Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / In this work we study from both classical and quantum point of view the position dependent mass harmonic oscillator (PDMHO). Classically, we use the Legendre transformation to find the Hamiltonian of the system. Next, we define two functions, and , to simplify the hamiltonian of the PDMHO. By using the Poisson algebra we find the expressions for the position and moment. At last, by using a canonical transformation we relate the equations of the PDMHO to those of the simple harmonic oscillator (SHO). Quantically, we write the Hamiltonian of the PDMHO in terms of the operators and . Next, we consider that these operators satisfy the same algebra that those of the SHO. By assuming that both the classical and quantum PDMHO have the same form, we are able to find a simple form for the PDMHO Hamiltonian. Finally, by transforming the SchrÃdinger equation (SE) of the PDMHO into that of the SHO, we can write the wave function of the PDMHO in terms of that of the SHO. We will study two time-dependent systems, namely and , we observe that as , they tend to a simple harmonic oscillator. For each system we find the position and momentum (classical study), as well as the wave-function (quantum study). For both systems we analyze the the position e momentum uncertainty, the product uncertainty, the fisher information and Shannon entropy, for the ground state, as a function of the parameter . / Neste trabalho estudamos clÃssica e quanticamente o oscilador harmÃnico com massa dependente da posiÃÃo (OHMDP). Na parte clÃssica, utilizamos a transformaÃÃo de Legendre para encontrar a hamiltoniana do sistema. A seguir definimos duas funÃÃes e para escrevermos a hamiltoniana do OHMDP de uma forma mais simples. Utilizando a Ãlgebra de Poisson encontramos as expressÃes para a posiÃÃo e o momento. Por fim, atravÃs de uma transformaÃÃo canÃnica veremos como relacionar as equaÃÃes do OHMDP com aquelas do oscilador harmÃnico simples (OHS). Na parte quÃntica, escrevemos a hamiltoniana do OHMDP em termos de operadores e . Em seguida, vamos supor que estes operadores satisfaÃam a mesma relaÃÃo de comutaÃÃo que os operadores abaixamento e levantamento do OHS. Analisando que condiÃÃo deve ser satisfeita para que os osciladores OHMDP clÃssico e quÃntico tenham o mesmo potencial, encontramos uma forma simplificada da hamiltoniana do OHMDP. Em seguida, transformamos a equaÃÃo de SchrÃdinger (ES) para o OHMDP na ES para o OHS. Assim, obtemos a funÃÃo de onda do OHMDP em termos da funÃÃo de onda do OHS. Estudaremos dois sistemas com massa dependente da posiÃÃo, a saber: e , vemos que quando , recaÃmos no OHS. Para cada sistema encontraremos a posiÃÃo e o momento (estudo clÃssico), bem como a funÃÃo de onda (estudo quÃntico). Para os dois sistemas analisaremos tambÃm o comportamento da incerteza na posiÃÃo, incerteza no momento, produto de incerteza, informaÃÃo de Fisher e entropia de Shannon, para o estado fundamental, em funÃÃo do parÃmetro de deformaÃÃo .

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Nos Ãltimos anos à crescente o interesse pelo estudo de teorias em espaÃos nÃo-comutativos. As teorias de campos nÃo-comutativas sÃo relacionadas com compactificaÃÃes da Teoria M, teoria de cordas em cenÃrios nÃo-triviais e no efeito Hall quÃntico. Por outro lado, o papel da nÃo-comutatividade em teorias de uma partÃcula encontra grandes aplicaÃÃes quando analisado em cenÃrios de mecÃnica quÃntica e mecÃnica quÃntica relativÃstica. Nestes contextos os estudos das equaÃÃes de Schrodinger e Dirac com massa dependendo da posiÃÃo (MDP) tem despertado muita atenÃÃo na literatura. Sistemas dotadas de MDP constituem modelos Ãteis para o estudo de muitos problemas fÃsicos. Em particular, eles sÃo usados para estudar a densidade de energia em problemas de muitos corpos, determinando as propriedades eletrÃnicas de heteroestruturas semicondutoras e tambÃm para descrever as propriedades de heterojunÃÃes e pontos quÃnticos. A investigaÃÃo de efeitos relativÃsticos, em particular, à importante para sistemas contendo Ãtomos pesados ou dopagem por ions pesados. Para esses tipos de materiais, o estudo das propriedades da equaÃÃo de Dirac, no caso em que a massa torna-se variÃvel à de grande interesse. No presente trabalho analisamos a equaÃÃo de Dirac com massa dependendo da posiÃÃo, na forma de potencial tipo-Coulomb mais um termo de confinamento, num espaÃo nÃo-comutativo e calculamos as correÃÃes no espectro de energia devido à presenÃa do termo de massa modificado.