Orientador: Marcelo Firer / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-15T01:48:53Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Moura_AllandeOliveira1_D.pdf: 766044 bytes, checksum: e752134a3aa77aa9bf3559d18a7f0a12 (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Considerando uma generalização da métrica de Hamming, a métrica ponderada por uma ordem parcial, fazemos uma descrição sistemática para os espaços com a métrica ponderada, dando ênfase aos códigos poset e à hierarquia de pesos contextualizada nesse novo ambiente. Técnicas de multiconjunto, para códigos ponderados, são utilizadas para estender o Teorema da Dualidade de Wei, uma relação entre as hierarquias do código e do seu dual. Como consequência desta Dualidade estendemos certos resultados sobre a discrepância, códigos MDS e uma relação entre a condição cadeia do código e do seu dual. / Abstract: Considering a generalization of the Hamming metric, the metric weighted by a partial order, we make a systematic description of the spaces with those metrics, emphasizing poset codes and the weight hierarchy of weights of those codes. Techniques of multiset, for weighted codes, are used to extend the Duality Theorem of Wei, a relationship between the hierarchy of a code and its dual. As a consequence of Duality we extend some results about the discrepancy, MDS codes and a relationship between a chain code and its dual. / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientador: Marcelo Firer / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-25T19:55:05Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Felix_LucianoVianna_D.pdf: 818003 bytes, checksum: fdff7cac576e6c465521860f01c9fc96 (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Neste trabalho são estudados diversos aspectos de códigos em espaços munidos de métricas poset. Considerando posets hierárquicos é determinada uma forma canônica-sistemática de um código linear. Esta forma permite calcular os principais invariantes métricos da teoria de códigos nestes espaços, incluindo distância mínima, pesos generalizados, hierarquia de pesos e o raio de empacotamento. Esta forma canônica-sistemática também permite, considerando métricas poset hierárquicas, classificar códigos MDS e códigos perfeitos e reduzir significativamente a complexidade do algoritmo de decodificação por síndrome. Considerando posets genéricos, são estabelecidas condições necessárias e suficientes para que órbitas de grupos de isometrias lineares sejam determinadas pelas classes de isomorfismos de ideais (propriedade de extensão de ideais). São apresentadas algumas famílias de posets que satisfazem essa condição, incluindo posets cujo diagrama de Hasse é uma árvore uni-raiz, regular por nível. Neste caso específico de árvore, é determinada um invariante que caracteriza estas órbitas. Considerando as operações clássicas entre posets, é demonstrado que apenas a soma ordinal preserva a propriedade de extensão de ideais / Abstract: In this work we consider vector spaces over a finite field equipped with a metric induced by a partial order (poset) and study several aspects of codes embedded in those. Considering hierarchical posets, a canonical-systematic form for linear codes is determined. With this form it is possible to calculate the main metric invariants of coding theory, such as minimal distance, generalized weights, weight hierarchy and the packing radius. This canonical-systematic form also allows to classify MDS and perfect codes and to significantly decrease the complexity of syndrome decoding algorithm. Considering generic posets, necessary and sufficient conditions are established to ensure the orbits of the group of linear isometries to be determined by the ideals isomorphisms classes (ideal extension property). Some families of posets that satisfy those conditions are presented, including posets that have as a Hasse diagram a level-wise regular rooted tree. In this particular case of trees, it is established an invariant that classifies those orbits. Considering classic operations over posets, it is proofed that only ordinal sum preserves the ideal extension property / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientador: Marcelo Muniz Silva Alves / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-12T16:23:24Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ritter_Donizete_M.pdf: 621556 bytes, checksum: 2bf0368b784f3a2be59ca3c2552f4908 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Neste trabalho abordamos a teoria dos Códigos Corretores de Erros clássica e também os códigos sobre ordens parciais, com algumas comparações entre os dois casos. Enfocamos, particularmente, a definição de Alfabeto, a distância de Hamming, os códigos lineares e a definição de matriz geradora de um código; o estudo dos limitantes de Singleton e de Hamming, além de tratar dos Códigos de Hamming. Em relação aos Códigos em Conjuntos Parcialmente Ordenados, apresentamos a definição de ordens parciais, métricas sobre conjuntos ordenados, contagem dos elementos da "bola", resultados sobre Ideais e o Código de Hamming Estendido; estudamos o caso da ordem cadeia ("chain poset"), analisando os códigos de uma cadeia e os códigos de duas cadeias de mesmo comprimento e, por fim, nos dedicamos ao estudo das "Métricas POSET", que admitem códigos binários perfeitos de codi-mensão m, caracterizando assim os Códigos Posets m-corretores de erros. Nosso objetivo é apresentar um texto, acessível a alunos de graduação, que contemple a teoria básica dos Códigos Corretores de Erros, no entanto, forneça uma noção sobre os códigos sobre ordens parciais. / Abstract: In this work, we address the classical theory of error-correcting codes and the theory of codes over poset spaces, also known as poset codes, establishing comparisons between these two cases. In particular, we present the definition of alphabet, the Hamming distance, linear codes and the definition of a generating matrix for a linear code; we also present the Singleton and Hamming bounds, alongside with the Hamming codes. With respect to poset codes, we present the definitions of partial orders and of the poset metric, the counting of the number of elements in a ball in a poset space, some results on ideals in posets and the extended Hamming code; we study the chain poset case, analysing the cases of codes over a chain poset and codes over a union of two chains of the same length and, finally, we study the poset metrics that allow m-perfect binary codes of codimension m, thus characterizing these codes. Our aim is to present a text, accessible for undergraduates, that encompasses the basic theory of error-correcting codes and, nonetheless, also provides some notions on poset codes. / Mestrado / Teoria dos Erros / Mestre em Matemática

Orientador: Marcelo Firer / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T06:58:11Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Spreafico_MarcosViniciusPereira_M.pdf: 558857 bytes, checksum: a9d033bd1132fd1bc42fcb1aa2296ef5 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Neste trabalho fazemos uma apresentação dos espaços poset, introduzidos por Brualdi (1995), apresentamos os conceitos necessarios da teoria de conjuntos parcialmente ordenados e da teoria de codigos. Trabalhamos com uma questão de caráter amplo e estrutural deste contexto, o problema da determinação da ordem atraves da distribuição de pesos. A distribuição de pesos é essencialmente o conjunto das cardinalidades das esferas métricas e a pergunta que se coloca é em que medida este invariante determina a métrica em questão. Demonstramos que para as classes de codigos, cadeia, anticadeia, coroa e hierárquico, classes importantes no contexto da teoria de codigos, o problema possui uma resposta positiva e justificamos algumas conjecturas que relacionam este problema ao da reconstrução de grafos. / Abstract: In this work, we introduce the concept of poset codes (Brualdi - 1995) and in this context we study the weight distribution problem, presenting the necessary concepts of the partially ordered set and error correcting codes theory. The weight distribution is the cardinality of metric-spheres in finite dimensional vector space over a finite field endowed with a poset metric. The weight distribution problem asks for conditions to ensure that the weight distribution determines the metric. In this work we show that the weight distribution of some families of posets, namely the classes of anti-chain, chain, crown and hierarchical posets, determines the metric. We also show that the weight distribution determines some known invariants of posets. Finally, we present some conjectures relating the weight distribution problem and the reconstruction problem of graphs. / Mestrado / Mestre em Matemática

Orientador: Marcelo Firer / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-21T02:49:59Z (GMT). No. of bitstreams: 1 LucasD'Oliveira_RafaelGregorio_M.pdf: 16647897 bytes, checksum: a2258aca5a39f0a7d0bd2243b905a772 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Até o trabalho presente, só era conhecido o raio de empacotamento de um código poset nos casos do poset ser uma cadeia, hierárquico, a união disjunta de cadeias do mesmo tamanho, e para algumas famílias de códigos. Nosso objetivo é abordar o caso geral de um poset qualquer. Para isso, iremos dividir o problema em dois. A primeira parte consiste em encontrar o raio de empacotamento de um único vetor. Veremos que este problema é equivalente à uma generalização de um problema NP-difícil famoso conhecido como \o problema da partição". Veremos então os principais resultados conhecidos sobre este problema dando atenção especial aos algoritmos para resolvê-lo. A receita principal destes algoritmos é o método da diferenciação, e sendo assim, iremos estendê-la para o caso geral. A segunda parte consiste em encontrar o vetor que determina o raio de empacotamento do código. Para isso, mostraremos como é as vezes possível comparar o raio de empacotamento de dois vetores sem calculá-los explicitamente / Abstract: Until the present work, the packing radius of a poset code was only known in the cases where the poset was a chain, hierarchy, a union of disjoint chains of the same size, and for some families of codes. Our objective is to approach the general case of any poset. To do this, we will divide the problem into two parts. The first part consists in finding the packing radius of a single vector. We will show that this is equivalent to a generalization of a famous NP-hard problem known as \the partition problem". Then, we will review the main results known about this problem giving special attention to the algorithms to solve it. The main ingredient to these algorithms is what is known as the differentiating method, and therefore, we will extend it to the general case. The second part consists in finding the vector that determines the packing radius of the code. For this, we will show how it is sometimes possible to compare the packing radius of two vectors without calculating them explicitly / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática