Parmi les systèmes complexes étudiés en mécanique statistique, les systèmes possédant un comportement critique à l'équilibre thermodynamique jouissent d'un statut particulier. En effet, pour les systèmes à deux dimensions, les techniques de l'invariance conforme ont permis de les caractériser en grand détail. Cette thèse présente l'étude d'un des tous premiers exemples de systèmes statistiques hors équilibre à pouvoir être traité par des méthodes similaires. Le modèle des piles de sable, considéré dans cet ouvrage, est un modèle dynamique introduit fin des années 80 comme prototype de « criticalité auto-organisée ». On entend par ce terme, des systèmes évoluant spontanément vers un état hautement corrélé qui exhibent des propriétés d'échelle similaires à celles du point critique de systèmes statistiques à l'équilibre. L'outil principal permettant de caractériser l'état stationnaire du modèle sur réseau est la correspondance univoque entre les configurations de hauteur du modèle et certains types de graphes appelés « arbres couvrants ». Cette correspondance a été utilisée pour identifier les opérateurs d'échelle correspondant aux observables de hauteur. Il s'avère que ces opérateurs s'organisent en termes de représentations de l'algèbre conforme de charge centrale c = −2 dont la réalisation naturelle est donnée par une théorie quantique de champs fermioniques libres. Bien que les opérateurs d'échelle des observables locales s'expriment en termes de champs de cette réalisation, il a été montré que les observables de hauteur non locales engendrent une nouvelle réalisation inéquivalente de l'algèbre conforme. Le rapprochement entre ces deux domaines de la physique permet non seulement de fournir un cadre nouveau pour l'étude du modèle des piles de sable et accéder ainsi à des propriétés jusque là impossibles à obtenir par la méthode traditionnelle, mais fournit aussi un outil supplémentaire pour l'étude des théories conformes dites logarithmiques qui sont encore mal comprises à ce jour.