Cette thèse étudie différents problèmes de minimisations avec des fonctions de régularisations qui promeuvent la parcimonie. Plus précisément, on souhaite reconstruire une image, que l'on suppose parcimonieuse et qui a subit une transformation après un opérateur linéaire, à l'aide de problèmes de minimisations. Dans ce manuscrit, on s'intéressera plus particulièrement à la minimisation l1 synthèse, analyse et bloc qui sont très utilisées pour reconstruction une image que l'on sait parcimonieuse. Ces minimisations produisent en pratique des résultats convaincants qui n'ont été compris théoriquement que récemment. Les différents travaux sur le sujet mettent en évidence le rôle d'un vecteur particulier appelé certificat dual. L'existence d'un certificat dual permet à la fois d'assurer la reconstruction exacte d'une image dans le cas où il n'y a pas de perturbations et d'estimer l'erreur de la reconstruction en présence de perturbations. Dans nos travaux, nous allons introduire l'existence d'un certifical dual optimal pour la minimisation l1 synthèse qui minimisent l'erreur de reconstruction. Ces résultats ayant une forte interprétation géométrique, nous avons développé un critère identifiabilité, c'est à dire que ce critère assure que l'image recherchée est l'unique solution du problème de minimisation. Ce critère permet d'étendre nos travaux à la minimisation l1 analyse, l1 bloc et à d'autres cas. / This thesis studies different minimization problems with sparses based regularization. More precisely, we want to reconstruct a sparses image, which undergone a linear transformation, with minimization problems. In this manuscript, we will be focused on l1 synthesis, analysis and block minimization which are widely used in sparse approximations. These problems offer competitive results which are theorietical understood only recntly. Different studies on the subject emphasized the contribution of a particular vector called dual certificate. The existence of this dual certificate allows simultaneously to guarantee the exact recovey of an image in noiseless case and to estimate the noise robustness in noisy case. In this work, we introduce eth existence of an optimal dual certificate for the l1 synthesis minimization which minimizes the reconstruction error. As those results have a strong geometrical interpretation, we develop an identifiability criterion which ensures the uniqueness of a solution. This criterion generalizes the work on l1 synthesis minimization tothe analysis case, block case and others.