Ce mémoire propose des outils d'analyse des données fonctionnelles (ADF). Cette analyse s'applique aux données dont la structure peut être considérée comme une fonction. Dans ce travail, nous avons fait, avec des exemples pratiques sous R, un parcours sur une partie des méthodes existantes. D'abord, nous avons commencé par une petite introduction générale sur l'ADF où nous avons parlé non seulement des différentes bases classiques (base de Fourier, base polynomiale, base spline) qui permettent de représenter les données fonctionnelles en les rapprochant avec une combinaison linéaire de fonctions de base, mais aussi du lissage qui permet de convertir des données observées discrètes en courbes coutinues (par les moindres carrés ou par la pénalisation). Au vu du problème de variabilité en phase des données fonctionnelles, nous avons parlé des différentes méthodes d'alignement des courbes (par points de repère et alignement continu). Ensuite, nous avons étudié le clustering de données fonctionnelles. Il s'agit du processus qui permet de regrouper en cluster des fonctions similaires. Plusieurs méthodes de clustering exitent, mais nous nous sommes focalisés principalement sur les méthodes basées sur la distance, plus particulièrement sur la méthode K-moyennes. Également, le K-moyennes combinant simultanément l'alignement de manière globale et le clustering des courbes a été présentée. Et à travers des exemples pratiques, nous avons pu trouver la structure sous-jacente de données (identification de certaines tendances des données). Enfin, nous avons terminé par présenter le K-moyennes probabiliste avec alignement local qui prend en compte la forme locale des courbes, ce qui n'est pas le cas avec les méthodes susmentionnées qui traitent les courbes dans leur intégralité. Cette méthode, développée par Cremona et Chiaromonte, permet le regroupement local des courbes et la découverte de motifs fonctionnels ("formes" typiques) dans ces courbes. Sous R, cette méthode est fournit par le package probKMA.FMD (ProbKMA-based Functional Motif Discovery) qui est en construction. Des exemples pratiques ont été montrés afin de bien tester les codes et les fonctions du package. / This thesis proposes tools for functional data analysis (FDA). FDA is used on data whose structure can be considered as a function. In this work, we have looked at some of the existing methods using practical examples with R. First, we started with a short general introduction on FDA in which we discussed the different classical bases (Fourier basis, polynomial basis, Spline basis) which allow to represent functional data through a linear combination of basis functions. We also considered smoothing, which allows the conversion of discrete observed data into continuous curves (by least squares or by rougghness penalty). Regarding the problem of phase variability of functional data, we discussed different methods of curve alignment (by landmarks and continuous alignment). Second, we studied the clustering of functional data, which permits to group similar functions into clusters. Several clustering methods exist, but we mainly focused on distance-based methods, particularly on the K-means. Moreover, we considered a K-means combining simultaneously global alignment and clustering of curves. Through practical examples, we were able to find the underlying structure of the data (identification of certain patterns in the data). Finally, we presented the probabilistic K-means with local alignment which takes into account the local shape of the curves,as opposed to the previously mentioned methods which treat the curves in their entirety. This method, developed by Cremona and Chiaromonte, allows the local clustering of curves and the discovery of functional motifs ("shapes") in these curves. In R, this method is provided by the probKMA.FMD (ProbKMA-based Functional Motif Discovery) package which is under construction. Practical examples have been shown to test the codes and functions of the package.

Une des applications des équations de réaction-diffusion est leur utilisation pour la génération de motifs, analogues en particulier à ceux sur le pelage de certains animaux. L'utilisation à cette fin de ce type d'équations remontent aux travaux d'Alan Turing dans les années 50. Dans ce mémoire nous considérons un système simple d'équations de réaction-diffusion pour étudier la formation de motifs. Nous approchons ces solutions en utilisant une discrétisation spatiale par éléments finis. Nous montrons comment choisir les paramètres pour atteindre un motif choisi sur un domaine rectangulaire fixe. Après avoir validé les méthodes numériques utilisées dans nos simulations, nous nous intéressons à l'évolution de motifs sur des domaines qui croissent dans le temps. En particulier, nous examinons l'influence de la condition initiale et de la vitesse de croissance du domaine sur les motifs apparaissant au terme de la croissance.