Este trabalho apresenta um processo de refinamento auto-adaptativo do tipo h. Para tal, utilizou-se como base o estimador de erros "a-posteriori" proposto por ZIENKIEWICZ e ZHU30 . Esse estimador foi adaptado para, ao invés de fornecer o nível de erro por elemento, indicar o mesmo por nó. Isto foi conseguido realizando, para cada nó, a média do nível de erro dos elementos nele incidentes. A partir dessa avaliação de erro. inicia-se a subdivisão dos elementos ao redor dos nós que apresentam um maior nivel de erro, segundo regras que serão explicadas ao longo deste trabalho. Como vantagem, o processo de refinamento usado evita a criação de nós nTegulares. É importante salientar que a presença desses nós exige mudanças consideráveis nos programas já existentes e, dependendo do tipo de elemento utilizado, torna a formulação bastante complexa. tmtra vantagem é que há a possibilidade de aplicar este processo aos elementos planos ou tridimensionais normalmente utilizados (lineares ou quadráticos), mesmo que a malha seja mista. A única restrição é que todos os elementos devem ser de mesma ordem. A desvantagem existente é a introductão de elementos que apresentam uma dio;torção maior que aqueles gerados no processo que cria os nós irregulares. Além disso, é necessário usar uma malha inicial um pouco mais fina que aquela utilizada no processo onde esses nós aparecem. Note-se que o processo onde há nós irregulares também tem uma limitação natural, normalmente de cinco rúveis sucessivos de refinamento, devido ao cálculo dos deslocamentos nesses nós. O estimador de erros e o processo de refinamento estão implementados no sistema GAEU e são ap.licados a problemas elásticos-estáticos lineares do tipo: estado plano de tensões e deform.ações, sólidos axissimétricos, sólidos tridimensionais, flexão de placas e cascas poliédricas. Para possibilitar a verificação da eficiência dos algoritmos implementados, são apresentados exemplos. Compara-se os resultados obtidos nos exemplos com soluções teóricas ou com soluções aproximadas obtidas usando malhas finas uniformes. / This work presents and type refinement process. The ZIENKIEWICZ - ZHU30 error estimator was used as a basis to do that. Tbis error estimator was adapted to give the etTor levei by node instead of giving it by element as usual. To make it possible, an average en·or of the elements connected to each node of the mesh is made. Using this error distribution by node, a mesh subdivísion around each node is done. The proce-ss begins with those nodes which haw the highest error leve~ according to rules that wil1 be explained in this work. As an advantage, the refinement process used avoids the irregular nodes generation. lt is important to mention that its presence demands considerable changes of the programs in use. Depending on the element type used, the irregular nodes make the formulation very cornplex. Another advantage is the possibility to apply this process to the plane and tridimensional elernents usually used (linear or quadratic ), even if the mesh is mixed. The only restriction is that ali the elements sh.ould be ofthe same order. The main disadvantage of the process used is the introduction of elements that have a greater distor1ion than the ones generated in the irregular nodes process. Besídes, it is necessary to use an initial mesh that is thínner than lhe one used in the irregular nodes process. It should be noticed that thís process has also a natural límítation, normally five levels of refinernent as a maxirnum, due to the displacement calculation of the irregular nades. The errar estimator and refinement process are implemented into the GAELI system and applicd to the linear-elastic static problems which involve formulations of plane stress and strain, axissirnetric solids, tridimensional solids, plates and shells. Some examples are presented to verify the efficiency of the implemented algorithms. The results are compared with th.eoretical results or results obtained by the use of very thin and uniform meshes.

Este trabalho apresenta um processo de refinamento auto-adaptativo do tipo h. Para tal, utilizou-se como base o estimador de erros "a-posteriori" proposto por ZIENKIEWICZ e ZHU30 . Esse estimador foi adaptado para, ao invés de fornecer o nível de erro por elemento, indicar o mesmo por nó. Isto foi conseguido realizando, para cada nó, a média do nível de erro dos elementos nele incidentes. A partir dessa avaliação de erro. inicia-se a subdivisão dos elementos ao redor dos nós que apresentam um maior nivel de erro, segundo regras que serão explicadas ao longo deste trabalho. Como vantagem, o processo de refinamento usado evita a criação de nós nTegulares. É importante salientar que a presença desses nós exige mudanças consideráveis nos programas já existentes e, dependendo do tipo de elemento utilizado, torna a formulação bastante complexa. tmtra vantagem é que há a possibilidade de aplicar este processo aos elementos planos ou tridimensionais normalmente utilizados (lineares ou quadráticos), mesmo que a malha seja mista. A única restrição é que todos os elementos devem ser de mesma ordem. A desvantagem existente é a introductão de elementos que apresentam uma dio;torção maior que aqueles gerados no processo que cria os nós irregulares. Além disso, é necessário usar uma malha inicial um pouco mais fina que aquela utilizada no processo onde esses nós aparecem. Note-se que o processo onde há nós irregulares também tem uma limitação natural, normalmente de cinco rúveis sucessivos de refinamento, devido ao cálculo dos deslocamentos nesses nós. O estimador de erros e o processo de refinamento estão implementados no sistema GAEU e são ap.licados a problemas elásticos-estáticos lineares do tipo: estado plano de tensões e deform.ações, sólidos axissimétricos, sólidos tridimensionais, flexão de placas e cascas poliédricas. Para possibilitar a verificação da eficiência dos algoritmos implementados, são apresentados exemplos. Compara-se os resultados obtidos nos exemplos com soluções teóricas ou com soluções aproximadas obtidas usando malhas finas uniformes. / This work presents and type refinement process. The ZIENKIEWICZ - ZHU30 error estimator was used as a basis to do that. Tbis error estimator was adapted to give the etTor levei by node instead of giving it by element as usual. To make it possible, an average en·or of the elements connected to each node of the mesh is made. Using this error distribution by node, a mesh subdivísion around each node is done. The proce-ss begins with those nodes which haw the highest error leve~ according to rules that wil1 be explained in this work. As an advantage, the refinement process used avoids the irregular nodes generation. lt is important to mention that its presence demands considerable changes of the programs in use. Depending on the element type used, the irregular nodes make the formulation very cornplex. Another advantage is the possibility to apply this process to the plane and tridimensional elernents usually used (linear or quadratic ), even if the mesh is mixed. The only restriction is that ali the elements sh.ould be ofthe same order. The main disadvantage of the process used is the introduction of elements that have a greater distor1ion than the ones generated in the irregular nodes process. Besídes, it is necessary to use an initial mesh that is thínner than lhe one used in the irregular nodes process. It should be noticed that thís process has also a natural límítation, normally five levels of refinernent as a maxirnum, due to the displacement calculation of the irregular nades. The errar estimator and refinement process are implemented into the GAELI system and applicd to the linear-elastic static problems which involve formulations of plane stress and strain, axissirnetric solids, tridimensional solids, plates and shells. Some examples are presented to verify the efficiency of the implemented algorithms. The results are compared with th.eoretical results or results obtained by the use of very thin and uniform meshes.

Este trabalho apresenta um processo de refinamento auto-adaptativo do tipo h. Para tal, utilizou-se como base o estimador de erros "a-posteriori" proposto por ZIENKIEWICZ e ZHU30 . Esse estimador foi adaptado para, ao invés de fornecer o nível de erro por elemento, indicar o mesmo por nó. Isto foi conseguido realizando, para cada nó, a média do nível de erro dos elementos nele incidentes. A partir dessa avaliação de erro. inicia-se a subdivisão dos elementos ao redor dos nós que apresentam um maior nivel de erro, segundo regras que serão explicadas ao longo deste trabalho. Como vantagem, o processo de refinamento usado evita a criação de nós nTegulares. É importante salientar que a presença desses nós exige mudanças consideráveis nos programas já existentes e, dependendo do tipo de elemento utilizado, torna a formulação bastante complexa. tmtra vantagem é que há a possibilidade de aplicar este processo aos elementos planos ou tridimensionais normalmente utilizados (lineares ou quadráticos), mesmo que a malha seja mista. A única restrição é que todos os elementos devem ser de mesma ordem. A desvantagem existente é a introductão de elementos que apresentam uma dio;torção maior que aqueles gerados no processo que cria os nós irregulares. Além disso, é necessário usar uma malha inicial um pouco mais fina que aquela utilizada no processo onde esses nós aparecem. Note-se que o processo onde há nós irregulares também tem uma limitação natural, normalmente de cinco rúveis sucessivos de refinamento, devido ao cálculo dos deslocamentos nesses nós. O estimador de erros e o processo de refinamento estão implementados no sistema GAEU e são ap.licados a problemas elásticos-estáticos lineares do tipo: estado plano de tensões e deform.ações, sólidos axissimétricos, sólidos tridimensionais, flexão de placas e cascas poliédricas. Para possibilitar a verificação da eficiência dos algoritmos implementados, são apresentados exemplos. Compara-se os resultados obtidos nos exemplos com soluções teóricas ou com soluções aproximadas obtidas usando malhas finas uniformes. / This work presents and type refinement process. The ZIENKIEWICZ - ZHU30 error estimator was used as a basis to do that. Tbis error estimator was adapted to give the etTor levei by node instead of giving it by element as usual. To make it possible, an average en·or of the elements connected to each node of the mesh is made. Using this error distribution by node, a mesh subdivísion around each node is done. The proce-ss begins with those nodes which haw the highest error leve~ according to rules that wil1 be explained in this work. As an advantage, the refinement process used avoids the irregular nodes generation. lt is important to mention that its presence demands considerable changes of the programs in use. Depending on the element type used, the irregular nodes make the formulation very cornplex. Another advantage is the possibility to apply this process to the plane and tridimensional elernents usually used (linear or quadratic ), even if the mesh is mixed. The only restriction is that ali the elements sh.ould be ofthe same order. The main disadvantage of the process used is the introduction of elements that have a greater distor1ion than the ones generated in the irregular nodes process. Besídes, it is necessary to use an initial mesh that is thínner than lhe one used in the irregular nodes process. It should be noticed that thís process has also a natural límítation, normally five levels of refinernent as a maxirnum, due to the displacement calculation of the irregular nades. The errar estimator and refinement process are implemented into the GAELI system and applicd to the linear-elastic static problems which involve formulations of plane stress and strain, axissirnetric solids, tridimensional solids, plates and shells. Some examples are presented to verify the efficiency of the implemented algorithms. The results are compared with th.eoretical results or results obtained by the use of very thin and uniform meshes.

A técnica da matriz não-moda! é útil num contexto em que não se tem acesso aos modos normais de um sistema, caso freqüente em muitos modelos meteorológicos de área limitada. O método é investigado no contexto de um modelo unidimensional, tanto para integração temporal, como para filtrar componentes de altas freqü ências dos dados iniciais do modelo (procedimento conhecido como inicialização). Determinam-se os campos de velocidade com o uso da inversa generalizada de Moore-Penrose, como solução de uma equação de Poisson associada a cada componente da velocidade horizontal. Mostra-se também um estudo da dispersão vertical de contaminantes em camadas estáveis, cujo coeficiente de difusão turbulenta é obtido ela teoria ele similaridade local , num esquema de fechamento de primeira ordem. / The non-modal matrix technique is valuable if it does not have knowledgc of thc normal medes of the system. It is very usual in many limited area metercological models. The method is investigated in the one-dimensional model context, for temporal integration, anel for filtering high frequcncies in the initial data of the model (this procedure is known as initialization) . The velocity fields are obtained by using thc Moore-Pcnrosc gcncralizcd invcrsc. This inverse is a solution of the Poisson equa.t ions assotiatcd to cach horizontal velocity component. It is also shown a study of the vertical dispersion of containants in stable la.ycrs, whose turbulent coefficient is taken from Lhe local similarity theory (first closc ordcr).

A técnica da matriz não-moda! é útil num contexto em que não se tem acesso aos modos normais de um sistema, caso freqüente em muitos modelos meteorológicos de área limitada. O método é investigado no contexto de um modelo unidimensional, tanto para integração temporal, como para filtrar componentes de altas freqü ências dos dados iniciais do modelo (procedimento conhecido como inicialização). Determinam-se os campos de velocidade com o uso da inversa generalizada de Moore-Penrose, como solução de uma equação de Poisson associada a cada componente da velocidade horizontal. Mostra-se também um estudo da dispersão vertical de contaminantes em camadas estáveis, cujo coeficiente de difusão turbulenta é obtido ela teoria ele similaridade local , num esquema de fechamento de primeira ordem. / The non-modal matrix technique is valuable if it does not have knowledgc of thc normal medes of the system. It is very usual in many limited area metercological models. The method is investigated in the one-dimensional model context, for temporal integration, anel for filtering high frequcncies in the initial data of the model (this procedure is known as initialization) . The velocity fields are obtained by using thc Moore-Pcnrosc gcncralizcd invcrsc. This inverse is a solution of the Poisson equa.t ions assotiatcd to cach horizontal velocity component. It is also shown a study of the vertical dispersion of containants in stable la.ycrs, whose turbulent coefficient is taken from Lhe local similarity theory (first closc ordcr).

A técnica da matriz não-moda! é útil num contexto em que não se tem acesso aos modos normais de um sistema, caso freqüente em muitos modelos meteorológicos de área limitada. O método é investigado no contexto de um modelo unidimensional, tanto para integração temporal, como para filtrar componentes de altas freqü ências dos dados iniciais do modelo (procedimento conhecido como inicialização). Determinam-se os campos de velocidade com o uso da inversa generalizada de Moore-Penrose, como solução de uma equação de Poisson associada a cada componente da velocidade horizontal. Mostra-se também um estudo da dispersão vertical de contaminantes em camadas estáveis, cujo coeficiente de difusão turbulenta é obtido ela teoria ele similaridade local , num esquema de fechamento de primeira ordem. / The non-modal matrix technique is valuable if it does not have knowledgc of thc normal medes of the system. It is very usual in many limited area metercological models. The method is investigated in the one-dimensional model context, for temporal integration, anel for filtering high frequcncies in the initial data of the model (this procedure is known as initialization) . The velocity fields are obtained by using thc Moore-Pcnrosc gcncralizcd invcrsc. This inverse is a solution of the Poisson equa.t ions assotiatcd to cach horizontal velocity component. It is also shown a study of the vertical dispersion of containants in stable la.ycrs, whose turbulent coefficient is taken from Lhe local similarity theory (first closc ordcr).

Este trabalho apresenta um conjunto de técnicas para a modelagem paramétrica e geração de malhas de superfícies para uso em sistemas de análise e simulações numéricas pelo Método dos Elementos Finitos. Foram desenvolvidos algoritmos para a geração paramétrica de superfícies, para a determinação das curvas de interseções entre superfícies e para a geração de malhas em superfícies curvas e recortadas. Foram implementas linhas e curvas paramétricas básicas, a partir das quais são geradas superfícies paramétricas de vários tipos que proporcionam uma grande flexibilidade de modelamento geométrico. Curvas e superfícies são geradas e manipuladas de forma interativa. São apresentadas técnicas que simplificam a implementação de linhas e superfícies paramétricas. Foi desenvolvido um algoritmo para determinar as curvas de interseção entre superfícies paramétricas, que são utilizadas como linhas de recorte (trimming lines) para obter geometrias complexas e compostas de várias superfícies. O algoritmo desenvolvido emprega técnicas de subdivisão adaptativa, por quadtrees, em função da curvatura local das superfícies. Primeiramente, obtém-se uma aproximação das curvas de interseção no espaço 3D, através da aproximação por triângulos. Os resultados iniciais são refinados e projetados sobre as duas superfícies envolvidas com algoritmos que permitem obter grande precisão. As curvas de interseção finais são mapeadas nos espaços paramétricos das duas superfícies, porém com uma parametrização única, o que facilita a junção com superfícies adjacentes Um algoritmo de geração de malha foi desenvolvido para gerar malhas triangulares de qualidade sobre as superfícies curvas e recortadas. O algoritmo utiliza um processo de subdivisão adaptativa por quadtrees, similar ao utilizado no algoritmo de interseção, para definir tamanhos de elementos em função da curvatura local. Em seguida, aplica-se um algoritmo tipo advancing front para gerar a malha sobre a superfície. Os algoritmos foram implementados e testados em um ambiente gráfico interativo especialmente desenvolvido para este trabalho. São apresentados vários exemplos que comprovam a eficiência das técnicas e algoritmos propostos, incluindo exemplos de matrizes de conformação mecânica para uso com código de análise METAFOR, análise de sensibilidade para otimização de pré-formas e de modelagem de superfícies compostas recortadas com geração de malhas de qualidade, para uso em análise por Elementos Finitos ou como contorno para geração de elementos tridimensionais.

Este trabalho apresenta propostas para o remanejo de malhas em problemas tridimensionais de grandes deformações. É focalizada a aplicação de uma formulação Lagrangeana-Euleriana Arbitrária, capaz de manter uma boa qualidade dos elementos finitos ao longo de processos como conformação mecânica e impacto. Esta formulação é uma alternativa a formulações Lagrangeanas, nas quais a malha de elementos finitos fica "colada" à matéria, o que ocasiona uma distorção excessiva da mesma. Para introduzir a formulação LEA, os aspectos relacionados à cinemática da formulação, o princípio dos trabalhos virtuais, a técnica de separação do operador LEA em dois passos (Lagrangeano Atualizado-LA e Euleriano), os métodos de solução numérica do problema e as leis constitutivas são revistos. Em seguida, são descritas as técnicas de realocação nodal para o remanejo de malhas e os procedimentos para a transferência de dados (utilizados após a realocação nodal para a passagem dos valores das variáveis de estado da malha do passo LA para a malha realocada do passo Euleriano). Finalmente, são apresentados critérios de avaliação da distorção e do erro, empregados para a verificação da qualidade da malha e dos resultados obtidos em aplicações numéricas realizadas. A formulação LEA mostrou ser uma alternativa eficiente em muitos casos, porque possibilita um remanejo de malhas automático com resultados de boa qualidade sem precisar interromper a análise. / This work presents remeshing techniques for three-dimensional large deformation problems. It is focused on the application of an Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation, which is able to mantain the finite elements shape during processes such as metal forming and impact. This formulation is an alternative to Lagrangian formulations, where the finite element mesh, attached to the material, suffers excessive mesh distortion. To introduce the ALE formulation, the aspects related to kinematic, virtual work principle, operator splitting technique in two steps (Updated Lagrangian-UL and Eulerian), numerical solution methods and constitutive laws are revised. Then, nodal relocation techniques for mesh adaptation and data transfer procedures (employed after the nodal relocation to transfer state variables from UL mesh to relocated mesh of the Eulerian step) are described. Finally, mesh distortion and error evaluation criteria are presented and used for verifying mesh quality and results accuracy in the numerical applications performed. The ALE formulation is shown to be an efficient alternative in many cases, because it provides automatic remeshing with good quality results without interrupting the analysis.

Este trabalho apresenta um conjunto de técnicas para a modelagem paramétrica e geração de malhas de superfícies para uso em sistemas de análise e simulações numéricas pelo Método dos Elementos Finitos. Foram desenvolvidos algoritmos para a geração paramétrica de superfícies, para a determinação das curvas de interseções entre superfícies e para a geração de malhas em superfícies curvas e recortadas. Foram implementas linhas e curvas paramétricas básicas, a partir das quais são geradas superfícies paramétricas de vários tipos que proporcionam uma grande flexibilidade de modelamento geométrico. Curvas e superfícies são geradas e manipuladas de forma interativa. São apresentadas técnicas que simplificam a implementação de linhas e superfícies paramétricas. Foi desenvolvido um algoritmo para determinar as curvas de interseção entre superfícies paramétricas, que são utilizadas como linhas de recorte (trimming lines) para obter geometrias complexas e compostas de várias superfícies. O algoritmo desenvolvido emprega técnicas de subdivisão adaptativa, por quadtrees, em função da curvatura local das superfícies. Primeiramente, obtém-se uma aproximação das curvas de interseção no espaço 3D, através da aproximação por triângulos. Os resultados iniciais são refinados e projetados sobre as duas superfícies envolvidas com algoritmos que permitem obter grande precisão. As curvas de interseção finais são mapeadas nos espaços paramétricos das duas superfícies, porém com uma parametrização única, o que facilita a junção com superfícies adjacentes Um algoritmo de geração de malha foi desenvolvido para gerar malhas triangulares de qualidade sobre as superfícies curvas e recortadas. O algoritmo utiliza um processo de subdivisão adaptativa por quadtrees, similar ao utilizado no algoritmo de interseção, para definir tamanhos de elementos em função da curvatura local. Em seguida, aplica-se um algoritmo tipo advancing front para gerar a malha sobre a superfície. Os algoritmos foram implementados e testados em um ambiente gráfico interativo especialmente desenvolvido para este trabalho. São apresentados vários exemplos que comprovam a eficiência das técnicas e algoritmos propostos, incluindo exemplos de matrizes de conformação mecânica para uso com código de análise METAFOR, análise de sensibilidade para otimização de pré-formas e de modelagem de superfícies compostas recortadas com geração de malhas de qualidade, para uso em análise por Elementos Finitos ou como contorno para geração de elementos tridimensionais.

Este trabalho apresenta propostas para o remanejo de malhas em problemas tridimensionais de grandes deformações. É focalizada a aplicação de uma formulação Lagrangeana-Euleriana Arbitrária, capaz de manter uma boa qualidade dos elementos finitos ao longo de processos como conformação mecânica e impacto. Esta formulação é uma alternativa a formulações Lagrangeanas, nas quais a malha de elementos finitos fica "colada" à matéria, o que ocasiona uma distorção excessiva da mesma. Para introduzir a formulação LEA, os aspectos relacionados à cinemática da formulação, o princípio dos trabalhos virtuais, a técnica de separação do operador LEA em dois passos (Lagrangeano Atualizado-LA e Euleriano), os métodos de solução numérica do problema e as leis constitutivas são revistos. Em seguida, são descritas as técnicas de realocação nodal para o remanejo de malhas e os procedimentos para a transferência de dados (utilizados após a realocação nodal para a passagem dos valores das variáveis de estado da malha do passo LA para a malha realocada do passo Euleriano). Finalmente, são apresentados critérios de avaliação da distorção e do erro, empregados para a verificação da qualidade da malha e dos resultados obtidos em aplicações numéricas realizadas. A formulação LEA mostrou ser uma alternativa eficiente em muitos casos, porque possibilita um remanejo de malhas automático com resultados de boa qualidade sem precisar interromper a análise. / This work presents remeshing techniques for three-dimensional large deformation problems. It is focused on the application of an Arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) formulation, which is able to mantain the finite elements shape during processes such as metal forming and impact. This formulation is an alternative to Lagrangian formulations, where the finite element mesh, attached to the material, suffers excessive mesh distortion. To introduce the ALE formulation, the aspects related to kinematic, virtual work principle, operator splitting technique in two steps (Updated Lagrangian-UL and Eulerian), numerical solution methods and constitutive laws are revised. Then, nodal relocation techniques for mesh adaptation and data transfer procedures (employed after the nodal relocation to transfer state variables from UL mesh to relocated mesh of the Eulerian step) are described. Finally, mesh distortion and error evaluation criteria are presented and used for verifying mesh quality and results accuracy in the numerical applications performed. The ALE formulation is shown to be an efficient alternative in many cases, because it provides automatic remeshing with good quality results without interrupting the analysis.