La réparation de l’humain est un secteur d’activité qui nécessite les compétences en sciences médicales et sciences dites «dures». Dans de nombreux cas, tout ou partie d’un organe doit être remplacé par un substitut en matériau inerte. C’est par exemple le cas en implantologie où l’on s’intéresse au remplacement de dents. La pose d’un implant dentaire est un acte chirurgical qui consiste à introduire dans l’os de la mandibule un dispositif en matériau inerte destiné à recevoir la couronne dentaire. Ces prothèses sont plus ou moins tolérées par l’organisme vivant (environ 5% de rejet) et peuvent dans certains cas conduire à une ruine de l’os ou engendrer des infections connues sous le nom de péri-implantite. Pour améliorer la biocompatibilité de ces dispositifs médicaux, plusieurs pistes sont explorées. On peut s’intéresser à la géométrie de l’implant et son état de surface, au matériau de l’implant ou bien au système mécanique implant-os. C’est dans ce dernier cadre que nous avons situé notre travail de thèse. Le système os/dent est un système mécanique soumis à des sollicitations répétées de forte intensité. Les niveaux de contrainte et de déformation atteints lors de la mastication participent à la stabilité de l’ensemble et la viabilité de ces milieux vivants. Ces niveaux de contrainte et de déformation doivent être reproduits dans l’os dans le cas du système implant-os. On espère ainsi assurer la viabilité de l’os et éviter les divers processus de dégradation. Il convient donc de simuler et analyser la réponse d’un tel système à des sollicitations mécaniques. Ce travail nécessite la modélisation du comportement de l’os et de l’implant. Ce dernier est considéré comme un matériau métallique classique sollicité dans son domaine de déformation élastique. Pour ce qui est l’os, son observation fine révèle sa nature multi-échelle et nous avons choisi de modéliser son comportement par une particularisation du milieu micromorphique de Eringen. Plus précisément nous l’avons considéré comme un milieu élastique micropolaire. Pour résoudre les équations de champs du problème, il a été nécessaire de développer un outil numérique spécifiquement dédié. Cet outil est basé sur une combinaison astucieuse de la méthode des éléments de frontières et d’une méthode sans maillage (meshless), plus précisément une méthode de collocation par points. Dans un premier temps, afin de comprendre le principe de la méthode, nous avons développé l’outil numérique pour résoudre une équation de champ scalaire, ici équation de la conduction thermique transitoire. Nous avons pu constater l’efficacité de la méthode pour des systèmes en trois dimensions. Dans un second temps nous avons adapté notre méthode numérique pour résoudre des équations de champ vectoriel qui sont dans notre cas les équations pour les milieux élastiques micropolaires. L’outil numérique a été validé sur un nombre d’exemples possédant une solution analytique ou en comparaison aux résultats de la littérature sur d’autres types de problèmes. L’outil a ensuite été appliqué à l’analyse du système implant-os. Pour comprendre l’apport de la microstructure d’un milieu élastique micropolaire, en comparaison à un milieu élastique classique, nous avons fait différentes études du système implant-os sous sollicitations mécaniques diverses en considérant les deux types de modélisation pour l’os. Les paramètres macroscopiques pour un milieu élastique micropolaire sont les mêmes que pour un milieu élastique classique. Les différences obtenues ne proviendront que de l’apport de la microstructure. Les résultats obtenus montrent que la modélisation fine du comportement mécanique adoptée pour l’os est réaliste au regard des contraintes induites par la sollicitation et à la diminution notable des sauts de contraintes à l’interface os/métal comparé au cas de la modélisation de l’os comme un milieu élastique classique. Ces résultats ont d’ores et déjà permis de comprendre certaines observations cliniques. / The repair of the human is a sector of activity which requires skills in medical sciences and sciences known as "hard". In many cases, all or part of an organ must be replaced by a substitute made of inert material. This is for example the case in implantology where one is interested in the replacement of teeth. The installation of a dental implant is a surgical act which consists in introducing into the bone of the mandible a device made of inert material intended to receive the dental crown. These prostheses are more or less tolerated by the living organism (about 5% of rejection) and can in some cases lead to a bone ruin or cause infections known as peri-implantitis. To improve the biocompatibility of these medical devices, several tracks are explored. We can focus on the geometry of the implant and its surface condition, the material of the implant or the mechanical bone / implant system. It is in this last frame that we located our work of thesis. The bone / tooth system is a mechanical system subject to repeated intense stress. The levels of stress and deformation achieved during chewing contribute to the overall stability and viability of these living media. These stress and strain levels must be reproduced in the bone in the case of the bone / implant system. It is hoped to ensure the viability of the bone and to avoid the various processes of degradation. It is therefore necessary to simulate and analyze the response of such a system to mechanical stresses. This work requires modeling the behavior of the bone and the implant. The latter is considered as a conventional metallic material stressed in its field of elastic deformation. As for the bone, its fine observation reveals its multi-scale nature and we have chosen to model its behavior by a particularization of Eringen's micromorphic environment. More precisely we have considered it as a micropolar elastic medium. To solve the field equations of the problem, it was necessary to develop a dedicated digital tool. This tool is based on a clever combination of the boundary element method and a meshless method, more precisely a collocation method. At first, in order to understand the principle of the method, we developed the numerical tool to solve a scalar field equation, here equation of transient thermal conduction. We have seen the effectiveness of the method for three-dimensional systems. In a second time we adapted our numerical method to solve vector field equations which are in our case the equations for the micropolar elastic media. The digital tool has been validated on a number of examples having an analytical solution or in comparison with the results of the literature. The digital tool was then applied to the analysis of the bone / implant system. To understand the contribution of the microstructure of a micropolar elastic medium, compared to a conventional elastic medium, we made different studies of the implant / bone system under various mechanical stress considering both types of modeling for the bone. The macroscopic parameters for a micropolar elastic medium are the same as for a conventional elastic medium. The differences obtained will come only from the contribution of the microstructure. The results obtained show that the fine modeling of the mechanical behavior adopted for the bone is realistic with regard to the stresses induced by the stress and to the noticeable decrease of the stress jumps at the bone / metal interface compared to the case of the modeling of the equivalent classic elastic medium. These results have already made it possible to understand certain clinical observations.

La première réalisation de ce travail est la construction unifiée et automatique d’un milieu continu équivalent à un treillis de poutres, dans le domaine élastique, en adoptant un modèle de poutres de Bernoulli. Une extension a été réalisée au domaine plastique, selon un algorithme de suivi de la loi de comportement après écrouissage. Suivant l’ordre des développements asymptotiques choisi, on obtient pour le comportement élastique un milieu continu classique ou micropolaire. On se restreint dans ce dernier cas aux treillis à cellules élémentaires centro-symétriques. Les codes de calculs obtenus fournissent de façon automatique les lois de comportement effectives et les modules mécaniques homogénéisés. Une grande variété de treillis, existants ou originaux, a été étudiée. Les résultats ont été systématiquement comparés aux données de la littérature et vérifiés par des simulations éléments finis avec une bonne concordance. La méthode utilisée montre également une capacité à prédire et comprendre le comportement atypique de certains treillis dits auxétiques présentant des coefficients de contraction négatifs. L’homogénéisation dans le domaine plastique a été limitée aux treillis à dominante extensionnelle. Le domaine de résistance élastique a été construit pour différents treillis, et un algorithme d’évolution du comportement avec écrouissage, de type retour-radial a été conçu et implémenté dans un code dédié. Un modèle de poutre élastoplastique à écrouissage isotrope est utilisé. L’application de l’algorithme à une simulation de charge-décharge montre une bonne concordance entre le treillis homogénéisé et les simulations éléments finis / The first achievement of this work is to construct a unified and effective continuum equivalent to a lattice of beams, in the elastic domain, using a Bernoulli beam model. An extension has been done to calculate the elastic domain resistance of such lattices and to build an algorithm for monitoring the constitutive law taking into account work hardening. The choice of the asymptotic expansions leads to a classical continuous or to a micropolar elastic continuum. We restrict in this last case our study to lattices with centro-symmetric unit cells. The numerical codes developed provide the stress-strain relationship and the effective mechanical moduli. A wide variety of trusses has been studied, either existing or original, including typical geometries of foams and various auxetic lattices, exhibiting negative contraction coefficients. The results were systematically compared with data from literature and verified by finite element simulations with a good agreement. The homogenization in the plastic range has been limited to stretching dominated lattices. The equilibrium equations of the discrete asymptotic homogenization have been used to automatically obtain the elastic resistance domain for several trusses, and a return-mapping algorithm for the follow up of the stress-strain relationship including hardening has been conceived and implemented in a dedicated code. An isotropic hardening elastoplastic model of the beam has been used. The application of the algorithm to the simulation of a loading-unloading cycle shows a good agreement between the homogenized lattice and finite element simulations