O presente trabalho apresenta a verificação da Hipótese Topológica (HT) sobre o Modelo Esférico ferromagnético. Esta hipótese sugere uma nova abordagem a transições de fase termodinâmicas (TF), apoiada na idéia recentemente proposta de que o mecanismo na origem das transições de fase seja uma quebra de difeomorficidade adequada do espaço de configurações dos sistemas no ponto da transição. Embora se saiba que nem toda transição topológica (TT) esteja ligada a uma TF, foi provado recentemente para uma classe de modelos que TTs são necessárias na presença de transições de fase de primeira e segunda ordem, pelo menos. Da termodinâmica do modelo esférico campo médio, sabe-se que este apresenta uma TF na ausência de campo magnético externo, e que esta é destruída para campo finito. Da evolução da topologia de subvariedades do espaço de configurações, definidas pela (função) energia potencial, resulta que, no caso sem campo externo, ocorre uma TT nestas variedades em uma energia potencial igual à energia potencial (média) crítica da transição de fase. Este resultado corrobora a HT no sentido da necessidade de uma TT em correspondência a uma TF. No entanto, a mudança observada na topologia não é particularmente “grande”, se considerada dentro do critério sugerido por trabalhos anteriores. Do caso com campo externo, resulta que uma TT idêntica à encontrada no caso sem campo persiste. Da termodinâmica do modelo, observa-se, no entanto, que a região de energias potenciais em que a TT ocorre não é acessível ao sistema físico, o que é consistente com a ausência de TF no modelo neste caso. Entretanto, o formalismo topológico sobre o espaço de configurações não se mostrou suficiente na caracterização deste comportamento do sistema, e esta conclusão só é alcançada dado o conhecimento prévio da termodinâmica do modelo. Apresentam-se também resultados parciais da aplicação da HT ao modelo esférico a dimensão finita. / In the present work the verification of the Topological Hypothesis (TH) on the ferromagnetic Spherical Model is presented. This hypothesis suggests a new approach to phase transitions (PTs), based on the recently proposed idea that the mechanism at the origin of these phenomena might be a suitable break of diffeomorphicity of the systems configuration spaces at the respective transition points. Although it is known that any topological transition (TT) will in general not be linked to a PT, it was recently proved for a class of models the necessity of occurence of a TT in the presence of (at least) first and second order PTs. From the thermodynamics of the mean field Spherical Model, we see that it presents a PT in vanishing external magnetic field, and that it is destroyed by the external field. From the topological evolution of suitable submanifolds in configuration space, defined by the potential energy function, results that, in zero external field, a TT occurs in these submanifolds in a value of potential energy which is the same as the critical (mean) potential energy. This result is in accordance with the TH in the extent of the necessity of a TT in correspondence with a PT. However, the observed TT is not particularly "strong", when considered in the criteria suggested by previous related works. From the finite field case, results that a TT identical to the one in the zero field case persists. From the thermodynamics of the model in the presence of a field, however, it is seen that the potential energy range in which this TT happens is not accessible to the physical system, which is still consistent with the absence of a PT in this case. Nevertheless, the formalism of Differential Topology has been proven insufficient in the characterization of this behaviour, and the conclusion above was only reached given the previous knowledge of the model’s thermodynamics. Some partial results of the application of the TH to the Spherical Model in finite dimension are also presented here.

O presente trabalho apresenta a verificação da Hipótese Topológica (HT) sobre o Modelo Esférico ferromagnético. Esta hipótese sugere uma nova abordagem a transições de fase termodinâmicas (TF), apoiada na idéia recentemente proposta de que o mecanismo na origem das transições de fase seja uma quebra de difeomorficidade adequada do espaço de configurações dos sistemas no ponto da transição. Embora se saiba que nem toda transição topológica (TT) esteja ligada a uma TF, foi provado recentemente para uma classe de modelos que TTs são necessárias na presença de transições de fase de primeira e segunda ordem, pelo menos. Da termodinâmica do modelo esférico campo médio, sabe-se que este apresenta uma TF na ausência de campo magnético externo, e que esta é destruída para campo finito. Da evolução da topologia de subvariedades do espaço de configurações, definidas pela (função) energia potencial, resulta que, no caso sem campo externo, ocorre uma TT nestas variedades em uma energia potencial igual à energia potencial (média) crítica da transição de fase. Este resultado corrobora a HT no sentido da necessidade de uma TT em correspondência a uma TF. No entanto, a mudança observada na topologia não é particularmente “grande”, se considerada dentro do critério sugerido por trabalhos anteriores. Do caso com campo externo, resulta que uma TT idêntica à encontrada no caso sem campo persiste. Da termodinâmica do modelo, observa-se, no entanto, que a região de energias potenciais em que a TT ocorre não é acessível ao sistema físico, o que é consistente com a ausência de TF no modelo neste caso. Entretanto, o formalismo topológico sobre o espaço de configurações não se mostrou suficiente na caracterização deste comportamento do sistema, e esta conclusão só é alcançada dado o conhecimento prévio da termodinâmica do modelo. Apresentam-se também resultados parciais da aplicação da HT ao modelo esférico a dimensão finita. / In the present work the verification of the Topological Hypothesis (TH) on the ferromagnetic Spherical Model is presented. This hypothesis suggests a new approach to phase transitions (PTs), based on the recently proposed idea that the mechanism at the origin of these phenomena might be a suitable break of diffeomorphicity of the systems configuration spaces at the respective transition points. Although it is known that any topological transition (TT) will in general not be linked to a PT, it was recently proved for a class of models the necessity of occurence of a TT in the presence of (at least) first and second order PTs. From the thermodynamics of the mean field Spherical Model, we see that it presents a PT in vanishing external magnetic field, and that it is destroyed by the external field. From the topological evolution of suitable submanifolds in configuration space, defined by the potential energy function, results that, in zero external field, a TT occurs in these submanifolds in a value of potential energy which is the same as the critical (mean) potential energy. This result is in accordance with the TH in the extent of the necessity of a TT in correspondence with a PT. However, the observed TT is not particularly "strong", when considered in the criteria suggested by previous related works. From the finite field case, results that a TT identical to the one in the zero field case persists. From the thermodynamics of the model in the presence of a field, however, it is seen that the potential energy range in which this TT happens is not accessible to the physical system, which is still consistent with the absence of a PT in this case. Nevertheless, the formalism of Differential Topology has been proven insufficient in the characterization of this behaviour, and the conclusion above was only reached given the previous knowledge of the model’s thermodynamics. Some partial results of the application of the TH to the Spherical Model in finite dimension are also presented here.

O presente trabalho apresenta a verificação da Hipótese Topológica (HT) sobre o Modelo Esférico ferromagnético. Esta hipótese sugere uma nova abordagem a transições de fase termodinâmicas (TF), apoiada na idéia recentemente proposta de que o mecanismo na origem das transições de fase seja uma quebra de difeomorficidade adequada do espaço de configurações dos sistemas no ponto da transição. Embora se saiba que nem toda transição topológica (TT) esteja ligada a uma TF, foi provado recentemente para uma classe de modelos que TTs são necessárias na presença de transições de fase de primeira e segunda ordem, pelo menos. Da termodinâmica do modelo esférico campo médio, sabe-se que este apresenta uma TF na ausência de campo magnético externo, e que esta é destruída para campo finito. Da evolução da topologia de subvariedades do espaço de configurações, definidas pela (função) energia potencial, resulta que, no caso sem campo externo, ocorre uma TT nestas variedades em uma energia potencial igual à energia potencial (média) crítica da transição de fase. Este resultado corrobora a HT no sentido da necessidade de uma TT em correspondência a uma TF. No entanto, a mudança observada na topologia não é particularmente “grande”, se considerada dentro do critério sugerido por trabalhos anteriores. Do caso com campo externo, resulta que uma TT idêntica à encontrada no caso sem campo persiste. Da termodinâmica do modelo, observa-se, no entanto, que a região de energias potenciais em que a TT ocorre não é acessível ao sistema físico, o que é consistente com a ausência de TF no modelo neste caso. Entretanto, o formalismo topológico sobre o espaço de configurações não se mostrou suficiente na caracterização deste comportamento do sistema, e esta conclusão só é alcançada dado o conhecimento prévio da termodinâmica do modelo. Apresentam-se também resultados parciais da aplicação da HT ao modelo esférico a dimensão finita. / In the present work the verification of the Topological Hypothesis (TH) on the ferromagnetic Spherical Model is presented. This hypothesis suggests a new approach to phase transitions (PTs), based on the recently proposed idea that the mechanism at the origin of these phenomena might be a suitable break of diffeomorphicity of the systems configuration spaces at the respective transition points. Although it is known that any topological transition (TT) will in general not be linked to a PT, it was recently proved for a class of models the necessity of occurence of a TT in the presence of (at least) first and second order PTs. From the thermodynamics of the mean field Spherical Model, we see that it presents a PT in vanishing external magnetic field, and that it is destroyed by the external field. From the topological evolution of suitable submanifolds in configuration space, defined by the potential energy function, results that, in zero external field, a TT occurs in these submanifolds in a value of potential energy which is the same as the critical (mean) potential energy. This result is in accordance with the TH in the extent of the necessity of a TT in correspondence with a PT. However, the observed TT is not particularly "strong", when considered in the criteria suggested by previous related works. From the finite field case, results that a TT identical to the one in the zero field case persists. From the thermodynamics of the model in the presence of a field, however, it is seen that the potential energy range in which this TT happens is not accessible to the physical system, which is still consistent with the absence of a PT in this case. Nevertheless, the formalism of Differential Topology has been proven insufficient in the characterization of this behaviour, and the conclusion above was only reached given the previous knowledge of the model’s thermodynamics. Some partial results of the application of the TH to the Spherical Model in finite dimension are also presented here.

Esta tese é dividida em duas partes. Na Parte I, apresenta-se uma verificação da Hipótese Topológica (HT) sobre o Modelo Esférico ferromagnético. Esta hipótese sugere uma nova abordagem a transições de fase termodinâmicas (TFs), baseada na idéia recentemente proposta de que o mecanismo na origem das TFs seja uma transição topológica (TT) adequada do espaço de configurações de um sistema ocorrendo no ponto da transição de fase. Através de uma análise topológica do espaço de configurações do Modelo Esférico, sugere-se que as TTs relevantes ao comportamento crítico sejam caracterizadas por não-analiticidades em certos invariantes topológicos. Da comparação entre termodinâmica e topologia, conclui-se que tais TTs não coincidem com as TFs que ocorrem no modelo. Ademais, nenhuma descontinuidade topológica "abrupta" pôde ser associada aos pontos onde ocorrem TFs no mesmo, isto é, as TTs que coincidem com os pontos críticos (termodinâmicos) não possuem características distintivas que as diferenciem das demais TTs. O principal resultado deste trabalho indica que o mecanismo topológico não é responsável pela emergência das transições de fase no modelo. Este trabalho resultou em duas publicações (Risau-Gusman, Ribeiro-Teixeira, Stariolo, Phys. Rev. Lett. 2005; idem, J. Stat. Phys. 2006). Na Parte II desta tese, investigou-se a ocorrência de uma fase de vidro a baixas temperaturas, em um modelo bidimensional, sem desordem congelada, mas frustrado por interações competitivas em escalas de distância distintas, denominada fase de stripe-glass. O cálculo da entropia configuracional do modelo é baseado em um método aplicado a sistemas frustrados sem desordem congelada devido a Westfahl, Schmalian e Wolynes. A entropia configuracional como função da temperatura e parâmetros do modelo pode ser obtida a partir da expansão para a energia livre dentro da aproximação auto-consistente de campo blindado (self-consistent screening approximation, SCSA), proposta por Bray. A fase de stripe-glass, quando ocorre, está ligada à mobilidade dos defeitos no sistema, e é caracterizada pela ocorrência de uma correlação a dois tempos finita no limite assintótico t − t0 ! ¥, abaixo da transição para o regime de dinâmica lenta. O método aplicado ao modelo bidimensional estudado resulta em uma entropia configuracional nula para qualquer temperatura porque a correlação entre réplicas distintas (que corresponde à correlação dinâmica), neste modelo, é sempre nula. Conclui-se assim que não ocorre fase de vidro em qualquer temperatura no modelo estudado. / This thesis is divided into two parts. In Part I a verification of the Topological Hypothesis (TH) on the ferromagnetic Spherical Model is presented. This hypothesis suggests a new approach to phase transitions (PTs), based on the recently proposed idea that the mechanism at the origin of these phenomena might be a suitable topology change in a system’s configuration space at its phase transition point. Within a topological analysis of the SphericalModel’s configuration space, one suggests that the TTs which are relevant to the thermodynamic system’s critical behavior are characterized by non-analyticities of some given topological invariants. From the comparison between thermodynamics and topology, one concludes that such TTs do not coincide with the PTs occurring in the model. Furthermore, no "abrupt" topological discontinuity could be associated to the model’s PTs, i. e., the TTs occurring at the thermodynamic critical points do not display any salient feature which identify those amongst the other TTs. The main result of this work indicates that the topological mechanism is not responsible for the emergence of the phase transitions in the model. This work has resulted in two publications (Risau-Gusman, Ribeiro-Teixeira, Stariolo, Phys. Rev. Lett. 2005; idem, J. Stat. Phys. 2006). In Part II of the thesis, one has investigated the occurrence of a glassy phase in a two-dimensional system, without quenched disorder, but frustrated by the competition of interactions on different length scales. The configurational entropy is computed through a method applied to frustrated systems with no quenched disorder, due to Westfahl, Schmalian and Wolynes. Introducing replicas through averaging over a pinning field, and within Bray’s self-consistent screening approximation, one is able to compute the system’s configurational entropy as a function of temperature and the model parameters. The stripe-glass phase, when it occurs, is connected to the appearance of a finite long-time correlation function in the system, in the asymptotic limit t − t0 ! ¥, and below the temperature of a crossover to the slow dynamics regime. The asymptotic limit of the two-times dynamic correlation function is related to the mobility of defects on the sample and is identified with finite off-diagonal correlations in replica space. Within this approach one finds no finite contribution for the correlation between distinct replicas. Therefore, one concludes that glassiness does not emerge at any temperature in the aforementioned model.

Esta tese é dividida em duas partes. Na Parte I, apresenta-se uma verificação da Hipótese Topológica (HT) sobre o Modelo Esférico ferromagnético. Esta hipótese sugere uma nova abordagem a transições de fase termodinâmicas (TFs), baseada na idéia recentemente proposta de que o mecanismo na origem das TFs seja uma transição topológica (TT) adequada do espaço de configurações de um sistema ocorrendo no ponto da transição de fase. Através de uma análise topológica do espaço de configurações do Modelo Esférico, sugere-se que as TTs relevantes ao comportamento crítico sejam caracterizadas por não-analiticidades em certos invariantes topológicos. Da comparação entre termodinâmica e topologia, conclui-se que tais TTs não coincidem com as TFs que ocorrem no modelo. Ademais, nenhuma descontinuidade topológica "abrupta" pôde ser associada aos pontos onde ocorrem TFs no mesmo, isto é, as TTs que coincidem com os pontos críticos (termodinâmicos) não possuem características distintivas que as diferenciem das demais TTs. O principal resultado deste trabalho indica que o mecanismo topológico não é responsável pela emergência das transições de fase no modelo. Este trabalho resultou em duas publicações (Risau-Gusman, Ribeiro-Teixeira, Stariolo, Phys. Rev. Lett. 2005; idem, J. Stat. Phys. 2006). Na Parte II desta tese, investigou-se a ocorrência de uma fase de vidro a baixas temperaturas, em um modelo bidimensional, sem desordem congelada, mas frustrado por interações competitivas em escalas de distância distintas, denominada fase de stripe-glass. O cálculo da entropia configuracional do modelo é baseado em um método aplicado a sistemas frustrados sem desordem congelada devido a Westfahl, Schmalian e Wolynes. A entropia configuracional como função da temperatura e parâmetros do modelo pode ser obtida a partir da expansão para a energia livre dentro da aproximação auto-consistente de campo blindado (self-consistent screening approximation, SCSA), proposta por Bray. A fase de stripe-glass, quando ocorre, está ligada à mobilidade dos defeitos no sistema, e é caracterizada pela ocorrência de uma correlação a dois tempos finita no limite assintótico t − t0 ! ¥, abaixo da transição para o regime de dinâmica lenta. O método aplicado ao modelo bidimensional estudado resulta em uma entropia configuracional nula para qualquer temperatura porque a correlação entre réplicas distintas (que corresponde à correlação dinâmica), neste modelo, é sempre nula. Conclui-se assim que não ocorre fase de vidro em qualquer temperatura no modelo estudado. / This thesis is divided into two parts. In Part I a verification of the Topological Hypothesis (TH) on the ferromagnetic Spherical Model is presented. This hypothesis suggests a new approach to phase transitions (PTs), based on the recently proposed idea that the mechanism at the origin of these phenomena might be a suitable topology change in a system’s configuration space at its phase transition point. Within a topological analysis of the SphericalModel’s configuration space, one suggests that the TTs which are relevant to the thermodynamic system’s critical behavior are characterized by non-analyticities of some given topological invariants. From the comparison between thermodynamics and topology, one concludes that such TTs do not coincide with the PTs occurring in the model. Furthermore, no "abrupt" topological discontinuity could be associated to the model’s PTs, i. e., the TTs occurring at the thermodynamic critical points do not display any salient feature which identify those amongst the other TTs. The main result of this work indicates that the topological mechanism is not responsible for the emergence of the phase transitions in the model. This work has resulted in two publications (Risau-Gusman, Ribeiro-Teixeira, Stariolo, Phys. Rev. Lett. 2005; idem, J. Stat. Phys. 2006). In Part II of the thesis, one has investigated the occurrence of a glassy phase in a two-dimensional system, without quenched disorder, but frustrated by the competition of interactions on different length scales. The configurational entropy is computed through a method applied to frustrated systems with no quenched disorder, due to Westfahl, Schmalian and Wolynes. Introducing replicas through averaging over a pinning field, and within Bray’s self-consistent screening approximation, one is able to compute the system’s configurational entropy as a function of temperature and the model parameters. The stripe-glass phase, when it occurs, is connected to the appearance of a finite long-time correlation function in the system, in the asymptotic limit t − t0 ! ¥, and below the temperature of a crossover to the slow dynamics regime. The asymptotic limit of the two-times dynamic correlation function is related to the mobility of defects on the sample and is identified with finite off-diagonal correlations in replica space. Within this approach one finds no finite contribution for the correlation between distinct replicas. Therefore, one concludes that glassiness does not emerge at any temperature in the aforementioned model.

Esta tese é dividida em duas partes. Na Parte I, apresenta-se uma verificação da Hipótese Topológica (HT) sobre o Modelo Esférico ferromagnético. Esta hipótese sugere uma nova abordagem a transições de fase termodinâmicas (TFs), baseada na idéia recentemente proposta de que o mecanismo na origem das TFs seja uma transição topológica (TT) adequada do espaço de configurações de um sistema ocorrendo no ponto da transição de fase. Através de uma análise topológica do espaço de configurações do Modelo Esférico, sugere-se que as TTs relevantes ao comportamento crítico sejam caracterizadas por não-analiticidades em certos invariantes topológicos. Da comparação entre termodinâmica e topologia, conclui-se que tais TTs não coincidem com as TFs que ocorrem no modelo. Ademais, nenhuma descontinuidade topológica "abrupta" pôde ser associada aos pontos onde ocorrem TFs no mesmo, isto é, as TTs que coincidem com os pontos críticos (termodinâmicos) não possuem características distintivas que as diferenciem das demais TTs. O principal resultado deste trabalho indica que o mecanismo topológico não é responsável pela emergência das transições de fase no modelo. Este trabalho resultou em duas publicações (Risau-Gusman, Ribeiro-Teixeira, Stariolo, Phys. Rev. Lett. 2005; idem, J. Stat. Phys. 2006). Na Parte II desta tese, investigou-se a ocorrência de uma fase de vidro a baixas temperaturas, em um modelo bidimensional, sem desordem congelada, mas frustrado por interações competitivas em escalas de distância distintas, denominada fase de stripe-glass. O cálculo da entropia configuracional do modelo é baseado em um método aplicado a sistemas frustrados sem desordem congelada devido a Westfahl, Schmalian e Wolynes. A entropia configuracional como função da temperatura e parâmetros do modelo pode ser obtida a partir da expansão para a energia livre dentro da aproximação auto-consistente de campo blindado (self-consistent screening approximation, SCSA), proposta por Bray. A fase de stripe-glass, quando ocorre, está ligada à mobilidade dos defeitos no sistema, e é caracterizada pela ocorrência de uma correlação a dois tempos finita no limite assintótico t − t0 ! ¥, abaixo da transição para o regime de dinâmica lenta. O método aplicado ao modelo bidimensional estudado resulta em uma entropia configuracional nula para qualquer temperatura porque a correlação entre réplicas distintas (que corresponde à correlação dinâmica), neste modelo, é sempre nula. Conclui-se assim que não ocorre fase de vidro em qualquer temperatura no modelo estudado. / This thesis is divided into two parts. In Part I a verification of the Topological Hypothesis (TH) on the ferromagnetic Spherical Model is presented. This hypothesis suggests a new approach to phase transitions (PTs), based on the recently proposed idea that the mechanism at the origin of these phenomena might be a suitable topology change in a system’s configuration space at its phase transition point. Within a topological analysis of the SphericalModel’s configuration space, one suggests that the TTs which are relevant to the thermodynamic system’s critical behavior are characterized by non-analyticities of some given topological invariants. From the comparison between thermodynamics and topology, one concludes that such TTs do not coincide with the PTs occurring in the model. Furthermore, no "abrupt" topological discontinuity could be associated to the model’s PTs, i. e., the TTs occurring at the thermodynamic critical points do not display any salient feature which identify those amongst the other TTs. The main result of this work indicates that the topological mechanism is not responsible for the emergence of the phase transitions in the model. This work has resulted in two publications (Risau-Gusman, Ribeiro-Teixeira, Stariolo, Phys. Rev. Lett. 2005; idem, J. Stat. Phys. 2006). In Part II of the thesis, one has investigated the occurrence of a glassy phase in a two-dimensional system, without quenched disorder, but frustrated by the competition of interactions on different length scales. The configurational entropy is computed through a method applied to frustrated systems with no quenched disorder, due to Westfahl, Schmalian and Wolynes. Introducing replicas through averaging over a pinning field, and within Bray’s self-consistent screening approximation, one is able to compute the system’s configurational entropy as a function of temperature and the model parameters. The stripe-glass phase, when it occurs, is connected to the appearance of a finite long-time correlation function in the system, in the asymptotic limit t − t0 ! ¥, and below the temperature of a crossover to the slow dynamics regime. The asymptotic limit of the two-times dynamic correlation function is related to the mobility of defects on the sample and is identified with finite off-diagonal correlations in replica space. Within this approach one finds no finite contribution for the correlation between distinct replicas. Therefore, one concludes that glassiness does not emerge at any temperature in the aforementioned model.