En 1976, S.T. Yau a observé que la métrique de Kähler-Einstein pouvait être employée pour régler des questions importantes dans la géométrie algébrique. Une des affirmations importantes était l'inégalité entre les nombres de Chern des variétés algébriques. Pour une surface algébrique, S.T.Yau a prouvé 3c₂(M) ≥ c₁²(M), une inégalité prouvée indépendamment par Miyaoka employant des techniques algébriques. De plus, S.T. Yau a montré que l'égalité tenait seulement si la courbure sectionnelle holomorphe de M est constante. Nous allons examiner au chapitre un la preuve de ST. Yau de l'inégalité ci-dessus en utilisant une approche géométrique différentielle et au chapitre deux la preuve de Y. Miyaoka de l'inégalité à l'aide des outils de la géométrie algébrique. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Surfaces algébriques de type générale, Variétés Kähler-Einstein, Inégalité de Miyaoka-Yau.

Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / O objetivo desse trabalho à fornecer uma demonstraÃao para as desigualdades de Hitchin-Thorpe e Miyaoka-Yau. Inicialmente forneceremos uma decomposiÃÃo ortogonal para o tensor curvatura, em seguida mostraremos como o operador curvatura pode ser definido a partir do tensor curvatura. Com o intuito de cumprir o objetivo proposto, iremos provar o Teorema de Gauss-Bonnet em dimensÃo 4, para isso utilizaremos um resultado devido a Allendoerfer e forneceremos uma fÃrmula integral para o cÃlculo da caracterÃstica de Euler de uma variedade Riemanniana de dimensÃo 4. AlÃm disso, definiremos o conceito de assinatura em uma variedade Riemanniana e exibiremos uma fÃrmula integral para a obtenÃÃo deste objeto, para isso utilizaremos o Teorema de Assinatura de Hirzebruch em dimensÃo 4 e pouco da Teoria de Chern-Weil que nos fornece uma conexÃo entre a topologia algÃbrica e a geometria diferencial. Por fim, mostraremos como as fÃrmulas que foram obtidas podem ser utilizadas na demonstraÃao das desigualdades citadas inicialmente. / The aim of this work is to present a proof of the Hitchin-Thorpe and Miyaoka-Yau inequalities. First we provide an orthogonal decomposition for the curvature tensor, and then we show how the curvature operator can be defined from the curvature tensor. In order to fulfill the proposed objective, we prove the Gauss-Bonnet Theorem in dimension 4, to do this we use a result due Allendoerfer and we present an integral formula for the Euler characteristic computation on a Riemannian 4-manifold. Furthermore, we define the concept of signature in a Riemannian manifold e we exhibit an integral formula for the achievement of this object, for this we use the Hirzebruch Signature Theorem in di- mension 4 and the Chern-Weil Theory which provides us a connection between algebraic topology and differential geometry. Finally, we show how the earlier formulas can be used in the demonstration of the initial inequalities.