiées à la simulation de condensat de Bose-Einstein qui permettent de diminuer le temps de calcul, mais aussi de réaliser des simulations plus grosses. / This thesis focuses on the development and implementation of domain decomposition methods (DD) for the linear or non-linear Schrödinger equations in one or two dimensions. In the first part, we focus on the Schwarz waveform relaxation method (SWR) for the one dimensional Schrödinger equation. In the case the potential is linear and time-independent, we propose a new algorithm that is scalable and allows a significant reduction of computation time compared with the classical algorithm. For a general potential, we use a linear operator previously defined as a preconditioner. This ensures high scalability. We also generalize the work of Halpern and Szeftel on transmission condition. We use the absorbing boundary conditions recently constructed by Antoine, Besse and Klein as the transmission condition. We also adapt the codes developed originally on Cpus to the Gpu. The second part concerns with the methods DD for the Schrödinger equation in two dimensions. We generalize the new algorithm and the preconditioned algorithm proposed in the first part to the case of two dimensions. Furthermore, in Chapter 6, we generalize the work of Loisel on the optimized Schwarz method with cross points for the Laplace equation, which leads to the SWR method with cross points. In the last part, we apply the domain decomposition methods we studied to the simulation of Bose-Einstein condensate that could not only reduce the total computation time, but also realise the larger simulations.

Cette thèse est consacrée à l'étude de l'influence d'une fine couche hétérogène sur le comportement élastique linéaire d'une structure tridimensionnelle. Deux types d'hétérogénéités sont pris en compte : des cavités et des inclusions élastiques. Une étude complémentaire, dans le cas d'inclusions de grande rigidité, a été réalisée en considérant un problème de conduction thermique. Une analyse formelle par la méthode des développements asymptotiques raccordés conduit à un problème d'interface qui caractérise le comportement macroscopique de la structure. Le comportement microscopique de la couche est lui déterminé sur une cellule de base. Le modèle asymptotique obtenu est ensuite implémenté dans un code éléments finis. Une étude numérique permet de valider les résultats de l'analyse asymptotique.

Le contexte d'étude est celui de la Compatibilité ÉlectroMagnétique (CEM). L'objectif de la CEM est, comme son nom l'indique, d'assurer la compatibilité entre une source de perturbation électromagnétique et un système électronique victime. Or, la prédiction de ces niveaux de perturbation ne peut pas s'effectuer à l'aide d'un simple calcul analytique, en raison de la géométrie qui est généralement complexe pour le système que l'on étudie, tel que le champ à l'intérieur d'un cockpit d'avion par exemple. En conséquence, nous sommes contraints d'employer des méthodes numériques, dans le but de prédire ce niveau de couplage entre les sources et les victimes. Parmi les nombreuses méthodes numériques existantes à ce jour, les méthodes Multi-Domaines (MD) sont très prisées. En effet, elles offrent la liberté aux utilisateurs de choisir la méthode numérique la plus adaptée, en fonction de la zone géométrique à calculer. Au sein de ces méthodes MD, la " Domain Decomposition Method " (DDM) présente l'avantage supplémentaire de découpler chacun de ces domaines. En conséquence, la DDM est particulièrement intéressante, vis-à-vis des méthodes concurrentes, en particulier sur l'aspect du coût numérique. Pour preuve, l'ONERA continue de développer cette méthode qui ne cesse de montrer son efficacité depuis plusieurs années, notamment pour le domaine des Surfaces Équivalentes Radar (SER) et des antennes. L'objectif de l'étude est de tirer profit des avantages de cette méthode pour des problématiques de CEM. Jusqu'à maintenant, de nombreuses applications de CEM, traitées par le code DDM, fournissaient des résultats fortement bruités. Même pour des problématiques électromagnétiques très simples, des problèmes subsistaient, sans explication convaincante. Ceci justifie cette étude. Le but de cette thèse est de pouvoir appliquer ce formalisme DDM à des problématiques de CEM. Dans cette optique, nous avons été amenés à redéfinir un certain nombre de conventions, qui interviennent au sein de la DDM. Par ailleurs, nous avons développé un modèle spécifique pour les ouvertures, qui sont des voies de couplage privilégiées par les ondes, à l'intérieur des cavités que représentent les blindages. Comme les ouvertures sont, en pratique, de petites dimensions devant la longueur d'onde, on s'est intéressé à un modèle quasi-statique. Nous proposons alors un modèle, qui a été implémenté, puis validé. Suite à ce modèle, nous avons développé une méthode originale, basée sur un calcul en deux étapes, permettant de ne plus discrétiser le support des ouvertures dans les calculs 3D.

Le contexte d’étude est celui de la Compatibilité ÉlectroMagnétique (CEM). L’objectif de la CEM est, comme son nom l’indique, d’assurer la compatibilité entre une source de perturbation électromagnétique et un système électronique victime. Or, la prédiction de ces niveaux de perturbation ne peut pas s’effectuer à l’aide d’un simple calcul analytique, en raison de la géométrie qui est généralement complexe pour le système que l’on étudie, tel que le champ à l’intérieur d’un cockpit d’avion par exemple. En conséquence, nous sommes contraints d’employer des méthodes numériques, dans le but de prédire ce niveau de couplage entre les sources et les victimes. Parmi les nombreuses méthodes numériques existantes à ce jour, les méthodes Multi-Domaines (MD) sont très prisées. En effet, elles offrent la liberté aux utilisateurs de choisir la méthode numérique la plus adaptée, en fonction de la zone géométrique à calculer. Au sein de ces méthodes MD, la « Domain Decomposition Method » (DDM) présente l’avantage supplémentaire de découpler chacun de ces domaines. En conséquence, la DDM est particulièrement intéressante, vis-à-vis des méthodes concurrentes, en particulier sur l’aspect du coût numérique. Pour preuve, l’ONERA continue de développer cette méthode qui ne cesse de montrer son efficacité depuis plusieurs années, notamment pour le domaine des Surfaces Équivalentes Radar (SER) et des antennes. L’objectif de l’étude est de tirer profit des avantages de cette méthode pour des problématiques de CEM. Jusqu’à maintenant, de nombreuses applications de CEM, traitées par le code DDM, fournissaient des résultats fortement bruités. Même pour des problématiques électromagnétiques très simples, des problèmes subsistaient, sans explication convaincante. Ceci justifie cette étude. Le but de cette thèse est de pouvoir appliquer ce formalisme DDM à des problématiques de CEM. Dans cette optique, nous avons été amenés à redéfinir un certain nombre de conventions, qui interviennent au sein de la DDM. Par ailleurs, nous avons développé un modèle spécifique pour les ouvertures, qui sont des voies de couplage privilégiées par les ondes, à l’intérieur des cavités que représentent les blindages. Comme les ouvertures sont, en pratique, de petites dimensions devant la longueur d’onde, on s’est intéressé à un modèle quasi-statique. Nous proposons alors un modèle, qui a été implémenté, puis validé. Suite à ce modèle, nous avons développé une méthode originale, basée sur un calcul en deux étapes, permettant de ne plus discrétiser le support des ouvertures dans les calculs 3D. / The context of the study is the ElectroMagnetic Compatibility (EMC). Principal aim of the EMC is to ensure the compatibility between an electromagnetic perturbance source and an electronic device victim. Unfortunately, the perturbation levels prediction can not be made using an analytic formula, because the geometry which is generally complex for the interesting system, for example the field inside an aircraft’s cockpit. Therefore, we are contrained to use numerical methods, to be able to evaluate this coupling level between sources and victims. Among several existing numerical methods, Multi-Domains (MD) methods are very interesting. They offer to users the freedom to choose the most powerfull numerical method, in terms of the geometrical zone evaluated. With the MD methods, « Domain Decomposition Method » (DDM) has the avantage of decouplingeach of theses areas. Therefore, DDM is very interesting, compared to other methods, in particular on the numerical cost. ONERA keeps on developing this method, which has not stop showing his efficiency since several years, in particular in Radar Cross Section (RCS) and antennas. The objective of this study is to take the benefits of this method for EMC problems. Up to now, several EMC applications treated by the DDM code provided results strongly noisy. Even for with very simple electromagnetic cases, some problems remained without convincing explanations. This justifies this study. The aim of this thesis is to can be able to apply DDM formalism to EMC problems. Then, we have been induced to redefine a number of conventions which are involved in the DDM. Otherwise, we have developed a specific model for the apertures which are privilegied tracts of the coupling by the penetration of waves inside cavities (shieldings). As the apertures have in practice smaller dimensions compared to the wavelength, we have been interested to a quasistatic model which was developped, implemented and validated. Following this model, we have developed an original method, based on a two step calculation, able to do not discretize the apertures support in 3D computations.