É realizado um estudo sobre o problema do segundo espectro de frequências no modelo de Timoshenko para uma viga bi-apoiada. A equação característica, associada às condições de contorno bi-apoiada, permite determinar dois autovalores que dependem de um inteiro n não negativo, sendo que o de menor módulo está associado ao valor predito pela teoria de Euler-Bernoulli, e o de maior módulo é usualmente referido como sendo do segundo espectro. Este último espectro foi salientado por Traill-Nash e Collar (1953) e desconsiderado por Timoshenko, que utilizou funções trigonométricas que satisfazem as condições de contorno para obter os modos de vibração. Neste trabalho, o modelo de Timoshenko é formulado matricialmente e permite que o estudo dos autovalores e autofunções seja realizado com o uso de uma base da equação modal matricial de segunda ordem completa, gerada por uma solução matricial fundamental. Devido a uma representação analítica desta solução fundamental, o estudo é realizado com o uso da solução de um problema de valor inicial escalar, cujo comportamento torna-se completamente oscilatório acima de um valor crítico. São obtidos resultados que permitem classificar os autovalores como simples e duplos, em ambos os espectros, e determinar seus correspondentes modos. Observa-se que autovalores que correspondem a dois inteiros diferentes e localizados em espectros distintos, porém relativamente próximos, estão associados a modos de vibração descritos por funções trigonométricas que apresentam número de nós bastante diferente. / A study about the problem of the second spectrum of frequencies that arises in the Timoshenko model for a bi-supported beam is accomplished . The characteristic equation associated with the bi-supported boundary conditions allows to determine two eigenvalues that depend of a non-negative integer n, being that the eigenvalue with smaller module is associated to the value predicted by theory of Euler-Bernoulli, and the one with greater module is usually referred as belonging to the second spectrum. This latter spectrum was emphasized by Traill-Nash and Collar (1953) but disregarded by Timoshenko who used trigonometric functions that satisfy the boundary conditions in order to obtain the vibration modes. In this work the model of Timoshenko is formulated in matrix terms and allows that the study of the eigenvalues and eigenfunctions be performed using a basis of a complete second order matrix modal equation, generated by a fundamental matrix solution. Due to an analytical representation of this fundamental solution, the study is done with the solution of a scalar initial value problem, whose behavior becomes completely oscillatory above a critical value. Results are obtained in such a way that allow to classify the eigenvalues as simple and double in both spectra and to determine their corresponding modes. It is observed that eigenvalues that correspond to different integers and localized on distinct spectra, but relatively close together, are associated with vibration modes described by trigonometric functions which have quite different number of nodes.

É realizado um estudo sobre o problema do segundo espectro de frequências no modelo de Timoshenko para uma viga bi-apoiada. A equação característica, associada às condições de contorno bi-apoiada, permite determinar dois autovalores que dependem de um inteiro n não negativo, sendo que o de menor módulo está associado ao valor predito pela teoria de Euler-Bernoulli, e o de maior módulo é usualmente referido como sendo do segundo espectro. Este último espectro foi salientado por Traill-Nash e Collar (1953) e desconsiderado por Timoshenko, que utilizou funções trigonométricas que satisfazem as condições de contorno para obter os modos de vibração. Neste trabalho, o modelo de Timoshenko é formulado matricialmente e permite que o estudo dos autovalores e autofunções seja realizado com o uso de uma base da equação modal matricial de segunda ordem completa, gerada por uma solução matricial fundamental. Devido a uma representação analítica desta solução fundamental, o estudo é realizado com o uso da solução de um problema de valor inicial escalar, cujo comportamento torna-se completamente oscilatório acima de um valor crítico. São obtidos resultados que permitem classificar os autovalores como simples e duplos, em ambos os espectros, e determinar seus correspondentes modos. Observa-se que autovalores que correspondem a dois inteiros diferentes e localizados em espectros distintos, porém relativamente próximos, estão associados a modos de vibração descritos por funções trigonométricas que apresentam número de nós bastante diferente. / A study about the problem of the second spectrum of frequencies that arises in the Timoshenko model for a bi-supported beam is accomplished . The characteristic equation associated with the bi-supported boundary conditions allows to determine two eigenvalues that depend of a non-negative integer n, being that the eigenvalue with smaller module is associated to the value predicted by theory of Euler-Bernoulli, and the one with greater module is usually referred as belonging to the second spectrum. This latter spectrum was emphasized by Traill-Nash and Collar (1953) but disregarded by Timoshenko who used trigonometric functions that satisfy the boundary conditions in order to obtain the vibration modes. In this work the model of Timoshenko is formulated in matrix terms and allows that the study of the eigenvalues and eigenfunctions be performed using a basis of a complete second order matrix modal equation, generated by a fundamental matrix solution. Due to an analytical representation of this fundamental solution, the study is done with the solution of a scalar initial value problem, whose behavior becomes completely oscillatory above a critical value. Results are obtained in such a way that allow to classify the eigenvalues as simple and double in both spectra and to determine their corresponding modes. It is observed that eigenvalues that correspond to different integers and localized on distinct spectra, but relatively close together, are associated with vibration modes described by trigonometric functions which have quite different number of nodes.

É realizado um estudo sobre o problema do segundo espectro de frequências no modelo de Timoshenko para uma viga bi-apoiada. A equação característica, associada às condições de contorno bi-apoiada, permite determinar dois autovalores que dependem de um inteiro n não negativo, sendo que o de menor módulo está associado ao valor predito pela teoria de Euler-Bernoulli, e o de maior módulo é usualmente referido como sendo do segundo espectro. Este último espectro foi salientado por Traill-Nash e Collar (1953) e desconsiderado por Timoshenko, que utilizou funções trigonométricas que satisfazem as condições de contorno para obter os modos de vibração. Neste trabalho, o modelo de Timoshenko é formulado matricialmente e permite que o estudo dos autovalores e autofunções seja realizado com o uso de uma base da equação modal matricial de segunda ordem completa, gerada por uma solução matricial fundamental. Devido a uma representação analítica desta solução fundamental, o estudo é realizado com o uso da solução de um problema de valor inicial escalar, cujo comportamento torna-se completamente oscilatório acima de um valor crítico. São obtidos resultados que permitem classificar os autovalores como simples e duplos, em ambos os espectros, e determinar seus correspondentes modos. Observa-se que autovalores que correspondem a dois inteiros diferentes e localizados em espectros distintos, porém relativamente próximos, estão associados a modos de vibração descritos por funções trigonométricas que apresentam número de nós bastante diferente. / A study about the problem of the second spectrum of frequencies that arises in the Timoshenko model for a bi-supported beam is accomplished . The characteristic equation associated with the bi-supported boundary conditions allows to determine two eigenvalues that depend of a non-negative integer n, being that the eigenvalue with smaller module is associated to the value predicted by theory of Euler-Bernoulli, and the one with greater module is usually referred as belonging to the second spectrum. This latter spectrum was emphasized by Traill-Nash and Collar (1953) but disregarded by Timoshenko who used trigonometric functions that satisfy the boundary conditions in order to obtain the vibration modes. In this work the model of Timoshenko is formulated in matrix terms and allows that the study of the eigenvalues and eigenfunctions be performed using a basis of a complete second order matrix modal equation, generated by a fundamental matrix solution. Due to an analytical representation of this fundamental solution, the study is done with the solution of a scalar initial value problem, whose behavior becomes completely oscillatory above a critical value. Results are obtained in such a way that allow to classify the eigenvalues as simple and double in both spectra and to determine their corresponding modes. It is observed that eigenvalues that correspond to different integers and localized on distinct spectra, but relatively close together, are associated with vibration modes described by trigonometric functions which have quite different number of nodes.