Orientadores: Alberto Vazquez Saa, Marcus Aloizio Martinez de Aguiar / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Física Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-28T03:40:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Pinto_RafaelSoares_D.pdf: 7979471 bytes, checksum: b344e1e01031709b8b938dbecb572900 (MD5) Previous issue date: 2015 / Resumo: Sincronização está presente em uma miríade de situações, indo desde vaga-lumes piscando em uníssono na copa das árvores, populações de leveduras ajustando seu metabolismo para um ritmo comum, atividades neurais ocorrendo no cérebro, chegando até as redes de distribuição de energia elétrica, as maiores máquinas construídas pelo homem. Neste trabalho, nós analisamos como se dá o processo de sincronização utilizando o bem conhecido modelo de Kuramoto, estudado incansavelmente nas últimas décadas, quando ele se encontra sobre uma rede complexa, que determina os padrões de interação entre os elementos que compõem a população. A topologia dessas interações determina de maneira crucial a dinâmica do sistema, possibilitando, ou não, a sincronização dos seus elementos. Primeiros, nós analisamos o fenômeno da sincronização explosiva: a correlação de propriedades da rede com a frequência natural dos osciladores altera dramaticamente a natureza da transição de fase do estado não sincronizado para o estado sincronizado. Mostramos que sincronização explosiva ocorre mesmo quando apenas uma pequena fração dos vértices da rede possuem tal correlação, a saber, os vértices mais bem conectados da rede. Além do mais, ajustando o número de vértices onde a correlação é válida, podemos controlar propriedades dessa transição de fase. A seguir estudamos o processo de optimização de topologia para favorecer sincronização. Dado um conjunto de vértices/osciladores com frequências naturais conhecidas e um certo número de links, qual é a melhor topologia, ou seja, o padrão de conexões, que favorece a sincronização? Estudamos esse problema numericamente para o modelo de Kuramoto com inércia, que serve como um modelo simples para analisar as redes de transmissão de energia elétrica, obtendo princípios básicos que devem ser utilizados para o design de tais sistemas. Por fim, ainda no problema de optimização de topologia para favorecer sincronização, obtivemos pela primeira vez de forma analítica as condições para optimização para o modelo de Kuramoto, bem como para uma generalização sua, onde há interações positivas e negativas. Esses resultados analíticos ainda servem para criar algoritmos de optimização mais ecientes que os utilizados atualmente / Abstract: Synchronization is present in a myriad of situations, from the unison ashing of reies in trees, populations of yeast adjusting their metabolism to a common rhythm, neural activities in the brain to the largest machines ever built, the power grids. We analysed how the process of synchronization happens using the well known Kuramoto model, tirelessly studied in the last decades, when it is on top of a complex network, that determines the patterns of interaction between the elements of the population. The topology of this network's determines crucially the possible dynamics of the systems, allowing, or not, the synchronization of its elements. We rst discuss the phenomenon of explosive synchronization, where the correlation between properties of the network and the oscillators changes drastically the nature of the phase transition separating the incoherent state from the synchronized state.We show that explosive synchronization can occur even when a small subset of the vertices are correlated. It is necessary that only the hubs, vertices with highest degrees, show the correlation. Moreover, adjust the fraction of correlated vertices allows us to control properties of the phase transition. Next we study the optimization of the topology to favor synchronization. Given a set of vertices/oscillators with know natural frequencies and a certain number of links, which is the best topology, its pattern of interactions, to favor synchronization? We studied this problem to a generalized Kuramoto model (Kuramoto model with inertia) that is used as a simple tool to model power grids, obtaining in this way simple rules that can be applied to the design of such systems that already helps the synchronization of its elements. In our nal contribution, still in the optimization of the topology problem, we were able, for the first time, to obtain analytically the conditions of optimization for the Kuramoto model, as well as for one of its generalizations, where there can exist positive and negative interactions between the elements. Beyond the signicant fact that the conditions can be know analytically, these results can be used to obtain faster optimization algorithms that the current ones / Doutorado / Física / Doutor em Ciências / 2012/09357-9 / CAPES

Synchronization of an ensemble of oscillators is an emergent phenomenon present in several complex systems, ranging from biological and physical to social and technological systems. The most successful approach to describe how coherent behavior emerges in these complex systems is given by the paradigmatic Kuramoto model. For decades, this model has been traditionally studied in globally coupled topologies. However, besides being intrinsically dynamical, complex systems exhibit very heterogeneous structure, which can be represented as complex networks. This thesis is dedicated to the investigation of fundamental problems regarding the collective dynamics of Kuramoto oscillators coupled in complex networks. First, we address the effects on network dynamics caused by the presence of triangles, which are structural patterns that permeate real-world networks but are absent in random models. By extending the heterogeneous degree mean-field approach to a class of configuration model that generates random networks with variable clustering, we show that triangles weakly affect the onset of synchronization. Our results suggest that, at least in the low clustering regime, the dynamics of clustered networks are accurately described by tree-based theories. Secondly, we analyze the influence of inertia in the phases evolutions. More precisely, we substantially extend the mean-field calculations to second-order Kuramoto oscillators in uncorrelated networks. Thereby hysteretic transitions of the order parameter are predicted with good agreement with simulations. Effects of degree-degree correlations are also numerically scrutinized. In particular, we find an interesting dynamical equivalence between variations in assortativity and damping coefficients. Potential implications to real-world applications are discussed. Finally, we tackle the problem of two intertwined populations of stochastic oscillators subjected to asymmetric attractive and repulsive couplings. By employing the Gaussian approximation technique we derive a reduced set of ODEs whereby a thorough bifurcation analysis is performed revealing a rich phase diagram. Precisely, besides incoherence and partial synchronization, peculiar states are uncovered in which two clusters of oscillators emerge. If the phase lag between these clusters lies between zero and π, a spontaneous drift different from the natural rhythm of oscillation emerges. Similar dynamical patterns are found in chaotic oscillators under analogous couplings schemes. / Sincronização de conjuntos de osciladores é um fenômeno emergente que permeia sistemas complexos de diversas naturezas, como por exemplo, sistemas biológicos, físicos, naturais e tecnológicos. A abordagem mais bem sucedida na descrição da emergência de comportamento coletivo em sistemas complexos é fornecida pelo modelo de Kuramoto. Durante décadas, este modelo foi tradicionalmente estudado em topologias completamente conectadas. Entretanto, além de ser intrinsecamente dinâmicos, tais sistemas complexos possuem uma estrutura altamente heterogênea que pode ser apropriadamente representada por redes complexas. Esta tese é dedicada à investigação de problemas fundamentais da dinâmica coletiva de osciladores de Kuramoto acoplados em redes. Primeiramente, abordamos os efeitos sobre a dinâmica das redes causados pela presença de triângulos padrões que estão omnipresentes em redes reais mas estão ausentes em redes gerados por modelos aleatórios. Estendemos a abordagem via campo-médio para uma variação do modelo de configuração tradicional capaz de criar topologias com número variável de triângulos. Através desta abordagem, mostramos que tais padrões estruturais pouco influenciam a emergência de comportamento coletivo em redes, podendo a dinâmica destas ser descrita em termos de teorias desenvolvidas para redes com topologia local semelhante a grafos de tipo árvore. Em seguida, analisamos a influência de inércia na evolução das fases. Mais precisamente, generalizamos cálculos de campo-médio para osciladores de segunda-ordem acoplados em redes sem correlação de grau. Demonstramos que na presença de efeitos inerciais o parâmetro de ordem do sistema se comporta de forma histerética. Ademais, efeitos oriundos de correlações de grau são examinados. Em particular, verificamos uma interessante equivalência dinâmica entre variações nos coeficientes de assortatividade e amortecimento dos osciladores. Possíveis aplicações para situações reais são discutidas. Finalmente, abordamos o problema de duas populações de osciladores estocásticos sob a influência de acoplamentos atrativos e repulsivos. Através da aplicação da aproximação Gaussiana, derivamos um conjunto reduzido de EDOs através do qual as bifurcações do sistema foram analisadas. Além dos estados asíncrono e síncrono, verificamos a existência de padrões peculiares na dinâmica de tal sistema. Mais precisamente, observamos a formação de estados caracterizados pelo surgimento de dois aglomerados de osciladores. Caso a defasagem entre estes grupos é inferior a π, um novo ritmo de oscilação diferente da frequência natural dos vértices emerge. Comportamentos dinâmicos similares são observados em osciladores caóticos sujeitos a acoplamentos análogos.

Synchronization of an ensemble of oscillators is an emergent phenomenon present in several complex systems, ranging from biological and physical to social and technological systems. The most successful approach to describe how coherent behavior emerges in these complex systems is given by the paradigmatic Kuramoto model. For decades, this model has been traditionally studied in globally coupled topologies. However, besides being intrinsically dynamical, complex systems exhibit very heterogeneous structure, which can be represented as complex networks. This thesis is dedicated to the investigation of fundamental problems regarding the collective dynamics of Kuramoto oscillators coupled in complex networks. First, we address the effects on network dynamics caused by the presence of triangles, which are structural patterns that permeate real-world networks but are absent in random models. By extending the heterogeneous degree mean-field approach to a class of configuration model that generates random networks with variable clustering, we show that triangles weakly affect the onset of synchronization. Our results suggest that, at least in the low clustering regime, the dynamics of clustered networks are accurately described by tree-based theories. Secondly, we analyze the influence of inertia in the phases evolutions. More precisely, we substantially extend the mean-field calculations to second-order Kuramoto oscillators in uncorrelated networks. Thereby hysteretic transitions of the order parameter are predicted with good agreement with simulations. Effects of degree-degree correlations are also numerically scrutinized. In particular, we find an interesting dynamical equivalence between variations in assortativity and damping coefficients. Potential implications to real-world applications are discussed. Finally, we tackle the problem of two intertwined populations of stochastic oscillators subjected to asymmetric attractive and repulsive couplings. By employing the Gaussian approximation technique we derive a reduced set of ODEs whereby a thorough bifurcation analysis is performed revealing a rich phase diagram. Precisely, besides incoherence and partial synchronization, peculiar states are uncovered in which two clusters of oscillators emerge. If the phase lag between these clusters lies between zero and π, a spontaneous drift different from the natural rhythm of oscillation emerges. Similar dynamical patterns are found in chaotic oscillators under analogous couplings schemes. / Sincronização de conjuntos de osciladores é um fenômeno emergente que permeia sistemas complexos de diversas naturezas, como por exemplo, sistemas biológicos, físicos, naturais e tecnológicos. A abordagem mais bem sucedida na descrição da emergência de comportamento coletivo em sistemas complexos é fornecida pelo modelo de Kuramoto. Durante décadas, este modelo foi tradicionalmente estudado em topologias completamente conectadas. Entretanto, além de ser intrinsecamente dinâmicos, tais sistemas complexos possuem uma estrutura altamente heterogênea que pode ser apropriadamente representada por redes complexas. Esta tese é dedicada à investigação de problemas fundamentais da dinâmica coletiva de osciladores de Kuramoto acoplados em redes. Primeiramente, abordamos os efeitos sobre a dinâmica das redes causados pela presença de triângulos padrões que estão omnipresentes em redes reais mas estão ausentes em redes gerados por modelos aleatórios. Estendemos a abordagem via campo-médio para uma variação do modelo de configuração tradicional capaz de criar topologias com número variável de triângulos. Através desta abordagem, mostramos que tais padrões estruturais pouco influenciam a emergência de comportamento coletivo em redes, podendo a dinâmica destas ser descrita em termos de teorias desenvolvidas para redes com topologia local semelhante a grafos de tipo árvore. Em seguida, analisamos a influência de inércia na evolução das fases. Mais precisamente, generalizamos cálculos de campo-médio para osciladores de segunda-ordem acoplados em redes sem correlação de grau. Demonstramos que na presença de efeitos inerciais o parâmetro de ordem do sistema se comporta de forma histerética. Ademais, efeitos oriundos de correlações de grau são examinados. Em particular, verificamos uma interessante equivalência dinâmica entre variações nos coeficientes de assortatividade e amortecimento dos osciladores. Possíveis aplicações para situações reais são discutidas. Finalmente, abordamos o problema de duas populações de osciladores estocásticos sob a influência de acoplamentos atrativos e repulsivos. Através da aplicação da aproximação Gaussiana, derivamos um conjunto reduzido de EDOs através do qual as bifurcações do sistema foram analisadas. Além dos estados asíncrono e síncrono, verificamos a existência de padrões peculiares na dinâmica de tal sistema. Mais precisamente, observamos a formação de estados caracterizados pelo surgimento de dois aglomerados de osciladores. Caso a defasagem entre estes grupos é inferior a π, um novo ritmo de oscilação diferente da frequência natural dos vértices emerge. Comportamentos dinâmicos similares são observados em osciladores caóticos sujeitos a acoplamentos análogos.