Unsere alltägliche Erfahrung ist mit verschiedenen akustischen Einfluessen wie Lärm, aber auch Musik verbunden. Jeder weiss, wie Lärm stören kann und Kommunikation behindert oder gar unterbindet. Ähnliche optische Effekte sind bekannt: starkes Schneetreiben oder Regengüsse verschlechtern die Sicht und lassen uns Umrisse nur noch schemenhaft erkennen. Jedoch koennen ähnliche Stimuli auch sehr positive Auswirkungen haben: Autofahrer fahren bei leiser Musik konzentrierter -- die Behauptung von Schulkindern, nur bei dröhnenden Bässen die Mathehausaufgaben richtig rechnen zu können, ist allerdings nicht wissenschaftlich erwiesen. Außerordentlich interessant aus dieser Sicht sind auch Reizleitungsprozesse: Reize werden nur weitergleitet, wenn die strukturlosen Signale der Neuronen mit ausreichend starker Intensität erfolgen, also ein Schwellwert überschritten ist. <br /> <br /> Der Physiker Dr. Alexei Zaikin von der Universität Potsdam beschäftigt sich mit sogenannten rauschinduzierten Phänomenen aus theorischer Sicht. Sein Forschungsgebiet sind Prozesse, bei denen Rauschen mehrfach das Systemverhalten beeinflusst: ist es ausreichend gross, d.h. größer als ein kritischer Wert, wird eine reguläre Struktur gebildet, die durch das immernoch vorhandene Rauschen mit der Struktur des Nachbarsystems synchronisiert. Um ein solches System mit kritischem Wert zu erhalten, bedarf es einer weiteren Rauschquelle. Herr Zaikin analysierte noch weitere Beispiele solcher doppelt stochastischen Effekte. Die Ausarbeitung derartiger theoretischer Grundlagen ist wichtig, da diese Prozesse in der Neurophysik, in technischen Kommunikationssystemen und in den Lebenswissenschaften eine Rolle spielen. / Our every-day experience is connected with different acoustical noise or music. Usually noise plays the role of nuisance in any communication and destroys any order in a system. Similar optical effects are known: strong snowing or raining decreases quality of a vision. In contrast to these situations noisy stimuli can also play a positive constructive role, e.g. a driver can be more concentrated in a presence of quiet music. Transmission processes in neural systems are of especial interest from this point of view: excitation or information will be transmitted only in the case if a signal overcomes a threshold.<br /> <br /> Dr. Alexei Zaikin from the Potsdam University studies noise-induced phenomena in nonlinear systems from a theoretical point of view. Especially he is interested in the processes, in which noise influences the behaviour of a system twice: if the intensity of noise is over a threshold, it induces some regular structure that will be synchronized with the behaviour of neighbour elements. To obtain such a system with a threshold one needs one more noise source. Dr. Zaikin has analyzed further examples of such doubly stochastic effects and developed a concept of these new phenomena. These theoretical findings are important, because such processes can play a crucial role in neurophysics, technical communication devices and living sciences.

Meine Dissertation behandelt verschiedene neue rauschinduzierte Phänomene in anregbaren Neuronenmodellen, insbesondere solche mit FitzHugh-Nagumo Dynamik. Ich beschreibe das Auftreten von vibronischer Resonanz in anregbaren Systemen. Sowohl in einer anregbaren elektronischen Schaltung als auch im FitzHugh-Nagumo Modell zeige ich, daß eine optimale Amplitude einer hochfrequenten externen Kraft die Signalantwort bezüglich eines niederfrequenten Signals verbessert. Weiterhin wird der Einfluß von additivem Rauschen auf das Zusammenwirken von stochastischer und vibronischer Resonanz untersucht. Weiterhin untersuche ich Systeme, die sowohl oszillierende als auch anregbare Eigenschaften beinhalten und dadurch zwei interne Frequenzen aufweisen. Ich zeige, daß in solchen Systemen der Effekt der stochastischen Resonanz deutlich erhöht werden kann, wenn eine zusätzliche hochfrequente Kraft in Resonanz mit den kleinen Oszillationen unterhalb der Anregungsschwelle hinzugenommen wird. Es ist beachtenswert, daß diese Verstärkung der stochastischen Resonanz eine geringere Rauschintensität zum Erreichen des Optimums benötigt als die standartmäßige stochastische Resonanz in anregbaren Systemen. Ich untersuche Frequenzselektivität bei der rauschinduzierten Signalverarbeitung von Signalen unterhalb der Anregungsschwelle in Systemen mit vielen rauschunterstützten stochastischen Attraktoren. Diese neuen Attraktoren mit abweichenden gemittelten Perioden weisen auch unterschiedliche Phasenbeziehungen zwischen den einzelnen Elementen auf. Ich zeige, daß die Signalantwort des gekoppelten Systems unter verschiedenen Rauscheinwirkungen deutlich verbessert oder auch reduziert werden kann durch das Treiben einzelner Elemente in Resonanz mit diesen neuen Resonanzfrequenzen, die mit passenden Phasenbeziehungen korrespondieren. Weiterhin konnte ich einen rauschinduzierten Phasenübergang von einem selbstoszillierenden System zu einem anregbaren System nachweisen. Dieser Übergang erfolgt durch eine rauschinduzierte Stabilisierung eines deterministisch instabilen Fixpunktes der lokalen Dynamik, während die gesamte Phasenraumstruktur des Systems erhalten bleibt. Die gemeinsame Wirkung von Kopplung und Rauschen führt zu einem neuen Typ von Phasenübergängen und bewirkt eine Stabilisierung des Systems. Das sich daraus ergebende rauschinduziert anregbare Regime zeigt charakteristische Eigenschaften von klassisch anregbaren Systemen, wie stochastische Resonanz und Wellenausbreitung. Dieser rauschinduzierte Phasenübergang ermöglicht dadurch die Übertragung von Signalen durch ansonsten global oszillierende Systeme und die Kontrolle der Signalübertragung durch Veränderung der Rauschintensität. Insbesondere eröffnen diese theoretischen Ergebnisse einen möglichen Mechanismus zur Unterdrückung unerwünschter globaler Oszillationen in neuronalen Netzwerken, welche charakteristisch für abnorme medizinische Zustände, wie z.B. bei der Parkinson&prime;schen Krankheit oder Epilepsie, sind. Die Wirkung von Rauschen würde dann wieder die Anregbarkeit herstellen, die den normalen Zustand der erkrankten Neuronen darstellt. / My thesis is concerned with several new noise-induced phenomena in excitable neural models, especially those with FitzHugh-Nagumo dynamics. In these effects the fluctuations intrinsically present in any complex neural network play a constructive role and improve functionality. I report the occurrence of Vibrational Resonance in excitable systems. Both in an excitable electronic circuit and in the FitzHugh-Nagumo model, I show that an optimal amplitude of high-frequency driving enhances the response of an excitable system to a low-frequency signal. Additionally, the influence of additive noise and the interplay between Stochastic and Vibrational Resonance is analyzed. Further, I study systems which combine both oscillatory and excitable properties, and hence intrinsically possess two internal frequencies. I show that in such a system the effect of Stochastic Resonance can be amplified by an additional high-frequency signal which is in resonance with the oscillatory frequency. This amplification needs much lower noise intensities than for conventional Stochastic Resonance in excitable systems. I study frequency selectivity in noise-induced subthreshold signal processing in a system with many noise-supported stochastic attractors. I show that the response of the coupled elements at different noise levels can be significantly enhanced or reduced by forcing some elements into resonance with these new frequencies which correspond to appropriate phase-relations. A noise-induced phase transition to excitability is reported in oscillatory media with FitzHugh-Nagumo dynamics. This transition takes place via noise-induced stabilization of a deterministically unstable fixed point of the local dynamics, while the overall phase-space structure of the system is maintained. The joint action of coupling and noise leads to a different type of phase transition and results in a stabilization of the system. The resulting noise-induced regime is shown to display properties characteristic of excitable media, such as Stochastic Resonance and wave propagation. This effect thus allows the transmission of signals through an otherwise globally oscillating medium. In particular, these theoretical findings suggest a possible mechanism for suppressing undesirable global oscillations in neural networks (which are usually characteristic of abnormal medical conditions such as Parkinson&prime;s disease or epilepsy), using the action of noise to restore excitability, which is the normal state of neuronal ensembles.

В работе рассматриваются двумерная популяционная модель типа «хищник–жертва» с учетом конкуренции жертв и конкуренции хищников за отличные от жертв ресурсы, а также трехмерная популяционная модель типа «хищник–две жертвы» с учетом внутривидовой и межвидовой конкуренции жертв и конкуренции хищников за отличные от жертв ресурсы. Проводится анализ существования и устойчивости аттракторов моделей, строятся бифуркационные диаграммы и типичные фазовые портреты. Для стохастических моделей проводится анализ чувствительности аттракторов на основе теории функции стохастической чувствительности. С использованием аппарата доверительных областей: эллипсов и эллипсоидов для равновесий, а также полос и торов – для циклов, изучаются стохастические феномены: переходы между аттракторами, генерация большеамлитудных колебаний, вымирание популяций. Изучаются вероятностные механизмы вымирания популяций. / The thesis considers a two-dimensional population model of the «predator–prey» type, taking into account the competition of preys and competition of predators for resources different from the preys, and also a three-dimensional population model of the «predator–two preys» type, with intraspecific and interspecific competition of preys and competition predators for resources other than preys. An analysis is made of the existence and stability of attractors. Bifurcation diagrams and typical phase portraits are constructed. For stochastic models, an analysis of the sensitivity of attractors is carried out based on stochastic sensitivity function teqnique. Using the confidence domain method: ellipses or ellipsoids for equilibria and bands or tor for cycles, following stochastic phenomena are studied: transitions between attractors, the generation of large amplitude oscillation and the extinction of populations. The probabilistic mechanisms of extinction of populations are studied.

Работа содержит исследования трех моделей живых систем с дискретным временем. В первой главе рассматривается одномерная модель нейронной активности, задаваемая кусочно-гладким отображением. Показывается, что в случае одномерного отображения наличие случайного возмущения приводит к появлению всплесков (спайкингу). Исследуются два механизма генерации спайков, вызванных добавлением случайного возмущения в один из параметров. Иллюстрируется, что сосуществование двух аттракторов является не единственной причиной возникновения спайкинга. Для прогнозирования уровня интенсивности шума, необходимого для генерации спайков, применяется метод доверительных областей, который основан на функции стохастической чувствительности. Также находятся основные характеристики межспайковых интервалов в зависимости от интенсивности шума. Вторая глава работы посвящена применению метода функции стохастической чувствительности к аттракторам кусочно-гладкого одномерного отображения, описывающего динамику численности популяции. Первым этапом исследования является параметрический анализ возможных режимов детерминированной модели: определение зон существования устойчивых равновесий и хаотических аттракторов. Для определения параметрических границ хаотического аттрактора применяется теория критических точек. В случае, когда на систему оказывает влияние случайное воздействие, на основе техники функции стохастической чувствительности дается описание разброса случайных состояний вокруг равновесия и хаотического аттрактора. Проводится сравнительный анализ влияния параметрического и аддитивного шума на аттракторы системы. С помощью техники доверительных интервалов изучаются вероятностные механизмы вымирания популяции под действием шума. Анализируются изменения параметрических границ существования популяции под действием случайного возмущения. В третьей главе проводится анализ возможных динамических режимов детерминированной и стохастической модели Лотки-Вольтерры. В зависимости от двух параметров системы строится карта режимов. Изучаются параметрические зоны существования устойчивых равновесий, циклов, замкнутых инвариантных кривых, а также хаотических аттракторов. Описываются бифуркации удвоения периода, Неймарка--Саккера и кризиса. Демонстрируется сложная форма бассейнов притяжения. Помимо детерминированной системы подробно изучается стохастическая, описывающая влияние внешнего случайного воздействия. В случае хаоса дан алгоритм нахождения критических линий, описывающих границу хаотического аттрактора. Опираясь на найденную чувствительность аттракторов, строятся доверительные полосы и эллипсы, позволяющие описать разброс случайных состояний вокруг детерминированного аттрактора. / The work contains study of three models of biological systems with discrete time. In the first chapter a one-dimensional model of neural activity defined by a piecewise-smooth map is considered. It is shown that in the case of a one-dimensional model, the presence of a random disturbance leads to a spike generation. Two mechanisms of spike generation caused by the presence of a random disturbance in one of the parameters are investigated. It is illustrated that the coexistence of two attractors is not the only reason of spiking. To predict the level of noise intensity needed to generate spikes, the confidence-domain method is used, which is based on the stochastic sensitivity function. The main characteristics of interspike intervals depending on the intensity of the noise are also described. The second chapter is devoted to the application of the method of the stochastic sensitivity function to attractors of a piecewise-smooth one-dimensional map, which describes the population dynamics. The first stage of the study is a parametric analysis of the possible regimes of the deterministic model: determining the zones of existence of stable equilibria and chaotic attractors. The theory of critical points is used to determine the parametric boundaries of a chaotic attractor. In the case where the system is affected by a random noise, based on the stochastic sensitivity function, a description of the spread of random states around equilibrium and a chaotic attractor is given. A comparative analysis of the influence of parametric and additive noise on the attractors is carried out. Using the technique of confidence intervals, the probabilistic mechanisms of extinction of a population under the influence of noise are studied. Changes in the parametric boundaries of the existence of population under the influence of random disturbance are analyzed. In the third chapter the possible dynamic modes of the Lotka-Volterra model in determi\-nistic and stochastic cases are analyzed. Depending on the two parameters of the system, bifurcation diagram is constructed. Parametric zones of the existence of stable equilibria, cycles, closed invariant curves, and also chaotic attractors are studied. The bifurcations of the period doubling, Neimark--Sacker and the crisis are described. The complex shape of the basins of attraction is demonstrated. In addition to the deterministic system, the stochastic system is studied in detail, which describes the influence of external random disturbance. In the case of chaos, an algorithm for finding critical lines describing the boundary of a chaotic attractor is given. Based on the stochastic sensitivity function, confidence bands and ellipses are constructed to describe the spread of random states around a deterministic attractor.

В работе рассматривается n-мерная дискретная модель, которая описывает динамику взаимодействия n потребителей. В рамках детерминированного анализа были построены карты режимов и бифуркационные диаграммы, описаны бифуркационные сценарии. Были обнаружены и описаны зоны мультистабильности системы, построены бассейны притяжения аттракторов. Далее в работе рассматривается стохастический вариант модели. Было изучено воздействие на систему аддитивного и параметрического шумов. С помощью функции стохастической чувствительности был проведен сравнительный анализ чувствительности равновесий и циклов. Опираясь на метод доверительных областей получены значения интенсивности шума, при которых наблюдаются индуцированные шумом явления. / The paper considers n-dimensional discrete model that describes the interaction dynamics of n consumers. As a part of the deterministic analysis, 2- and 1- parameter bifurcation diagrams were plotted, bifurcation scenarios were described. Multistability zones of the system were found and investigated, basins of attraction were plotted. Then, a stochastic version of the model is studied. The effect of additive and parametric noise on the system was described. Using the stochastic sensitivity function, a comparative analysis of the sensitivity of equilibria and cycles was carried out. Based on the method of confidence domains, the values of noise intensity, at which noise-induced phenomena can be observed, are obtained.