The present thesis is developed through four principal chapters. The first one provides a brief but rather exhaustive description of the context, with a global overview on the complex process of the embryogenesis in Drosophila Melanogaster. We amply focus on the three morphogenetic movements that will be numerically simulated, with particular emphasis on both the mechanical and the biological aspects that constitute the main peculiarity of each event. Also we propose a short review on the related previous works. The second chapter supplies the abstract tools for the analysis of the whole problem and points out the hypotheses that, for sake of simplicity, have been made. The gradient decomposition method is presented together with some interesting interpretations that better clarify the approach and put forward novel issues that have to be considered. By the Principle of the Virtual Power, we are able to write the mechanical equilibrium of the system which consists of the forces internal to the embryo domain and of the boundary conditions, such as the yolk pressure and contact with the vitelline membrane, that are essential for consistent results. A special concern is attributed to the choice of the constitutive law of the mesoderm that, from a biological point of view, may appear too simplistic. Here a Saint- Venant material is used in contrast with the Hyperelastic models found in literature; therefore a comparison between the two is proposed together with the advantages and the limitations of our study. Finally, we provide some simple examples that validate our model and support the exploited method. The third chapter can be divided into two parts. In the first one, by the parametrical description of the embryo geometry, we obtain the analytical formulations of the active deformation gradients for each morphogenetic movement according to the elementary forces introduced. Such expressions will be combined with the passive gradients in order to get the final deformation of the tissues. In the second part we interpret the results for each simulation. In particular, we provide a parametrical analysis for the simulation of the ventral furrow invagination, while for the germ band extension a comparison with experimental data is done. Furthermore we have been able to estimate the effects induced by the local deformations within the tissues; specifically, we have evaluated the magnitude of the pressure forces and the shear stress that may develop at long distance in the embryo when the active forces are applied in restraint regions. To conclude, we propose a collateral study on the influence of the global geometry of the embryo on the final results. Given the consistence of the results for the individual simulations, we have decided to test the concurrent simulation of the events, by two or three of them. In the last chapter, we show the results for a first essay for which we use the most intuitive method; it does not require in fact further manipulations of the analytical formulations previously obtained, but we simply couple together the active deformation gradients, following the chronological order of the movements. Although the method works well for the simulation of the two furrows, some drawbacks are detected when we introduce the germ band extension. Therefore we propose a new approach, more rigorous and appropriate, which allows to take into account some aspects so far put aside, but still significant for a realistic and complete reproduction of the different phases of the Drosophila gastrulation.

The present thesis is developed through four principal chapters. The first one provides a brief but rather exhaustive description of the context, with a global overview on the complex process of the embryogenesis in Drosophila Melanogaster. We amply focus on the three morphogenetic movements that will be numerically simulated, with particular emphasis on both the mechanical and the biological aspects that constitute the main peculiarity of each event. Also we propose a short review on the related previous works. The second chapter supplies the abstract tools for the analysis of the whole problem and points out the hypotheses that, for sake of simplicity, have been made. The gradient decomposition method is presented together with some interesting interpretations that better clarify the approach and put forward novel issues that have to be considered. By the Principle of the Virtual Power, we are able to write the mechanical equilibrium of the system which consists of the forces internal to the embryo domain and of the boundary conditions, such as the yolk pressure and contact with the vitelline membrane, that are essential for consistent results. A special concern is attributed to the choice of the constitutive law of the mesoderm that, from a biological point of view, may appear too simplistic. Here a Saint- Venant material is used in contrast with the Hyperelastic models found in literature; therefore a comparison between the two is proposed together with the advantages and the limitations of our study. Finally, we provide some simple examples that validate our model and support the exploited method. The third chapter can be divided into two parts. In the first one, by the parametrical description of the embryo geometry, we obtain the analytical formulations of the active deformation gradients for each morphogenetic movement according to the elementary forces introduced. Such expressions will be combined with the passive gradients in order to get the final deformation of the tissues. In the second part we interpret the results for each simulation. In particular, we provide a parametrical analysis for the simulation of the ventral furrow invagination, while for the germ band extension a comparison with experimental data is done. Furthermore we have been able to estimate the effects induced by the local deformations within the tissues; specifically, we have evaluated the magnitude of the pressure forces and the shear stress that may develop at long distance in the embryo when the active forces are applied in restraint regions. To conclude, we propose a collateral study on the influence of the global geometry of the embryo on the final results. Given the consistence of the results for the individual simulations, we have decided to test the concurrent simulation of the events, by two or three of them. In the last chapter, we show the results for a first essay for which we use the most intuitive method; it does not require in fact further manipulations of the analytical formulations previously obtained, but we simply couple together the active deformation gradients, following the chronological order of the movements. Although the method works well for the simulation of the two furrows, some drawbacks are detected when we introduce the germ band extension. Therefore we propose a new approach, more rigorous and appropriate, which allows to take into account some aspects so far put aside, but still significant for a realistic and complete reproduction of the different phases of the Drosophila gastrulation. / Ce travail de recherche a eu comme objectif principal la conception d'un modèle numérique aux éléments finis donnant une représentation réaliste des mouvements de l'embryon de la Drosophila Melanogaster. Les simulations de trois mouvements durant la phase de gastrulation de l'embryon ont été realisées soit individuelles soit simultanées, ce qui jusqu'à présent, n'a jamais été proposé, constituant ainsi une contribution originale de cette étude. La thèse est composée de quatre chapitres. Le premier fournit une brève mais assez complète description du contexte dans lequel ce travail se situe. Le processus complexe de l'embryogénèse chez la Drosophila Melanogaster est presenté en se focalisant sur les trois mouvements morphogénetiques qui seront ensuite simulés numériquement: l'invagination du sillon ventral, la formation du sillon céphalique et l'extension de la bande germinale. Chaque événement est décrit du point de vue biologique et mécanique, ce qui permet donc de mettre en avant les aspects les plus intéressants des différents mouvements. Une revue des plus récents travaux est aussi proposée. Dans le deuxième chapitre on présente les outils analytiques pour l'analyse du problème dans son intégrité. Etant donnée la complexité du système biologique, plusieurs hypothèses ont été introduites pour simplifier l'approche numérique utilisée. Seul le mésoderme est modélisé comme un milieu continu dans un espace tridimensionel par un ellipsoïde épais régulier de 500 µm de longueur. La méthode de la décomposition du gradient de déformation, dont quelques interprétations alternatives sont présentées, permet de coupler les déformations passives et actives subies par chaque point matériel du milieu. L'équilibre mécanique est écrit à partir du Principe des Puissances Virtuelles: les forces internes du système sont donc prises en compte avec les conditions aux limites. Dans notre cas particulier celles-ci sont fondamentales pour obtenir des configurations finales réalistes et comprennent le contact entre le mésoderme et la membrane vitelline externe et le pression exercée par le yolk sur la surface interne du mésoderme. Les propriétés mécaniques des tissus embryonnaires ne sont pas faciles à déterminer expérimentalement. Une approximation a été faite pour ce qui concerne la loi de comportement du mésoderme qui a été modélisé comme un matériau de Saint-Venant linéaire, élastique et isotrope. Notre choix étant en contraste avec le modèle hyperélastique qu'on retrouve souvent en littérature, une comparaison entre les deux matériaux est proposée tout en considérant les avantages et les limitations de notre démarche. La méthode de la décomposition du gradient de déformation a été auparavant testée sur des cas géométriquement très simples dont la solution analytique peut être facilement calculée et validée par les résultats obtenus à partir des simulations numériques. Le troisième chapitre peut être divisé en deux parties distinctes. Dans la première, grâce à la description paramétrique de l'ellipsoïde qui représente l'embryon, on calcule les expressions analytiques des positions intermédiaires où on voit apparaître les déformations actives responsables de chaque mouvement morphogénétique. Les gradients de déformation active sont donc couplés avec les gradients passifs pour obtenir la déformation finale. La deuxième partie du chapitre concerne l'analyse des résultats pour les simulations individuelles des événements. Pour la simulation de l'invagination du sillon ventral une étude paramétrique a été conduite pour évaluer l'influence de certains paramètres sur la configuration finale. Pour la simulation de l'extension de la bande germinale les résultats ont été comparés avec les données expérimentales. En particulier on s'est intéressé à l'analyse des contraintes mécaniques (les pressions et les contraintes de cisaillement) induites au niveau du pôle antérieur où un chemin de mécanotransduction aurait lieu et conduirait à l'expression du twist, un gène normalement exprimé seulement dans la partie ventrale de l'embryon. Pour conclure, d'autres géométries que celle de l'ellipsoïde ont été utilisées pour les simulations de l'invagination du sillon ventral et de l'extension de la bande germinale. Ces nouvelles représentations de l'embryon permettent de prendre en compte deux aspects intéressants: d'un côté l'arrondissement des deux pôles, de l'autre l'aplatissement de la partie dorsal par rapport à la partie ventrale. Le dernier chapitre du manuscrit introduit la simulation simultanée des trois mouvements qui a été mise en place pour deux raisons principales. Tout d'abord le fait que les événements analysés se produisent l'un après l'autre lors du développement de l'embryon. Deuxièmement, les résultats obtenus pour les simulations individuelles sont très encourageants et ont permis aussi de confirmer plusieurs hypothèses avancées par les biologistes; d'où l'intérêt de coupler les mouvements pour permettre une vision encore plus réaliste de cette phase importante de la gastrulation chez l'embryon de la Drosophila Melanogaster. Deux méthodes différentes ont été testées. La première, la plus intuitive et simple, permet de combiner les gradients de déformation active de chaque mouvement et ne requiert pas de manipulations supplémentaires des équations précédemment trouvées, tout en prenant en compte le déphasage réel entre les événements. Cette approche ne pose pas de problèmes quand seulement les deux sillons sont couplés, alors que l'introduction de l'extension de la bande germinale donne lieu à quelque limitations. Une nouvelle démarche est donc proposée, plus rigoureuse et précise, qui nous a permis de considérer certains aspects importants pas encore développés d'un point de vue théorique.