Le but de cette thèse est d'étudier et de développer des méthodes permettant de résoudre deux types de problèmes d'identification portant sur des équations elliptiques. Ces problèmes étant connus pour leur caractère fortement instable, les méthodes proposées s'accompagnent de procédures de régularisation, qui permettent d'assurer que la solution obtenue conserve un sens physique.Dans un premier temps, on étudie la résolution du problème de Cauchy (identification de conditions aux limites) par la méthode de Steklov-Poincaré. On commence par proposer quelques améliorations basées sur le solveur de Krylov utilisé, en introduisant notamment une méthode de régularisation consistant à tronquer la décomposition de Ritz de l'opérateur concerné. Par la suite, on s'intéresse à l'estimation d'incertitude en utilisant des techniques issues de l'inversion Bayésienne. Enfin, on cherche à résoudre des problèmes plus exigeants, à savoir un problème transitoire en temps, un cas non-linéaire, et on donne des éléments pour effectuer des résolutions sur des géométries ayant un très grand nombre de degrés de liberté en s'aidant de la décomposition de domaine.Pour ce qui est du problème d'identification de fissures par la méthode de l'écart à la réciprocité, on commence par proposer et tester numériquement différents moyens de stabiliser la résolution (utilisation de fonctions-tests différentes, minimisation des gradients a posteriori ou régularisation de Tikhonov). Puis on présente une autre variante de la méthode de l'écart à la réciprocité, qui est applicable aux cas pour lesquels les mesures sont incomplètes. Cette méthode, basée sur une approche de Petrov-Galerkine, est confrontée entre autres à un cas expérimental. Enfin, on s'intéresse à certaines idées permettant d'étendre la méthode de l'écart à la réciprocité à l'identification de fissures non planes. / The goal of this thesis is to study and to develop some methods in order to solve two types of identification problems in the framework of elliptical equations. As those problems are known to be particularly unstable, the proposed methods are accompanied with regularization procedures, that ensure that the obtained solutions keep a physical meaning.Firstly, we study the resolution of the Cauchy problem (boundary conditions identification) by the Steklov-Poincaré method. We start by proposing some improvements based on the used Krylov solver, especially by introducing a regularization method that consists in truncating the Ritz values decomposition of the operator in question. We study afterwards the estimation of uncertainties by the mean of techniques stemming from Bayesian inversion. Finally, we aim at solving more demanding problems, namely a time-transient problem, a non-linear case, and we give some elements to carry out resolutions on geometries that have a very high number of degrees of freedom, with help of domain decomposition.As for the problem of crack identification by the reciprocity gap method, we firstly propose and numerically test some ways to stabilize the resolution (use of different test-functions, a posteriori minimization of the gradients or Tikhonov regularization). Then we present an other variant of the reciprocity gap method, that is applicable on cases for which the measurements are incomplete. This method, based on a Petrov-Galerkin approach, is confronted, among others, with an experimental case. Finally, we investigate some ideas that allow to extend the reciprocity gap method for the identification of non-plane cracks.