La resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales de orden superior suele apoyarse en la consideración de un sistema ampliado de primer orden. Este enfoque clásico presenta dos inconvenientes. El primero de ellos es el aumento del volumen computacional debido al correspondiente aumento de la dimensión del problema transformado. El segundo inconveniente es la pérdida de explicitez de las soluciones obtenidas en términos de los datos. En la línea de trabajo de nuestro grupo de invest igación nos proponemos aquí, progresar en el empeño de obtener soluciones de sistemas de ecuaciones de orden superior, con la calidad de respuesta del caso escalar. ~ecuérdese que el método de Frobenius es un método directo que trata en el caso escalar las ecuaciones de segundo orden sin considerar el problema equivalente ampliado de primer orden. Nos proponemos obtener soluciones explícitas de sistemas de ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes analíticos sin aumentar la dimensión del problema. Como consecuencia de este estudio surgirán funciones especiales matriciales de Bessel y polinomios ortogonales matriciales de tipo Gegenbauer que gozan de propiedades análogas a los correspondientes del caso escalar y que esperamos constituyan el punto de partida para la obtención de métodos analítico-num&ricos de resoluci6n de otros tipos de problemas como la integración numérico-matricial o la resolución de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales, tal como se ha conseguido en 1211, 1271 y 1281 para el caso de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales con coeficientes constantes. En el capítulo 1, además de recordar algunos hechos fundamentales que se utilizarán en capítulos posteriores, presentaremos resultados de tipo Frobenius matricial para ecuaciones de la forma Los capítulos 11 y 111 están dedicados a sistemas de tipo Bessel matricial donde A es una matriz cuadrada (posiblemente singular), que introducir las funciones de Bessel matriciales y propiedades. La memoria concluye con la necesaria lista de referencias. La clasificación temática de este trabajo de acuerdo con la 1991 AMS Subject Classification es la siguiente: 33C10, 34A30, 47A60, 15A24. Comenzaremos este primer capítulo presentando diversos resultados del cálculo funcional matricial así como la resolución de ciertas ecuaciones algebraicas matriciales de utilidad para los capítulos posteriores. Trataremos también del concepto de con junto fundamental de soluciones de ecuaciones diferenciales matriciales de segundo orden de la forma: Y"(t) + P(t)Y1(t) + Q(t)Y(t) = O, donde P(t) y Q(t) son funciones contínuas con valores en cnXn. Finalmente, pese a que el objetivo de esta tesis se centra en el estudio de dos ecuaciones diferenciales particulares, hemos creído conveniente comentar, a modo de introducción, algunos resultados generales sobre ecuaciones diferenciales matriciales con coeficientes analíticos de segundo orden: donde A(t) y B(t) son funciones analíticas matriciales. En todo lo relativo a demostrar la convergencia absoluta de soluciones matriciales en serie utilizaremos el concepto de norma-2 o norma espectral de una matriz. Si B es una matriz de cmXny B~ es la transpuesta conjugada de B, la norma espectral de B viene definida por: / Company Rossi, R. (1993). Soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales matriciales con coeficientes variables [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/4282

La teoría de polinomios ortogonales matriarcales ha experimentado un desarrollo importante en las últimas décadas. El primer contacto de nuestro grupo de investigación con el tema surgio al dearrollar un método de Frobenius matriarcal para resolver ecuaciones diferenciales matriarcales de segundo orden sin aumentar la dimensión del problema. De esta forma, aparecieron soluciones de tipo polinomial matriarcal de ecuaciones diferenciales matriarcales que generalizaban las ecuaciones escalares clásicas de Hermite, Laguerre; Legendre.En la Tesis doctoral de R. Company [3] y en los trabajos siguientes [34],[35],[40],se introdujeron los polinomios matriarcales de Laguerre, Gegenbauer y Hermite, que verificaban ciertas propiedades de ortogonalidad de naturaleza no del todo transparente. Nos encontramos entonces, al disponer de ejemplos de clases concretas de polinomios ortogonales, sin estructurar la idea de ortogonalidad, a pesar de que ya se habían publicado, incluso en un contexto abstracto, pero próximo, resultados sobre ortogonalidad de polinomios en un álgebra no conmutativa [10],[11]. El objetivo de esta tesis es bidireccional; por una parte se trata de estructurar satisfactoriamente la idea de ortogonalidad para polinomios matriarcales, pero, con la intención dirigida a conseguir la utilidad en las aplicaciones que suministran las familias clásicas de polinomios ortogonales escalares. Estamos pensando, a corto plazo, en este trabajo, en utilizar la idea de ortoganalidad de polinomios matriarcales para aproximar integrales matriarcales y, también en desarrollar funciones matriarcales en serie de polinomios ortogonales matriarcales. Estas ambiciones han estado influidas por el enfoque de Chihara [5] y los trabajos de Stone [70] y Ghizzetti [29]. en la memoria se resuelven algunas de las dificultades que aparecen y, se suministran algunas respuestas, parcialmente publicadas en [36], [38], [39], [41], que no son ni mucho menos, el final de los muchos objetivos que en esta línea, pensamos se pueden conseguir. Entre las cuestiones a resolver objeto de este trabajo se encuentran: - Definición del concepto de ortogonalidad para polinomios matriarcales y funciones matriarcales. - Estructurar un espacio normado base donde yacen las funciones ortogonales matriarcales. - Estudio de la relación de la norma del espacio base y el concepto de ortogonalidad en ausencia de espacio Hilbert. - Solución del problema de la mejor aproximación matriarcal respecto a un funcional matriarcal definido positivo. - Series de Fourier matriarcales. - Obtención de análogos de Lema de Riemann-Lebesgue y de la igualdad (desigualdad) de Bessel-Parseval, en ausencia de estructura hilbertiana. - Introducción del concepto de totalidad para una familia de funciones ortogonales matriarcales en ausencia de estructura hilbertiana. - Posibilidad de desarrollo en serie de polinomios ortogonales matriarcales (solamente para el caso de Hermite) - Aplicación al desarrollo de la exponencial de una matriz. / Defez Candel, E. (1996). Polinomios ortogonales matriciales. Teoría y aplicaciones [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/5641

EN ESTA MEMORIA SE CONSIDERAN DOS TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES MATRICIALES. EN PRIMER LUGAR SE CONSTRUYEN SOLUCIONES NUMERICAS PARA PROBLEMAS DE VALORES INICIALES MATRICIALES UTILIZANDO METODOS LINEALES MULTIPASO MATRICIALES. A CONTINUACION, VIA INTERPOLACION LINEAL MATRICIAL SE CONSTRUYEN SOLUCIONES NUMERICAS CONTINUAS CON COTAS DE ERROR EXPRESADOS EN TERMINOS DE LOS DATOS. PARTICULAR ATENCION SE PRESTAN A LAS ECUACIONES DE TIPO RICCATI Y LYAPUNOV GENERALIZADAS CON COEFICIENTES VARIABLES. SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES (CONSIDERADOS MATRICIALMENTE) SON TRATADOS PARA EL CASO DE PROBLEMAS MIXTOS (INICIALES CON CONDICIONES DE CONTORNO). EN PRIMER LUGAR SE CONSTRUYE SOLUCION EXACTA EN FORMA DE SERIE. A CONTINUACION SE TRUNCA LA SERIE MATRICIAL DE MODO QUE EN UN DOMINIO ACOTADO EL ERROR ESTE UNIFORMEMENTE ACOTADO POR UNA CANTIDAD PREFIJADA DE ANTEMANO. / Ponsoda Miralles, E. (1994). Soluciones numericas continuas de ecuaciones diferenciales matriciales con cotas de error a priori [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/4921