Les boucles sont des objets mathématiques qui sont étudiés depuis le début du siècle. Leur non associativité les rend cependant difficiles à comprendre et leur nombre empêche l'étude exhaustive. Plusieurs chercheurs abordent les boucles en les classifiant en classe d'isotopie. Toutefois, ces classes n'ont pas un sens propre si on utilise les boucles pour la reconnaissance de langages. Il faut plutôt, dans ce cas, s'intéresser aux classes d'isomorphisme. La génération des classes d'isomorphisme, même pour des ordres aussi petits que 8 est très difficile. Cette recherche présente des algorithmes permettant de travailler la génération des classes d'isomorphisme de boucles en temps raisonnable pour les ordres inférieurs à 8. Ces algorithmes peuvent également être utilisés comme algorithme de recherche pour des ordres supérieurs.

Ce travail porte sur la résolution de problèmes de changement de phase en ID et 2D lorsque le seul mode de transfert de chaleur est la conduction. On ne considère que les changements de phase liquide-solide (solidification) et solide-liquide (fusion) à une température donnée. Ce type de problème peut être modélisé par l'équation aux dérivées partielles -V-(fcVT(x,*)) = 0, dt ou H = , T<Tf \ pcpsTf + pcpl(T -Tf) + pL, T>Tf est une fonction discontinue à T = Tf. Cette discontinuité marque la séparation entre le solide et le liquide et est appelée interface diphasique. Les propriétés k, cps et cpi sont constantes pour une phase donnée, L et p sont constantes. Cette équation doit habituellement être résolue avec un schéma numérique. Le schéma numérique que l'on utilise est la méthode des volumes finis dirigés. Il s'agit d'un nouveau schéma numérique de résolution d'équations aux dérivées partielles. Ce schéma numérique est une méthode de volumes finis espace-temps qui permet le déplacement des noeuds du maillage. Lors de la résolution des équations de discrétisation, la position de certains noeuds du maillage est inconnue. De plus, puisque le schéma permet la rencontre de noeuds, le pas de temps est parfois inconnu. Dans ce travail, on définit les volumes de contrôle, les fonctions interpolantes et la base d'approximation pour des problèmes ID et 2D. De plus, on présente les équations discrètes utilisées pour la résolution de problèmes ID. Pour les problèmes en 2D, seul le développement des équations discrètes est présenté. Des résultats numériques en ID et 2D sont présentés. En premier lieu, des résultats numériques sont comparés avec des solutions analytiques. Ensuite, des tests originaux sont présentés. Ces tests montrent que la méthode permet de gérer naturellement la présence de plusieurs interfaces. De plus, les solutions sont très précises et ne comportent aucune oscillation.

Ce travail de recherche se situe dans le cadre de la modélisation de l'écoulement turbulent d'un jet de gaz plasma dans un four industriel. Le but principal est d'explorer et de comparer diverses approches pour le traitement de la turbulence dans un modèle d'écoulement basé sur les équations de Navier-Stokes compressibles. La comparaison est d'abord et avant tout qualitative et elle est réalisée via des expérimentations numériques. La modélisation de cet écoulement complexe a pour but final de fournir aux ingénieurs un outil pour améliorer le procédé industriel. Dans ce contexte, il est important de pouvoir optimiser le transfert de chaleur, la génération de poussières, la vitesse de rotation du gaz, etc, en regard de paramètres physiques tels la position de la cheminée et la géométrique de l'enceinte. La base du modèle est fournie par les équations de Navier-Stokes moyennes ou filtrées. Elles sont traitées par une approche éléments finis et résolus à l'aide d'un solveur pour les systèmes non-linéaires. La fermeture de ces équations est obtenue par deux approches pour la modélisation de la turbulence: soit l'approche écoulement moyen et l'approche simulation des grandes structures. Pour chacune d'elle, on met en ?uvre un modèle algébrique et un modèle à une équation différentielle pour l'énergie cinétique turbulente. Le modèle algébrique s'est avéré relativement efficace. L'ajout d'une équation pour le transport de l'énergie cinétique turbulente a permis de capter l'aspect instationnaire des moments des champs instantanés. L'approche par simulation des grandes structures s'est montrée trop coûteuse pour cet écoulement. Outre la complexité de l'écoulement, la nature fortement instationnaire des simulations a posé des problèmes numériques majeurs.

Les boucles sont des objets mathématiques qui sont étudiés depuis le début du siècle. Leur non associativité les rend cependant difficiles à comprendre et leur nombre empêche l'étude exhaustive. Plusieurs chercheurs abordent les boucles en les classifiant en classe d'isotopie. Toutefois, ces classes n'ont pas un sens propre si on utilise les boucles pour la reconnaissance de langages. Il faut plutôt, dans ce cas, s'intéresser aux classes d'isomorphisme. La génération des classes d'isomorphisme, même pour des ordres aussi petits que 8 est très difficile. Cette recherche présente des algorithmes permettant de travailler la génération des classes d'isomorphisme de boucles en temps raisonnable pour les ordres inférieurs à 8. Ces algorithmes peuvent également être utilisés comme algorithme de recherche pour des ordres supérieurs.

Ce travail porte sur la résolution de problèmes de changement de phase en ID et 2D lorsque le seul mode de transfert de chaleur est la conduction. On ne considère que les changements de phase liquide-solide (solidification) et solide-liquide (fusion) à une température donnée. Ce type de problème peut être modélisé par l'équation aux dérivées partielles -V-(fcVT(x,*)) = 0, dt ou H = , T<Tf \ pcpsTf + pcpl(T -Tf) + pL, T>Tf est une fonction discontinue à T = Tf. Cette discontinuité marque la séparation entre le solide et le liquide et est appelée interface diphasique. Les propriétés k, cps et cpi sont constantes pour une phase donnée, L et p sont constantes. Cette équation doit habituellement être résolue avec un schéma numérique. Le schéma numérique que l'on utilise est la méthode des volumes finis dirigés. Il s'agit d'un nouveau schéma numérique de résolution d'équations aux dérivées partielles. Ce schéma numérique est une méthode de volumes finis espace-temps qui permet le déplacement des noeuds du maillage. Lors de la résolution des équations de discrétisation, la position de certains noeuds du maillage est inconnue. De plus, puisque le schéma permet la rencontre de noeuds, le pas de temps est parfois inconnu. Dans ce travail, on définit les volumes de contrôle, les fonctions interpolantes et la base d'approximation pour des problèmes ID et 2D. De plus, on présente les équations discrètes utilisées pour la résolution de problèmes ID. Pour les problèmes en 2D, seul le développement des équations discrètes est présenté. Des résultats numériques en ID et 2D sont présentés. En premier lieu, des résultats numériques sont comparés avec des solutions analytiques. Ensuite, des tests originaux sont présentés. Ces tests montrent que la méthode permet de gérer naturellement la présence de plusieurs interfaces. De plus, les solutions sont très précises et ne comportent aucune oscillation.

Ce travail de recherche se situe dans le cadre de la modélisation de l'écoulement turbulent d'un jet de gaz plasma dans un four industriel. Le but principal est d'explorer et de comparer diverses approches pour le traitement de la turbulence dans un modèle d'écoulement basé sur les équations de Navier-Stokes compressibles. La comparaison est d'abord et avant tout qualitative et elle est réalisée via des expérimentations numériques. La modélisation de cet écoulement complexe a pour but final de fournir aux ingénieurs un outil pour améliorer le procédé industriel. Dans ce contexte, il est important de pouvoir optimiser le transfert de chaleur, la génération de poussières, la vitesse de rotation du gaz, etc, en regard de paramètres physiques tels la position de la cheminée et la géométrique de l'enceinte. La base du modèle est fournie par les équations de Navier-Stokes moyennes ou filtrées. Elles sont traitées par une approche éléments finis et résolus à l'aide d'un solveur pour les systèmes non-linéaires. La fermeture de ces équations est obtenue par deux approches pour la modélisation de la turbulence: soit l'approche écoulement moyen et l'approche simulation des grandes structures. Pour chacune d'elle, on met en ?uvre un modèle algébrique et un modèle à une équation différentielle pour l'énergie cinétique turbulente. Le modèle algébrique s'est avéré relativement efficace. L'ajout d'une équation pour le transport de l'énergie cinétique turbulente a permis de capter l'aspect instationnaire des moments des champs instantanés. L'approche par simulation des grandes structures s'est montrée trop coûteuse pour cet écoulement. Outre la complexité de l'écoulement, la nature fortement instationnaire des simulations a posé des problèmes numériques majeurs.

Suite à une utilisation intensive des sondes électrostatiques dans les jets de plasma gazeux à pression atmosphérique, nous en sommes venus à la conclusion que les courants mesurés sont dus principalement à des effets d'émission sur la sonde. Parmi ceux-ci, l'effet thermoionique peut être éliminé par des techniques appropriées. Il reste cependant d'autres effets d'émission d'une importance suffisante pour voiler les courants ioniques collectés avec les sondes. L'effet photoélectrique est observable principalement à l'extérieur du plasma. Son importance provient de l'abondance de rayonnement ultraviolet peu atténué par le plasma et son environnement. Un autre effet d'émission, plus important en intensité que l'effet photoélectrique, a été détecté et interprété comme étant la désexcitation d'atomes métastables par contact avec la sonde. Cet effet a été observé au proche voisinage du plasma, dans des régions où la température est inférieure à 3500 K. Les concentrations de métastables obtenues à l'aide de ces courants se situent entre 10 9 et 10 12 cm -3. L'hypothèse de l'importance des métastables dans les jets de plasma a été reprise pour l'interprétation des courants photoélectriques mesurés à l'extérieur du plasma. Pour les régions du plasma où la température est relativement basse, (< 7000 K) c'est-à-dire que les conditions de l'équilibre thermodynamique local ne se retrouvent plus, l'émission photoélectrique provient en majorité du rayonnement occasionné par la destruction des métastables par collisions. Les intensités mesurées de ces courants nous indiquent une concentration maximum des métastables dans le plasma de l'ordre de 2 x 10 12 cm -3. Une analyse des mesures effectuées avec des photocathodes que l'on a déplacées parallèlement à l'axe du plasma, démontre que la variation de la concentration des émetteurs uv est de la forme d'une exponentielle décroissante par rapport à la distance mesurée le long de l'axe entre la photocathode et l'embouchure du chalumeau. Le coefficient ? de l'exponentielle décroissante est interprété si on fait l'hypothèse que les émetteurs uv sont les métastables, se détruisant principalement par collision trois corps avec les neutres dans ces régions du plasma. L'analyse spectroscopique du plasma, dans ces mêmes régions, et la mesure des températures par la méthode des courbes atomiques de Boltzmann, nous indiquent que le milieu s'écarte fortement de l'équilibre thermodynamique local. Cela raffermit l'hypothèse de l'importance des métastables. Enfin l'utilisation des sondes électrostatiques dans les jets de plasma est une fois de plus compromise par les phénomènes d'émission dus à la présence de métastables en concentration importante dans ces milieux.

Suite à une utilisation intensive des sondes électrostatiques dans les jets de plasma gazeux à pression atmosphérique, nous en sommes venus à la conclusion que les courants mesurés sont dus principalement à des effets d'émission sur la sonde. Parmi ceux-ci, l'effet thermoionique peut être éliminé par des techniques appropriées. Il reste cependant d'autres effets d'émission d'une importance suffisante pour voiler les courants ioniques collectés avec les sondes. L'effet photoélectrique est observable principalement à l'extérieur du plasma. Son importance provient de l'abondance de rayonnement ultraviolet peu atténué par le plasma et son environnement. Un autre effet d'émission, plus important en intensité que l'effet photoélectrique, a été détecté et interprété comme étant la désexcitation d'atomes métastables par contact avec la sonde. Cet effet a été observé au proche voisinage du plasma, dans des régions où la température est inférieure à 3500 K. Les concentrations de métastables obtenues à l'aide de ces courants se situent entre 10 9 et 10 12 cm -3. L'hypothèse de l'importance des métastables dans les jets de plasma a été reprise pour l'interprétation des courants photoélectriques mesurés à l'extérieur du plasma. Pour les régions du plasma où la température est relativement basse, (< 7000 K) c'est-à-dire que les conditions de l'équilibre thermodynamique local ne se retrouvent plus, l'émission photoélectrique provient en majorité du rayonnement occasionné par la destruction des métastables par collisions. Les intensités mesurées de ces courants nous indiquent une concentration maximum des métastables dans le plasma de l'ordre de 2 x 10 12 cm -3. Une analyse des mesures effectuées avec des photocathodes que l'on a déplacées parallèlement à l'axe du plasma, démontre que la variation de la concentration des émetteurs uv est de la forme d'une exponentielle décroissante par rapport à la distance mesurée le long de l'axe entre la photocathode et l'embouchure du chalumeau. Le coefficient ? de l'exponentielle décroissante est interprété si on fait l'hypothèse que les émetteurs uv sont les métastables, se détruisant principalement par collision trois corps avec les neutres dans ces régions du plasma. L'analyse spectroscopique du plasma, dans ces mêmes régions, et la mesure des températures par la méthode des courbes atomiques de Boltzmann, nous indiquent que le milieu s'écarte fortement de l'équilibre thermodynamique local. Cela raffermit l'hypothèse de l'importance des métastables. Enfin l'utilisation des sondes électrostatiques dans les jets de plasma est une fois de plus compromise par les phénomènes d'émission dus à la présence de métastables en concentration importante dans ces milieux.

Ce mémoire de maîtrise se consacre à l’étude des figures discrètes, un sujet à l’intersection de la combinatoire des mots et la géométrie digitale. Décrite simplement, une figure discrète est un assemblage fini de pixels joints côté par côté. Toute figure discrète se décompose en composantes connexes appelées polyominos, un objet très connu en combinatoire et en théorie des jeux. Dans sa thèse, en 2008, Provençal propose quelques problèmes ouverts sur les polyominos et introduit ainsi le concept de polyominos premiers et composés. Jusqu’à maintenant, on en sait très peu sur cette notion de primalité. En effet, à notre connaissance, le seul document qui y fait référence est un article publié en 2012 par Blondin Massé, Garon et Labbé dans lequel les auteurs résolvent une conjecture de Provençal en s’appuyant sur la notion de polyominos premiers et composés. Dans ce mémoire, nous explorons plus en détails ce sujet. En plus de fournir une définition et un cadre plus formel, nous proposons un algorithme polynomial (par rapport au périmètre du polyomino) permettant de décomposer celui-ci en un produit de polyominos premiers. Nous discutons également des implications potentielles de ces idées en cryptographie.