[EN] The essential topic of this memory is the study of H-matrices as they were introduced by Ostrowski and hereinafter extended and developed by different authors. In this study three slopes are outlined: 1) the iterative or automatic determination of H-matrices, 2) the properties inherent in the H-matrices and 3) the matrices related to H-matrices. H-matrices acquire every time major relevancy due to the fact that they arise in numerous applications so much in Mathematics, since in the Industry between. Between these applications we can mention the following ones: 1) in the discretization of certain parabolic non-linear equations, 2) in the system resolution of linear equations, assuring his presence the convergence of iterative classic methods and 3) in the resolution of problems of free contour in Analysis of Fluids. It is very important to observe that some H-matrices transform in H- matrices for the action of some matrix operation on them. Such it is the case of the matrix operation known as Hadamard's Product, that is to say, the product element to element of two matrices. If this product realizes between the elements of a matrix and the elements of its inverse transpose then this matrix product is called combined matrix. The combined matrix is an H- matrix under certain conditions of the original matrix and, in addition, the combined matrix is linked to applications very important as the Relative Gain in chemical processes or the relation between the eigenvalues of the original matrix and the elements of a diagonalizable matrix. In addition, provided that the sum of every row and of every column is equal to one, in those cases in which the combined matrix is not negative, C(A) is a doubly stochastic matrix and therefore it is of great usefulness in the Statistical Theory. The present memory is structured of the following way. In the first chapter, after the introduction, we present the notation, the basic concepts and previous results developed by other authors and that are going to be used largely in the memory. xiii xiv In the Chapter 2 we present and analyze different algorithms that have been proposed by the aim to determine when a given matrix is or is not an H-matrix. It is emphasized in the study of those algorithms that have turned out to be the most efficient and in the most relevant part of this chapter we present a new algorithm that turns out to be a contribution to the literature of the algorithms for the determination or identification of H-matrices, as well as of his character. In the Chapter 3 we widely studied the combined matrix of a nonsingular H-matrices and we obtain new and important properties of the combined matrix of H-matrices. In the Chapter 4 we calculate the combined matrix of diagonally dominant and equipotent matrices and also we obtain new and important results that relate the combined matrix of these diagonally dominant and equipotent matrices to H-matrices. In Chapter 5, like summary, we outline the principal achievements reached during the development of this memory and, in addition, enumerate the works on which already we are working and also we present some of the principal lines of investigation for the near future. Finally, in the appendices we present, in format MATLAB, different algorithms studied in Chapter 2 that make the automatic determination of H-matrices as a purpose. Especially, is outlined the codification of the new algorithm proposed with each of its parts in the correct order to be run in the computer. / [ES] El tema esencial de esta memoria es el estudio de las H-matrices tal y como fueron introducidas por Ostrowski y más adelante ampliadas y desarrolladas por diferentes autores. En ese estudio se destacan tres vertientes: 1) la determinación iterativa o automática de las H-matrices, 2) las propiedades inherentes a las H- matrices y 3) las matrices relacionadas con las H-matrices. Las H-matrices adquieren cada vez mayor relevancia debido a que surgen en numerosas aplicaciones tanto en la ciencia Matemática como en la Industria. Entre esas aplicaciones podemos citar las siguientes: 1) en la discretización de ciertas ecuaciones parabólicas no lineales, 2) en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, asegurando su presencia la convergencia de métodos iterativos clásicos y 3) en la resolucion de problemas de contorno libre en Análisis de Fluidos. Es de suma importancia observar que algunas matrices devienen en H- matrices por la acción de alguna operación matricial sobre ellas. Tal es el caso de la operación matricial conocida como Producto de Hadamard, es decir, el producto elemento a elemento de dos matrices. Si este producto se realiza entre los elementos de una matriz y los elementos de su matriz inversa traspuesta, entonces la matriz producto, denominada Matriz Combinada, puede ser una H-matriz bajo determinadas condiciones de la matriz original y, además, la matriz combinada está vinculada a aplicaciones muy importantes como la Ganancia Relativa en procesos químicos o la relación entre los valores propios de la matriz original y los elementos de una matriz diagonalizable. Además, dado que la suma de cada fila y de cada columna de una matriz combinada es exactamente igual a 1, en aquellos casos en que la matriz combinada sea no negativa, C(A) es una matriz doblemente estocástica y por tanto puede ser de gran utilidad en Estadística y Probabilidad. La memoria está estructurada por capítulos de la siguiente manera. En cada uno de ellos se presentan las aportaciones de la misma. ix x En el Capítulo 1, luego de la introducción, se da la notación y se definen los conceptos básicos y, además, se enuncian los resultados previos de ámbito general desarrollados por otros autores y que van a ser utilizados en gran parte de la memoria. En el Capítulo 2 se presentan y analizan diferentes algoritmos que han sido propuestos con el objetivo de determinar cuándo una matriz dada es o no es una H-matriz. Se hace hincapié en el estudio de aquellos algoritmos que han resultado ser los más eficientes y en la parte más relevante de este capítulo se presenta un nuevo algoritmo de menor coste computacional que los anteriores y más sencillo de programar, que resulta ser un aporte a la literatura de los algoritmos para la determinación o identificación de las H-matrices, así como de su carácter y también determina los bloques diagonales irreducibles. En el Capítulo 3 se estudia ampliamente la matriz combinada de H- matrices no singulares y se obtienen también nuevos e importantes resultados sobre las propiedades de la matriz combinada de H-matrices. Se demuestra que la matriz combinada de una H-matriz de la clase invertible es también H-matriz de la misma clase. Además, se prueba que la matriz combinada de una H-matriz de la clase mixta no singular es también H-matriz. En el Capítulo 4 se calcula la matriz combinada de matrices diagonalmente dominantes equipotentes. En particular, se demuestra que la matriz combinada de una H-matriz, denominada DmP es siempre una H-matriz de la clase mixta pero singular. Para otras H-matrices que no son DmP se prueba que su matriz combinada es H-matriz de la clase invertible. Se conjetura que todas las H-matrices de la clase mixta que no son DmP tienen esta última propiedad. En el Capítulo 5 se recogen, a modo de resumen, los principales logros alcanzados durante el desarrollo de esta memoria y, además, se enumeran los trabajos sobre los cuales ya se está trabajand / [CA] El tema essencial d'aquesta memòria és l'estudi de les H-matrius tal com van ser introduïdes per Ostrowski i més endavant ampliades i desenvolupades per diferents autors. En aqueix estudi es destaquen tres vessants: 1) la determinació iterativa o automàtica de les H-matrius, 2) les propietats inherents a les H-matrius i 3) les matrius relacionades amb les H-matrius. Les H-matrius adquireixen cada vegada major rellevància a causa que sorgeixen en nombroses aplicacions tant en la ciència Matemàtica com en la Indústria. Entre aqueixes aplicacions podem citar les següents: 1) en la discretització de certes equacions parabòliques no-lineals, 2) en la resolució de sistemes d'equacions lineals, assegurant la seua presència la convergència de mètodes iteratius clàssics i 3) en la resolució de problemes de contorn lliure en Anàlisi de Fluids. És de summa importància observar que algunes matrius esdevenen en H-matrius per l'acció d'alguna operació matricial sobre elles. Tal és el cas de l'operació matricial coneguda com a Producte de Hadamard, és a dir, el producte element a element de dues matrius. Si aquest producte es realitza entre els elements d'una matriu i els elements de la seua matriu inversa trasposada, llavors la matriu producte, denominada Matriu Combinada, pot ser una H-matriu sota determinades condicions de la matriu original i, a més, la matriu combinada està vinculada a aplicacions molt importants com el Guany Relatiu en processos químics o la relació entre els valors propis de la matriu original i els elements d'una matriu diagonalitzable. A més, atès que la suma de cada fila i de cada columna d'una matriu combinada és exactament igual a 1, en aquells casos en què la matriu combinada siga no negativa, C(A) és una matriu doblement estocàstica i per tant pot ser de gran utilitat en Estadística i Probabilitat. La memòria està estructurada per capítols de la següent manera. En cadascun d'ells es presenten les aportacions de la mateixa. En el Capítol 1, després de la introducció, es dóna la notació i es defixi xii neixen els conceptes bàsics i , a més, s'enuncien els resultats previs d'àmbit general desenvolupats per altres autors i que van a ser utilitzats en gran part de la memòria. En el Capítol 2 es presenten i analitzen diferents algorismes que han sigut proposats amb l'objectiu de determinar quan una matriu donada és o no és una H-matriu. Es posa l'accent en l'estudi d'aquells algorismes que han resultat ser els més eficients i en la part més rellevant d'aquest capítol es presenta un nou algorisme de menor cost computacional que els anteriors i mes senzill de programar, que resulta ser una aportació a la literatura dels algorismes per a la determinació o identificació de les H-matrius, així com del seu caràcter i també determina els blocs diagonals irreductibles. En el Capítol 3 s'estudia àmpliament la matriu combinada d'H-matrius no singulars i s'obtenen també nous i importants resultats sobre les propietats de la matriu combinada d'H-matrius. Es demostra que la matriu combinada d'una H-matriu de la classe invertible és també H-matriu de la mateixa classe. A més, es prova que la matriu combinada d'una H-matriu de la classe mixta no singular és també H-matriu. En el Capítol 4 es calcula la matriu combinada de matrius diagonalment dominants equipotents. En particular, es demostra que la matriu combinada d'una H-matriu, denominada DmP és sempre una H-matriu de la classe mixta però singular. Per a altres H-matrius que no són DmP es prova que la seua matriu combinada és H-matriu de la classe invertible. Es conjectura que totes les H-matrius de la classe mixta que no són DmP tenen aquesta última propietat. En el Capítol 5 s'arrepleguen, a manera de resum, els principals assoliments aconseguits durant el desenvolupament d'aquesta memòria i, a més, s'enumeren els treballs sobre els quals ja s'està treballant i s'esbossen algunes de les principal / Scott Guilleard, JA. (2015). Determinación y propiedades de H-matrices [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/58766

[EN] Several authors have studied the Hadamard product or entry wise product of two matrices with di erent objectives. In particular, the product of a Hadamard matrix and the transpose of its inverse has proved useful in many areas such as in the study of chemical processes. This product is called combined matrix and is denoted by C(A). The combined matrix also has various applications in the eld of linear algebra. For example, from the combined matrix an interesting relationship between the eigenvalues and the diagonal elements of a diagonal- izable matrix is obtained. Furthermore, since the sum of each row and each column of a combined matrix is exactly equal to 1, in cases where the combined matrix is nonnegative, C(A) will be a doubly stochastic matrix. The study of properties of C(A) is still under research and many results have recently been published. Herein are collected and extended results concerning the combined matrix of some classes of matrices related to positivity? For this, a long list of related works has been consulted and a summary of the most relevant results has been made before showing the new results. The interest of some open issues was also raised. The memory is structured as follows. In the rst chapter the concepts are de ned and listed. General results are proven that will be used in the rest of the memory. In the three remaining chapters, we present the problems to solve, the results we have obtained and summarize their interest as conclusions. In Chapter 2 it is determined whether the combined matrix of some clas- sic classes of matrices may or may not be doubly stochastic. The combined matrix of these classes is studied and we concluded that the positivity of the combined matrix is obtained for some G-matrices, some H-matrices and some 2x 2 matrices. It never occurs to completely positive or completely negative ma- trices; and only it is obtained that C(A) 0 when C(A) = I in the case where A is not completely negative or M-matrix. Finally, only totally non positive anti-triangular matrices of size 2x2 have its combined matrix nonnegative. In Chapter 3 the previous study is extended to sign-regular matrices. The sign of the entries of the combined matrix from the signature of the matrix and of its inverse matrix transpose is analyzed and a list with all possible cases is obtained. This list shows cases where C(A) is never negative and others where C(A) is nonnegative when it is a diagonal or anti-diagonal matrix, that is, only when C(A) coincides with the identity matrix I or the anti-identity J. Likewise, it follows that the sign of the elements in C(A) is determined solely by the rst two and the last two elements of the symbol of A. In Chapter 4, we determine relations between the diagonal elements of the combined matrix of a totally negative matrix and thereby we characterize when a given vector can be the diagonal entries of C(A). Thus, relations between the rst two and last two diagonal elements of C(A), both for symmetric and non- symmetric cases are obtained. The diagonal of a combined matrix of a totally negative matrix of dimension 3x3 is also characterized. Finally, a chapter is written with all our achievements and a short list of possible future lines of work upon aspects that the author of this report would like to continue studying in order to reach new related goals. / [ES] El producto de Hadamard o producto elemento a elemento de dos matrices ha sido estudiado por diversos autores con diferentes objetivos. En particular, el producto de Hadamard de una matriz y la traspuesta de su inversa ha de- mostrado su utilidad en múltiples áreas como por ejemplo en el estudio de procesos químicos. Este producto se denomina matriz combinada y se denota por C(A). La matriz combinada tiene además diversas aplicaciones en el ámbito del álgebra lineal. A partir de la matriz combinada se obtiene, por ejemplo, una interesante relación entre los valores propios y los elementos diagonales de una matriz diago- nalizable. Además, dado que la suma de cada fi la y de cada columna de una matriz combinada es exactamente igual a 1, en aquellos casos en que la matriz combinada sea no negativa, C(A) será una matriz doblemente estocástica. El es- tudio de propiedades de C(A) sigue siendo de actualidad y muchos resultados han sido publicados recientemente. En esta memoria se recogen y amplían los resultados referentes a la matriz combinada de algunas clases de matrices relacionadas con la positividad. Para ello se ha consultado una larga relación de trabajos relacionados y se ha realizado un resumen de los resultados más relevantes antes de incluir los nuevos resultados. Se plantea también el interés de algunas cuestiones abiertas. La memoria se estructura de la siguiente manera. En el primer capítulo se de nen los conceptos y se enuncian y/o demuestran los resultados de ámbito general que van a ser utilizados en el resto de la memoria. En los tres restantes capítulos se plantea el tipo de problema a resolver, se enuncian y demuestran los resultados obtenidos y se resume su interés a modo de conclusiones. En el Capítulo 2 se determina si la matriz combinada de clásicas clases de matrices puede ser o no doblemente estocástica. Se estudia la matriz combinada de estas clases y se concluye que se obtiene la positividad de la matriz combinada para algunas G-matrices, algunas H-matrices y algunas matrices 2x2; nunca se da para matrices totalmente positivas o totalmente negativas; y s'olo se obtiene C(A) mayor o igual que 0 cuando C(A) = I en el caso de que A sea totalmente no negativa o M-matriz. Por último, sólo las matrices anti-triangulares totalmente no positivas de tamaño 2x2 tienen matriz combinada no negativa. En el Capítulo 3 se extiende el estudio anterior a matrices signo-regulares. Se analiza el signo de las entradas de la matriz combinada a partir de la signatura de la matriz y de la signatura de su matriz inversa traspuesta y se obtiene una lista con todos los casos posibles. Esta lista muestra casos en los que C(A) nunca es no negativa y otros en los que C(A) es no negativa cuando es una matriz diagonal o anti-diagonal, esto es, sólo cuando C(A) coincide con la matriz identidad, I, o con la anti-identidad, J. Así mismo, se deduce que el signo de los elementos de C(A) viene determinado únicamente por los dos primeros y los dos últimos elementos de la signatura de A. En el Capítulo 4 se busca determinar relaciones entre los elementos diagonales de la matriz combinada de una matriz totalmente negativa y con ello caracterizar cuándo cierto vector puede coincidir con la diagonal de C(A). Así, se obtienen relaciones entre los dos primeros y dos últimos elementos de la diagonal de C(A), tanto para el caso simétrico como no simétrico. También se caracteriza la diagonal de la matriz combinada de una matriz totalmente negativa de dimensión 3x3. Finalmente, se incluye un capítulo donde se resume los logros alcanzados y un pequeño listado de las posibles líneas futuras de trabajo sobre aspectos que el autor de esta memoria querría continuar estudiando en vista a unos nuevos objetivos. / [CA] El producte de Hadamard o producte element a element de dues matrius ha sigut estudiat per diversos autors amb diferents objectius. En particular, el pro- ducte de Hadamard d'una matriu i la trasposta de la seua inversa ha demostrat la seua utilitat en mltiples rees com per exemple en l'estudi de processos qumics. Aquest producte es denomina matriu combinada i es denota per C(A). La ma- triu combinada t a ms diverses aplicacions en l'mbit de l'lgebra lineal. A partir de la matriu combinada s'obt, per exemple, una interessant relaci entre els val- ors propis i els elements diagonals d'una matriu diagonalizable. A ms, ats que la suma de cada la i de cada columna d'una matriu combinada s exactament igual a 1, en aquells casos en qu la matriu combinada siga no negativa, C(A) ser una matriu doblement estocstica. L'estudi de propietats de C(A) segueix sent d'actualitat i molts resultats han sigut publicats recentment. En aquesta memria s'arrepleguen i amplien els resultats referents a la matriu combinada d'algunes classes de matrius relacionades amb la positividad. Per a a s'ha consultat una llarga relaci de treballs relacionats i s'ha realitzat un resum dels resultats ms rellevants abans d'incloure els nous resultats. Es planteja tamb l'inters d'algunes qestions obertes. La memria s'estructura de la segent manera. En el primer captol es de- neixen els conceptes i s'enuncien i/o demostren els resultats d'mbit general que van a ser utilitzats en la resta de la memria. En els tres restants captols es planteja el tipus de problema a resoldre, s'enuncien i demostren els resultats obtinguts i es resumeix el seu inters a manera de conclusions. En el Captol 2 es determina si la matriu combinada de clssiques classes de matrius pot ser o no doblement estocstica. S'estudia la matriu combinada d'aquestes classes i es conclou que s'obt la positividad de la matriu combinada per a algunes G-matrius, algunes H-matrius i algunes matrius 2 x2; mai es dna per a matrius totalment positives o totalment negatives; i noms s'obt C(A) 0 quan C(A) = I en el cas que A siga totalment no negativa o M-matriu. Finalment, noms les matrius anti-triangulars totalment no positives de grandria 2x2 tenen matriu combinada no negativa. En el Captol 3 s'estn l'estudi anterior a matrius signe-regulars. S'analitza el signe de les entrades de la matriu combinada a partir de la signatura de la matriu i de la signatura de la seua matriu inversa trasposta i s'obt una llista amb tots els casos possibles. Aquesta llista mostra casos en els quals C(A) mai s no negativa i uns altres en els quals C(A) s no negativa quan s una matriu diagonal o anti-diagonal, a s, noms quan C(A) coincideix amb la matriu identitat I o amb la anti-identitat J. Aix mateix, es dedueix que el signe dels elements de C(A) ve determinat nicament pels dos primers i els dos ltims elements de la signatura de A. En el Captol 4 se cerca determinar relacions entre els elements diagonals de la matriu combinada d'una matriu totalment negativa i amb a caracteritzar quan cert vector pot coincidir amb la diagonal de C(A). Aix, s'obtenen relacions entre els dos primers i dos ltims elements de la diagonal de C(A), tant per al cas simtric com no simtric. Tamb es caracteritza la diagonal de la matriu combinada d'una matriu totalment negativa de dimensi 3x3. Finalment, s'inclou un captol on es resumeix els assoliments aconseguits i un petit llistat de les possibles lnies futures de treball sobre aspectes que l'autor d'aquesta memria voldria continuar estudiant en vista a uns nous objectius. / Santana De Asís, MDJ. (2015). MATRICES COMBINADAS DE ALGUNOS TIPOS DE MATRICES [Tesis doctoral]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/48806