Esse trabalho contempla o estudo sobre o estimador de mínimos quadrados obtido para sistemas lineares discretos sujeitos a ruídos aditivos e a ruídos multiplicativos em seus parâmetros. Supõe-se, adicionalmente, que os parâmetros do sistema estão sujeitos a saltos Markovianos, e que a cadeia de Markov não é conhecida. A solução do problema, sob essas hipóteses, é uma inovação apresentada nesse trabalho. Sob as mesmas hipóteses, o caso estacionário também foi contemplado, e o trabalho apresenta uma demonstração para a convergência da matriz de covariância dos erros do estimador a um valor estacionário, supondo-se estabilidade do sistema e ergodicidade da cadeia de Markov associada. Mostra-se, também, que existe uma única solução positiva semi-definida para a equação de Riccati estacionária e, ainda mais, que tal solução é o limite da matriz de covariância dos erros. A partir da introdução de uma hipótese adicional - de que os parâmetros do sistema estão sujeitos a incertezas na forma de politopos convexos - constrói-se um filtro linear dinâmico em que as iterações possuem estabilidade na média quadrática e que minimiza o limitante superior para o valor esperado do erro quadrático. Uma formulação do tipo LMI (Linear Matrix Inequalities) é proposta para a solução do problema. / This thesis deals with the linear filtering problem for discrete-time Markov jump linear systems with both additive and multiplicative noises. It is assumed that the values of the Markov chain are not available. This is the first time that a solution to the problem with these parameters is presented. By using some usual geometric arguments it is obtained a Kalman type filter conveniently implementable in a recurrence form. The stationary case is also studied and a proof for the convergence of the associated Lyapunov and Riccati like equations is presented. By adding an additional hypotesis - that the parameters of the systems are subject to convex polytopic uncertainties - it was designed a dynamic linear filter such that the closed loop system is mean square stable and minimizes an upper bound for the stationary expected value of the square error. A Linear Matrix Inequalities (LMI) formulation is proposed to solve the problem.

Esse trabalho contempla o estudo sobre o estimador de mínimos quadrados obtido para sistemas lineares discretos sujeitos a ruídos aditivos e a ruídos multiplicativos em seus parâmetros. Supõe-se, adicionalmente, que os parâmetros do sistema estão sujeitos a saltos Markovianos, e que a cadeia de Markov não é conhecida. A solução do problema, sob essas hipóteses, é uma inovação apresentada nesse trabalho. Sob as mesmas hipóteses, o caso estacionário também foi contemplado, e o trabalho apresenta uma demonstração para a convergência da matriz de covariância dos erros do estimador a um valor estacionário, supondo-se estabilidade do sistema e ergodicidade da cadeia de Markov associada. Mostra-se, também, que existe uma única solução positiva semi-definida para a equação de Riccati estacionária e, ainda mais, que tal solução é o limite da matriz de covariância dos erros. A partir da introdução de uma hipótese adicional - de que os parâmetros do sistema estão sujeitos a incertezas na forma de politopos convexos - constrói-se um filtro linear dinâmico em que as iterações possuem estabilidade na média quadrática e que minimiza o limitante superior para o valor esperado do erro quadrático. Uma formulação do tipo LMI (Linear Matrix Inequalities) é proposta para a solução do problema. / This thesis deals with the linear filtering problem for discrete-time Markov jump linear systems with both additive and multiplicative noises. It is assumed that the values of the Markov chain are not available. This is the first time that a solution to the problem with these parameters is presented. By using some usual geometric arguments it is obtained a Kalman type filter conveniently implementable in a recurrence form. The stationary case is also studied and a proof for the convergence of the associated Lyapunov and Riccati like equations is presented. By adding an additional hypotesis - that the parameters of the systems are subject to convex polytopic uncertainties - it was designed a dynamic linear filter such that the closed loop system is mean square stable and minimizes an upper bound for the stationary expected value of the square error. A Linear Matrix Inequalities (LMI) formulation is proposed to solve the problem.

Neste trabalho foi estudado um problema de controle de sistemas lineares com saltos Markovianos sem observação da variável de salto, que pode ser escrito como um problema de otimização de considerável complexidade. As contribuições para a área estão divididas em três aspectos. Um dos avanços foi a elaboração de um contraexemplo para a conjectura de que há somente um mínimo local isolado para o problema. Além disso, foi estudado o problema de otimização intermediário, que consiste em fixar todas as variáveis do problema exceto duas matrizes de ganhos, e os resultados indicam que, com uma pequena alteração na formulação, este é um problema biquadrático. Por fim, novos algoritmos foram elaborados a partir de um método disponível na literatura, chamado de método Variacional, adaptando-o para atualizar os ganhos aos pares, levando a problemas intermediários biquadráticos. Três métodos foram implementados para a resolução destes problemas: dois métodos clássicos de descida, Newton e Gradiente, e uma adaptação do próprio método Variacional. Para a análise dos resultados foram utilizados exemplos gerados aleatoriamente a partir do Gerador de SLSM, que pode ser encontrado na literatura, e o método Variacional como referência para comparação com os métodos propostos / This work addresses a control problem arising in linear systems with Markov jumps without observation of the jump variable and advances in three different aspects. First, it is presented a counterexample to the conjecture that states about the uniqueness of local minimum. Second, the intermediary optimization problem, which sets all the variables of the problem except two arrays of gains, was studied and the results suggested that a slight modification in the formulation makes the intermediary problem a biquadratic one. Finally, new algorithms were developed based on a method available in the literature, which is frequently referred to as the Variational method, adapting it to update the gains in pairs, leading to biquadratic intermediary problems. Three methods were implemented to solve these intermediary problems: two classical descent methods, Newton and Gradient, and an adaptation of the Variational method. To evaluate the performance of the proposed methods, randomly generated examples were used and the Variational method was set as reference for comparing the results

Neste trabalho foi estudado um problema de controle de sistemas lineares com saltos Markovianos sem observação da variável de salto, que pode ser escrito como um problema de otimização de considerável complexidade. As contribuições para a área estão divididas em três aspectos. Um dos avanços foi a elaboração de um contraexemplo para a conjectura de que há somente um mínimo local isolado para o problema. Além disso, foi estudado o problema de otimização intermediário, que consiste em fixar todas as variáveis do problema exceto duas matrizes de ganhos, e os resultados indicam que, com uma pequena alteração na formulação, este é um problema biquadrático. Por fim, novos algoritmos foram elaborados a partir de um método disponível na literatura, chamado de método Variacional, adaptando-o para atualizar os ganhos aos pares, levando a problemas intermediários biquadráticos. Três métodos foram implementados para a resolução destes problemas: dois métodos clássicos de descida, Newton e Gradiente, e uma adaptação do próprio método Variacional. Para a análise dos resultados foram utilizados exemplos gerados aleatoriamente a partir do Gerador de SLSM, que pode ser encontrado na literatura, e o método Variacional como referência para comparação com os métodos propostos / This work addresses a control problem arising in linear systems with Markov jumps without observation of the jump variable and advances in three different aspects. First, it is presented a counterexample to the conjecture that states about the uniqueness of local minimum. Second, the intermediary optimization problem, which sets all the variables of the problem except two arrays of gains, was studied and the results suggested that a slight modification in the formulation makes the intermediary problem a biquadratic one. Finally, new algorithms were developed based on a method available in the literature, which is frequently referred to as the Variational method, adapting it to update the gains in pairs, leading to biquadratic intermediary problems. Three methods were implemented to solve these intermediary problems: two classical descent methods, Newton and Gradient, and an adaptation of the Variational method. To evaluate the performance of the proposed methods, randomly generated examples were used and the Variational method was set as reference for comparing the results

Cette thèse est consacrée à la restauration et l'estimation des paramètres par filtrage dans les modèles de chaîne de Markov cachée classique, couple et triplet à sauts Markoviens. Nous proposons deux nouvelles méthodes d'approximation dans le cas des systèmes linéaires gaussiens à sauts Markoviens. La première est fondée sur l'utilisation des chaînes de Markov cachées par du bruit à mémoire longue, on obtient alors une méthode " partiellement non supervisée" dans la quelle certains paramètres, peuvent être estimés en utilisant une version adaptative de l'algorithme EM ou ICE, les résultats obtenus sont encourageant et comparables avec les méthodes classiquement utilisées du type (Kalman/Particulaire). La deuxième exploite l'idée de ne garder à chaque instant que les trajectoires les plus probables; là aussi, on obtient une méthode très rapide donnant des résultats très intéressants. Nous proposons par la suite deux familles de modèles à sauts qui sont originaux. la première est très générale où le processus couple composé du processus d'intérêt et celui des observations conditionnellement aux sauts, est une chaîne de Markov cachée, et nous proposons une extension du filtrage particulaire à cette famille. La deuxième, est une sous famille de la première où le couple composé de la chaîne des sauts et le processus d'observations est Markovien dans ce dernier cas le filtrage optimal exact est possible avec une complexité linéaire dans le temps. L'utilisation de la deuxième famille en tant qu'approximation de la première est alors étudiée et les résultats exposés dans ce mémoire semblent très encourageants / This thesis is devoted to the restoration problem and the parameter estimation by filtering in the traditional hidden Markov chain model, couple and triplet with Markovian jumps. We propose two new approximate methods in the case of Gaussian linear systems with Markovian jumps. first is founded to use the hidden Markov chains by noise with long memory, we obtains a method " partially not supervised" some parameters, can be estimated by using an adaptive version of EM or ICE algorithm, the results obtained are encouraging and comparable with the methods used classically (Kalman/Particle). The second one exploits idea to keep at every moment only the most probable trajectories; we obtains a very fast method giving very interesting results. Then we propose two families of models to jumps which are original. The first one is very general where the process couples made up of the hidden and the observations process conditionally to the jumps, are a hidden Markov chain, and we propose an extension of particulate filtering to this family. The second is under family of the first, where the couple made up of the jumps and the observations process is Markovian, in this last case exact optimal filtering is possible with a linear complexity in time. Using of the second family to approach the first one is studied and the results exposed in this memory seem very encouraging