In this thesis we consider continuity and positivity properties of pseudo-differential operators in Gelfand-Shilov and Pilipović spaces, and their distribution spaces. We also investigate composition property of pseudo-differential operators with symbols in quasi-Banach modulation spaces. We prove that positive elements with respect to the twisted convolutions, possesing Gevrey regularity of certain order at origin, belong to the Gelfand-Shilov space of the same order. We apply this result to positive semi-definite pseudo-differential operators, as well as show that the strongest Gevrey irregularity of kernels to positive semi-definite operators appear at the diagonals. We also prove that any linear operator with kernel in a Pilipović or Gelfand-Shilov space can be factorized by two operators in the same class. We give links on numerical approximations for such compositions and apply these composition rules to deduce estimates of singular values and establish Schatten-von Neumann properties for such operators.   Furthermore, we derive sufficient and necessary conditions for continuity of the Weyl product with symbols in quasi-Banach modulation spaces.

This thesis consists of two parts. In the first chapter, we give some results on modulation spaces. First the relationship between the classical spaces and the modulation spaces is established. It is proved that certain modulation spaces defined on R² lie in the BMO space. Another result is that the Zak transform, a discrete time-frequency transform, maps a modulation space into a higher dimensional modulation space. And by using these results, an uncertainty principle for Gabor frames via modulation spaces is obtained. In the second part, we deal with optimization of an increasing positively homogeneous functions on the unit simplex. The class of increasing positively homogeneous functions is one of the function classes obtained via min-type functions in the context of abstract convexity. The cutting angle method is used for the minimization of this type functions. The most important step of this method is the minimization of a function which is the maximum of a number of min-type functions on the unit simplex. We propose a numerical algorithm for the minimization of such functions on the unit simplex and we mathematically prove that this algorithm finds the exact solution of the minimization problem. Some experiments have been carried out and the results of the experiments have been presented.

<p>In this thesis we discuss different types of regularity for distributions which appear in the theory of pseudo-differential operators and partial differential equations. Partial differential equations often appear in science and technology. For example the Schrödinger equation can be used to describe the change in time of quantum states of physical systems. Pseudo-differential operators can be used to solve partial differential equations.  They are also appropriate to use when modeling different types of problems within physics and engineering. For example, there is a natural connection between pseudo-differential operators and stationary and non-stationary filters in signal processing. Furthermore, the correspondence between symbols and operators when passing from classical mechanics to quantum mechanics essentially agrees with symbols and operators in the Weyl calculus of pseudo-differential operators.</p><p>In this thesis we concentrate on investigating how regularity properties for solutions of partial differential equations are affected under the mapping of pseudo-differential operators, and in particular of the free time-dependent Schrödinger operators.</p><p>The solution of the free time-dependent Schrödinger equation can be expressed as a pseudo-differential operator, with non-smooth symbol, acting on the initial condition. We generalize a result about non-tangential convergence, which was obtained by Sjögren and Sjölin (1989) for the free time-dependent Schrödinger equation.</p><p>Another way to describe regularity for a distribution is to use wave-front sets. They do not only describe where the singularities are, but also the directions in which these singularities appear. The first types of wave-front sets (analytical wave-front sets) were introduced by Sato (1969, 1970). Later on Hörmander introduced ``classical'' wave-front sets (with respect to smoothness) and showed results in the context of pseudo-differential operators with smooth symbols, cf. Hörmander (1985).</p><p>In this thesis we consider wave-front sets with respect to Fourier Banach function spaces. Roughly speaking, we take <em>B</em> as a Banach space, which is invariant under translations and embedded between the space of Schwartz functions and the space of temperated distributions. Then we say that the wave-front set of a distribution contains all points (x₀, ξ₀) such that no localization of the distribution at x₀, belongs to <em>FB</em> in the direction ξ₀. We prove that pseudo-differential operators with smooth symbols shrink the wave-front set and we obtain opposite embeddings by using sets of characteristic points of the operator symbols.</p> / <p>I denna avhandling diskuterar vi olika typer av regularitet för distributioner som uppkommer i teorin för pseudodifferentialoperatorer och partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer förekommer inom naturvetenskap och teknik. Exempelvis kan Schrödingerekvationen användas för att beskriva förändringen med tiden av kvanttillstånd i fysikaliska system. Pseudodifferentialoperatorer kan användas för att lösa partiella differential\-ekvationer. De användas också för att modellera olika typer av problem inom fysik och teknik. Det finns till exempel en naturlig koppling mellan pseudodifferentialoperatorer och stationära och icke-stationära filter i signalbehandling. Vidare gäller att relationen mellan symboler och operatorer vid övergången från klassisk mekanik till kvantmekanik i huvudsak överensstämmer med symboler och operatorer inom Weylkalkylen för pseudodifferentialoperatorer.</p><p>I den här avhandlingen koncentrerar vi oss på att undersöka hur regularitetsegenskaper för lösningar till partiella differentialekvationer påverkas under verkan av pseudodifferentialoperatorer, och speciellt för de fria tidsberoende Schrödingeroperatorerna.</p><p>Lösningen av den fria tidsberoende Schrödingerekvationen kan uttryckas som en pseudodifferentialoperator, med icke-slät symbol, verkande på begynnelsevillkoret. Vi generaliserar ett resultat om icke-tangentiell konvergens av Sjögren och Sjölin (1989) för den fria tidsberoende Schrödingerekvationen.</p><p>Ett annat sätt att beskriva regularitet hos en distribution är med hjälp av vågfrontsmängder. De beskriver inte bara var singulariteterna finns, utan också i vilka riktningar dessa singulariteter förekommer. De första typerna av vågfrontsmängder (analytiska vågfrontsmängder) introducerades av Sato (1969, 1970). Senare introducerade Hörmander ''klassiska'' vågfrontsmängder (med avseende på släthet) och visade resultat för verkan av pseudodifferentialoperatorer med släta symboler, se  Hörmander (1985).</p><p>I denna avhandling betraktar vi vågfrontsmängder med avseende på Fourier Banach funktionsrum. Detta kan ses som att vi låter <em>B</em> vara ett Banachrum, som är invariant under translationer och är inbäddat mellan rummet av Schwartzfunktioner och rummet av tempererade distributioner. Vågfrontsmängden av en distribution innehåller alla punkter (x₀, ξ₀) så att ingen lokalisering av distributionen kring x₀, tillhör <em>FB</em> i riktningen ξ₀. Vi visar att pseudodifferentialoperatorer med släta symboler krymper vågfrontsmängden och vi får motsatta inbäddningar med hjälp mängder av karakteristiska punkter till operatorernas symboler.</p>

In this thesis we discuss different types of regularity for distributions which appear in the theory of pseudo-differential operators and partial differential equations. Partial differential equations often appear in science and technology. For example the Schrödinger equation can be used to describe the change in time of quantum states of physical systems. Pseudo-differential operators can be used to solve partial differential equations.  They are also appropriate to use when modeling different types of problems within physics and engineering. For example, there is a natural connection between pseudo-differential operators and stationary and non-stationary filters in signal processing. Furthermore, the correspondence between symbols and operators when passing from classical mechanics to quantum mechanics essentially agrees with symbols and operators in the Weyl calculus of pseudo-differential operators. In this thesis we concentrate on investigating how regularity properties for solutions of partial differential equations are affected under the mapping of pseudo-differential operators, and in particular of the free time-dependent Schrödinger operators. The solution of the free time-dependent Schrödinger equation can be expressed as a pseudo-differential operator, with non-smooth symbol, acting on the initial condition. We generalize a result about non-tangential convergence, which was obtained by Sjögren and Sjölin (1989) for the free time-dependent Schrödinger equation. Another way to describe regularity for a distribution is to use wave-front sets. They do not only describe where the singularities are, but also the directions in which these singularities appear. The first types of wave-front sets (analytical wave-front sets) were introduced by Sato (1969, 1970). Later on Hörmander introduced ``classical'' wave-front sets (with respect to smoothness) and showed results in the context of pseudo-differential operators with smooth symbols, cf. Hörmander (1985). In this thesis we consider wave-front sets with respect to Fourier Banach function spaces. Roughly speaking, we take B as a Banach space, which is invariant under translations and embedded between the space of Schwartz functions and the space of temperated distributions. Then we say that the wave-front set of a distribution contains all points (x0, ξ0) such that no localization of the distribution at x0, belongs to FB in the direction ξ0. We prove that pseudo-differential operators with smooth symbols shrink the wave-front set and we obtain opposite embeddings by using sets of characteristic points of the operator symbols. / I denna avhandling diskuterar vi olika typer av regularitet för distributioner som uppkommer i teorin för pseudodifferentialoperatorer och partiella differentialekvationer. Partiella differentialekvationer förekommer inom naturvetenskap och teknik. Exempelvis kan Schrödingerekvationen användas för att beskriva förändringen med tiden av kvanttillstånd i fysikaliska system. Pseudodifferentialoperatorer kan användas för att lösa partiella differential\-ekvationer. De användas också för att modellera olika typer av problem inom fysik och teknik. Det finns till exempel en naturlig koppling mellan pseudodifferentialoperatorer och stationära och icke-stationära filter i signalbehandling. Vidare gäller att relationen mellan symboler och operatorer vid övergången från klassisk mekanik till kvantmekanik i huvudsak överensstämmer med symboler och operatorer inom Weylkalkylen för pseudodifferentialoperatorer. I den här avhandlingen koncentrerar vi oss på att undersöka hur regularitetsegenskaper för lösningar till partiella differentialekvationer påverkas under verkan av pseudodifferentialoperatorer, och speciellt för de fria tidsberoende Schrödingeroperatorerna. Lösningen av den fria tidsberoende Schrödingerekvationen kan uttryckas som en pseudodifferentialoperator, med icke-slät symbol, verkande på begynnelsevillkoret. Vi generaliserar ett resultat om icke-tangentiell konvergens av Sjögren och Sjölin (1989) för den fria tidsberoende Schrödingerekvationen. Ett annat sätt att beskriva regularitet hos en distribution är med hjälp av vågfrontsmängder. De beskriver inte bara var singulariteterna finns, utan också i vilka riktningar dessa singulariteter förekommer. De första typerna av vågfrontsmängder (analytiska vågfrontsmängder) introducerades av Sato (1969, 1970). Senare introducerade Hörmander ''klassiska'' vågfrontsmängder (med avseende på släthet) och visade resultat för verkan av pseudodifferentialoperatorer med släta symboler, se  Hörmander (1985). I denna avhandling betraktar vi vågfrontsmängder med avseende på Fourier Banach funktionsrum. Detta kan ses som att vi låter B vara ett Banachrum, som är invariant under translationer och är inbäddat mellan rummet av Schwartzfunktioner och rummet av tempererade distributioner. Vågfrontsmängden av en distribution innehåller alla punkter (x0, ξ0) så att ingen lokalisering av distributionen kring x0, tillhör FB i riktningen ξ0. Vi visar att pseudodifferentialoperatorer med släta symboler krymper vågfrontsmängden och vi får motsatta inbäddningar med hjälp mängder av karakteristiska punkter till operatorernas symboler.