Causal models have been used in different areas of knowledge in order to comprehend the causal associations between variables. Over the past decades, the amount of studies using these models have been growing a lot, especially those related to biological systems where studying and learning causal relationships among traits are essential for predicting the consequences of interventions in such system. Graph analysis (GA) and structural equation modeling (SEM) are tools used to explore such associations. While GA allows searching causal structures that express qualitatively how variables are causally connected, fitting SEM with a known causal structure allows to infer the magnitude of causal effects. Also SEM can be viewed as multiple regression models in which response variables can be explanatory variables for others. In quantitative genetics studies, SEM aimed to study the direct and indirect genetic effects associated to individuals through information related to them, beyond the observed characteristics, such as the kinship relations. In those studies typically the assumptions of linear relationships among traits are made. However, in some scenarios, nonlinear relationships can be observed, which make unsuitable the mentioned assumptions. To overcome this limitation, this paper proposes to use a mixed effects polynomial structural equation model, second or superior degree, to model those nonlinear relationships. Two studies were developed, a simulation and an application to real data. The first study involved simulation of 50 data sets, with a fully recursive causal structure involving three characteristics in which linear and nonlinear causal relations between them were allowed. The second study involved the analysis of traits related to dairy cows of the Holstein breed. Phenotypic relationships between traits were calving difficulty, gestation length and also the proportion of perionatal death. We compare the model of multiple traits and polynomials structural equations models, under different polynomials degrees in order to assess the benefits of the SEM polynomial of second or higher degree. For some situations the inappropriate assumption of linearity results in poor predictions of the direct, indirect and total of the genetic variances and covariance, either overestimating, underestimating, or even assign opposite signs to covariances. Therefore, we conclude that the inclusion of a polynomial degree increases the SEM expressive power. / Modelos causais têm sido muitos utilizados em estudos em diferentes áreas de conhecimento, a fim de compreender as associações ou relações causais entre variáveis. Durante as últimas décadas, o uso desses modelos têm crescido muito, especialmente estudos relacionados à sistemas biológicos, uma vez que compreender as relações entre características são essenciais para prever quais são as consequências de intervenções em tais sistemas. Análise do grafo (AG) e os modelos de equações estruturais (MEE) são utilizados como ferramentas para explorar essas relações. Enquanto AG nos permite buscar por estruturas causais, que representam qualitativamente como as variáveis são causalmente conectadas, ajustando o MEE com uma estrutura causal conhecida nos permite inferir a magnitude dos efeitos causais. Os MEE também podem ser vistos como modelos de regressão múltipla em que uma variável resposta pode ser vista como explanatória para uma outra característica. Estudos utilizando MEE em genética quantitativa visam estudar os efeitos genéticos diretos e indiretos associados aos indivíduos por meio de informações realcionadas aos indivíduas, além das característcas observadas, como por exemplo o parentesco entre eles. Neste contexto, é tipicamente adotada a suposição que as características observadas são relacionadas linearmente. No entanto, para alguns cenários, relações não lineares são observadas, o que torna as suposições mencionadas inadequadas. Para superar essa limitação, este trabalho propõe o uso de modelos de equações estruturais de efeitos polinomiais mistos, de segundo grau ou seperior, para modelar relações não lineares. Neste trabalho foram desenvolvidos dois estudos, um de simulação e uma aplicação a dados reais. O primeiro estudo envolveu a simulação de 50 conjuntos de dados, com uma estrutura causal completamente recursiva, envolvendo 3 características, em que foram permitidas relações causais lineares e não lineares entre as mesmas. O segundo estudo envolveu a análise de características relacionadas ao gado leiteiro da raça Holandesa, foram utilizadas relações entre os seguintes fenótipos: dificuldade de parto, duração da gestação e a proporção de morte perionatal. Nós comparamos o modelo misto de múltiplas características com os modelos de equações estruturais polinomiais, com diferentes graus polinomiais, a fim de verificar os benefícios do MEE polinomial de segundo grau ou superior. Para algumas situações a suposição inapropriada de linearidade resulta em previsões pobres das variâncias e covariâncias genéticas diretas, indiretas e totais, seja por superestimar, subestimar, ou mesmo atribuir sinais opostos as covariâncias. Portanto, verificamos que a inclusão de um grau de polinômio aumenta o poder de expressão do MEE.

Causal models have been used in different areas of knowledge in order to comprehend the causal associations between variables. Over the past decades, the amount of studies using these models have been growing a lot, especially those related to biological systems where studying and learning causal relationships among traits are essential for predicting the consequences of interventions in such system. Graph analysis (GA) and structural equation modeling (SEM) are tools used to explore such associations. While GA allows searching causal structures that express qualitatively how variables are causally connected, fitting SEM with a known causal structure allows to infer the magnitude of causal effects. Also SEM can be viewed as multiple regression models in which response variables can be explanatory variables for others. In quantitative genetics studies, SEM aimed to study the direct and indirect genetic effects associated to individuals through information related to them, beyond the observed characteristics, such as the kinship relations. In those studies typically the assumptions of linear relationships among traits are made. However, in some scenarios, nonlinear relationships can be observed, which make unsuitable the mentioned assumptions. To overcome this limitation, this paper proposes to use a mixed effects polynomial structural equation model, second or superior degree, to model those nonlinear relationships. Two studies were developed, a simulation and an application to real data. The first study involved simulation of 50 data sets, with a fully recursive causal structure involving three characteristics in which linear and nonlinear causal relations between them were allowed. The second study involved the analysis of traits related to dairy cows of the Holstein breed. Phenotypic relationships between traits were calving difficulty, gestation length and also the proportion of perionatal death. We compare the model of multiple traits and polynomials structural equations models, under different polynomials degrees in order to assess the benefits of the SEM polynomial of second or higher degree. For some situations the inappropriate assumption of linearity results in poor predictions of the direct, indirect and total of the genetic variances and covariance, either overestimating, underestimating, or even assign opposite signs to covariances. Therefore, we conclude that the inclusion of a polynomial degree increases the SEM expressive power. / Modelos causais têm sido muitos utilizados em estudos em diferentes áreas de conhecimento, a fim de compreender as associações ou relações causais entre variáveis. Durante as últimas décadas, o uso desses modelos têm crescido muito, especialmente estudos relacionados à sistemas biológicos, uma vez que compreender as relações entre características são essenciais para prever quais são as consequências de intervenções em tais sistemas. Análise do grafo (AG) e os modelos de equações estruturais (MEE) são utilizados como ferramentas para explorar essas relações. Enquanto AG nos permite buscar por estruturas causais, que representam qualitativamente como as variáveis são causalmente conectadas, ajustando o MEE com uma estrutura causal conhecida nos permite inferir a magnitude dos efeitos causais. Os MEE também podem ser vistos como modelos de regressão múltipla em que uma variável resposta pode ser vista como explanatória para uma outra característica. Estudos utilizando MEE em genética quantitativa visam estudar os efeitos genéticos diretos e indiretos associados aos indivíduos por meio de informações realcionadas aos indivíduas, além das característcas observadas, como por exemplo o parentesco entre eles. Neste contexto, é tipicamente adotada a suposição que as características observadas são relacionadas linearmente. No entanto, para alguns cenários, relações não lineares são observadas, o que torna as suposições mencionadas inadequadas. Para superar essa limitação, este trabalho propõe o uso de modelos de equações estruturais de efeitos polinomiais mistos, de segundo grau ou seperior, para modelar relações não lineares. Neste trabalho foram desenvolvidos dois estudos, um de simulação e uma aplicação a dados reais. O primeiro estudo envolveu a simulação de 50 conjuntos de dados, com uma estrutura causal completamente recursiva, envolvendo 3 características, em que foram permitidas relações causais lineares e não lineares entre as mesmas. O segundo estudo envolveu a análise de características relacionadas ao gado leiteiro da raça Holandesa, foram utilizadas relações entre os seguintes fenótipos: dificuldade de parto, duração da gestação e a proporção de morte perionatal. Nós comparamos o modelo misto de múltiplas características com os modelos de equações estruturais polinomiais, com diferentes graus polinomiais, a fim de verificar os benefícios do MEE polinomial de segundo grau ou superior. Para algumas situações a suposição inapropriada de linearidade resulta em previsões pobres das variâncias e covariâncias genéticas diretas, indiretas e totais, seja por superestimar, subestimar, ou mesmo atribuir sinais opostos as covariâncias. Portanto, verificamos que a inclusão de um grau de polinômio aumenta o poder de expressão do MEE.