Cette thèse à pour objet l'étude théorique et numérique de solutions dans les équations aux dérivées partielles non linéaires de la physique, en particulier en dynamique des fluides. La présence de discontinuités dans les solutions de ces équations complique la compréhension mathématique des phénomènes mis enjeu et leur traitement numérique, notamment en vue de simulations informatiques . Nous étudions ces équations par une méthode de régularisation dans un espace fonctionnel approprié. Lorsque des schémas numériques construits par des méthodes différentes conduisent à des résultats identiques, ceci jusque dans leurs moindres détails, il semble alors naturel de s'interroger dans quelle mesure ces suites de solutions numériques constituent une approximation d'une solution des équations étudiées. Nous construisons des suites de solutions approchées à partir d'un schéma numérique original,stable et suffisamment simple pour démontrer que ses suites constituent une méthode asymptotique de Maslov au sens des distributions en dimension trois d'espèce. La technique de régularisation employée consiste à étendre les variables réelles du problème ne des variables complexes, ce qui nous permet de construire des familles de solutions particulières que l'on ramène au cas réel en faisant tendre un petit paramètre vers O. Les solutions physiques recherchées apparaissent alors comme valeurs au bord de fonction holomorphes. Nous illustrons les résultats obtenus par des applications en cosmologie dans les cadres Newtoniens et relativistes pour des systèmes sans pression, puis avec pression et auto-gravitation, ainsi que pour le système des gaz parfaits. / This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of singular solutions appearing in nonlinear partial differential complicates the mathematical understanding of the phenomena under concem as well as their numerical treatment, in particular in view of computation. These equations are studied by a regularization method in an appropriate functional space. When completely different numerical methods give the same results up to the smallest details one can reasonably expect that these numerical results suggest the existence of a mathematical solution of theses equations. We construct sequences of approximate solutions from an original numerical scheme, which is stable and simple enough to prove that these sequences constitute a Maslov asymptotic method in three space dimension. The regularization technique in use consits in extending the real variables of the problem into complex ones, which perrnits to construct families of particular equations that we bring back to the real case by letting a small paramater tend to zero. The expected physical solutions appear as boundary values of holomorphie functions . Illustrations are given by applications to cosmology in the Newtorian and re1ativistic settings for pressure1ess fluid dynamics, then in presence of self-gravitation and pressure as weil as for the systemof ideal gases

Les problèmes de pollution liés au secteur automobile sont connus depuis les années 1940. Les Etats-Unis ont été les premiers impactés à cause du "boom" automobile de l'entre-deux guerres, et ont mis en place les premières lois anti-pollution en 1960. Faisant suite à ces directives et aux deux chocs pétroliers, différents engagements de limitations d’émission pris au niveau planétaire sont nés depuis une vingtaine d’années. Le Protocole de Kyoto et les directives de l'Union Européenne (norme Euro 6c actuellement en vigueur) en sont les principales illustrations récentes. Cette thèse s’inscrit dans la continuité des travaux entrepris il y a presque cinquante ans, afin de poursuivre les efforts en matière de réduction de consommation et de pollution des véhicules automobiles. Elle propose ainsi une méthode de visualisation rapide avec les moyens informatiques actuels, du comportement aéraulique interne dans la culasse et la chambre de combustion des moteurs thermiques. L’objectif est de pouvoir prévoir ces variations de manière fiable et rapide à l’aide d’outils de simulation numérique, afin de limiter la fabrication, la quantité et le coût des prototypes à tester. / Pollution problems related to the automotive sector have been known since the 1940s. The United States was the first to be impacted by the automotive "boom" of the inter-war period, and introduced the first anti-pollution laws in 1960. Following these directives and the two oil shocks, various commitments for global emission limitations have been born for some 20 years. The Kyoto Protocol and the European Union directives (Euro 6c currently in force) are the main recent illustrations. This thesis is in line with the work undertaken almost fifty years ago in order to continue efforts to reduce consumption and pollution of motor vehicles. It thus proposes a method of rapid visualization with the present computer means, of the internal aeraulic behaviour in the cylinder head and the combustion chamber of the spark-ignition engines. The goal is to be able to predict these variations reliably and quickly using numerical simulation tools, in order to limit the manufacture, quantity and cost of the prototypes to be tested.

Dans les fluides conducteurs de l'électricité, le champ électromagnétique est couplé au mouvement du fluide par des effets d'induction. Nous avons étudié différents effets magnétohydrodynamiques, à partir de deux expériences impliquant un métal liquide en écoulement turbulent.La première de taille moyenne utilise du Gallium. La seconde, utilisant du sodium, est menée au sein de la collaboration VKS (Von Karman Sodium). Celle-ci a permis d'observer l'effet dynamo, à savoir la conversion d'une part de l'énergie cinétique du fluide en énergie magnétique. Nous avons montré, qu'en fonction des conditions de forçage de l'écoulement, une dynamo statistiquement stationnaire, ou au contraire, des régimes dynamiques du champ magnétique, peuvent être engendrés. En particulier, des renversements de polarité similaires à ceux du champ magnétique terrestre ont été observés. Parallèlement, l'expérience avec du Gallium a été développée pour étudier les effets d'induction sous un champ magnétique appliqué par des écoulements turbulents plus homogènes et isotropes que celui de l'expérience VKS. Plus fondamentalement nous avons étudié, en utilisant les données des deux expériences, l'advection du champ magnétique par un écoulement et la phénoménologie des fluctuations turbulentes du champ induit. La mise au point de sondes de mesure de différence de potentiel électrique nous a permis en plus de mettre en évidence le freinage magnétique d'un écoulement turbulent de Gallium par la force de Laplace. Ce mécanisme intervient pour saturer l'instabilité dynamo.

La thèse de Jean-François Simon est consacrée au développement d'un outil de simulation numérique de l'écoulement dans les turbomachines axiales. La démarche proposée a pour but de réduire l'empirisme présent dans les outils de calcul méridien en turbomachines. Cet objectif est atteint en deux étapes, l'une consistant à traiter de manière cohérente les effets dus à la viscosité du fluide dans le plan méridien, l'autre à injecter dans le calcul méridien les tensions déterministes et circonférentielles ainsi que les forces d'aubes. Les équations de Navier-Stokes sont moyennées azimutalement et sont résolues par une approche volumes-finis. La capture des effets dus à la viscosité du fluide le long des parois de carter et de moyeu permet d'éviter l'introduction d'un coefficient de blocage, ou le recours à un calcul couche-limite séparé. Jean-François Simon prolonge en outre l'approche d'Adamczyk par un opérateur de moyenne circonférentielle. Différents termes additionnels apparaissent alors dans les équations du modèle et traduisent entre autres linfluence des phénomènes non axisymétriques. L'importance relative de ces différentes contributions est analysée. Les méthodologies développées sont appliquées à plusieurs cas-tests (rotor simple, étages de compresseur ou de turbine, compresseur multi- étagé), qui permettent d'illustrer l'intérêt de la démarche proposée.