Magíster en Ciencias de la Ingeniería, Mención Matemáticas Aplicadas. Ingeniera Civil Matemática / Las matrices aleatorias y su reciente teoría están jugando un papel fundamental como herramienta estadística en áreas tales como finanzas, meteorología y procesamiento de señales e imágenes. Algunas de las aplicaciones que han adquirido mayor desarrollo se encuentran en el sector financiero y en el área de las comunicaciones inalámbricas. El desafío planteado en este trabajo de tesis consiste en realizar un análisis estadístico basado en la teoría de matrices aleatorias referido a un modelo de factores. A través de la experimentación computacional, se pretende alcanzar dos metas. La primera de ellas consiste en contrastar dos versiones de un mismo test de hipótesis, las cuales se definen a partir de estadísticos provenientes de dos de las más conocidas familias gaussianas de matrices aleatorias: GUE y GOE. Esta comparación surge del hecho de que la familia GOE es menos estudiada en las aplicaciones de matrices aleatorias a considerar, de modo que se busca ampliar el conocimiento que de ella se tiene. Para hacer efectivo el contraste entre ambas versiones, estas se implementan para luego analizarlas en términos de sus comportamientos frente a errores y aciertos. Así, se logra probar empíricamente que no existe diferencia alguna entre ellas, por lo que la versión GOE del test es la que asume el protagonismo. Alcanzada la meta anterior, la segunda consiste en dar utilidad al test en su versión GOE, mediante el desarrollo de un procedimiento que lo aplica iteradas veces para estimar el número de factores de una muestra sujeta al modelo de factores. Posteriormente, el procedimiento es sometido a una serie de pruebas empíricas que buscan validarlo como método de estimación del número de factores. Finalmente, es preciso mencionar que, si bien, este trabajo posee un carácter fundamentalmente experimental, no se aparta del estudio, análisis y manejo abstracto de la teoría de matrices aleatorias que se requieren necesariamente para llevarlo a cabo. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por Núcleo Milenio: "Modelos estocásticos de sistemas complejos y desordenados"

En esta tesis estudiamos propiedades de transporte cuántico en guías de onda finitas periódicas quasi-unidimensionales, cuya dinámica clásica asociada es difusiva. Nos enfocamos en el límite semiclásico el cual nos permite emplear un modelo de Teoria de Matrices Aleatorias (TMA) para describir el sistema. El requisito de difusión normal de la dinámica clásica restringe la configuración de la celda unitaria a tener horizonte finito, y significa que los ensembles apropi- ados de TMA son los ensembles circulares de Dyson. El sistema que consideramos corresponde a una configuración de scattering, compuesto de una cadena finita de L celdas unitarias (clási- camente caóticas y con horizonte finito) la cual esta conectada a dos guías planas semi-infinitas en sus extremos. Las partículas dentro de esta cavidad son libres y solo interactúan con los bordes a través de choques elásticos; esto significa que las ondas son descritas por una ecuación de Helmholtz con condiciones de borde tipo Dirichlet en las paredes la guía. Por lo tanto, no hay desorden en el sistema y el scattering es debido a la geometría de la cadena la cual es estática. El análogo al ensemble de desorden es un ensemble de energía, definido sobre un intervalo clási- camente pequeño pero cuyo ancho es varias veces un espaciamiento de niveles promedio (mean level spacing). El número de canales propagativos en las guías planas es N y el límite semiclásico se alcanza cuando N → ∞. Un número importante para las propiedades de transporte en cadenas periódicas es el número de modos de Bloch NB del sistema extendido infinito asociado. Previamente, ha sido conjeturado que en sistemas fuertemente difusivos en el límite semiclásico <NB>∼√(N D), donde D es la constante de difusión clásica. Hemos comprobado numéricamente este resultado en una guía de ondas con forma de coseno obteniendo excelente concordancia. Luego, mediante la aproximación de Machta-Zwanzig para D obtuvimos la expresión analítica <NB> N/π, la cual concuerda perfectamente con los ensembles circulares. Por otro lado, hemos estudiado la conductancia (adimensional) de Landauer g como función de L y N en la guía coseno y mediante nuestro modelo RMT para cadenas periódicas. Hemos encontrado que <g(L)> muestra dos regímenes. Primero, para cadenas de largo LN la dinámica es difusiva tal como en un cable desordenado en el régimen metálico, donde se observa el escalamiento ohmnico típico con <g(L)>= N/(L+1). En este régimen, la distribución de conductancias es Gaussiana con una varianza pequeña (tal que <1/g> ≈ 1/<g>) pero que crece linealmente con L. Luego, para sistemas más largos con L ≫ N , su naturaleza periódica se hace relevante y la conductancia alcanza un valor asintótico constante <g(L → ∞)> ∼ NB. En este caso, la distribución de la conductancia pierde su forma Gaussiana convirtiéndose en una distribución multimodal debido a los valores discretos (enteros) que NB puede tomar. La varianza alcanza un valor constante ∼√N cuando L → ∞. Comparando la conductancia para los ensembles circulares unitario y ortogonal, mostramos que un efecto de localización débil está presente en ambos regímenes. Finalmente, estudiamos la parte no propagativa de la conductancia en el régimen Bloch-balístico, la cual está dominada por el modo con la longitud de decaimiento mayor ℓ que va a cero como gnp = 4 e−2L/ℓ cuando L → ∞. Usando nuestro modelo de TMA obtuvimos que bajo un escalamiento apropiado la pdf P (ℓ) converge, cuando N → ∞, a una distribución límite con cola algebraica P(ℓ) ∼ℓ−3 para ℓ → ∞; esto nos permitió conjeturar el decaimiento <gnp> ∼ L−2, el cual fue observado en nuestra guía de ondas coseno.