Les travaux menés dans cette thèse sont en lien avec les inégalités fonctionnelles et géométriques, dans le cadre continu et discret. En particulier, nous exploitons le principe de monotonie le long du flot de la chaleur, dont les conséquences ont été nombreuses en analyse, géométrie et probabilité depuis les travaux fondateurs de Bakry et Émery. Plus récemment, ce principe a été utilisé pour répondre à des questions d'informatiques théoriques via l'analyse des fonctions booléennes. Dans une première partie, nous présentons diverses inégalités à intégrales multiples et inégalités de type géométriques obtenues par monotonie le long du semi-groupe de la chaleur. Nous caractérisons, par la plupart d'entre elles, les cas d'égalités et mettons en évidence des phénomènes de rigidité dans le cas de variétés riemanniennes. En particulier nous étudions la rigidité pour le théorème de comparaison isopérimétrique de Bakry-Ledoux en utilisant leur preuve par flot de la chaleur. Cette preuve a été exploitée par Mossel et Neeman pour obtenir un résultat de stabilité robuste dans le cas gaussien. Nous reprenons cette preuve et nous la simplifions, en particulier en éliminant la plupart des arguments spécifiques au cas gaussien. Cela laisse espoir d'obtenir une version quantitative pour des mesures log-concaves plus générales ou sur les sphères euclidiennes de grandes dimensions. La deuxième partie est consacrée à l'analyse des fonctions booléennes. Le résultat principal de cette partie est l'extension d'un critère dû à Benjamini, Kalai et Schramm liant sensibilité au bruit et influences d'une fonction booléenne. Ce critère a été récemment étendu sur l'espace gaussien à travers le concept d'influences géométriques. En particulier, nous donnons une nouvelle preuve quantitative de ce résultat, basée sur des arguments de semi-groupes. Le résultat ainsi obtenu s'étend à des modèles de graphes de Schreier plus généraux que le cube ainsi qu'à des modèles continus autre que l'espace gaussien. En particulier, la version quantitative sur les tranches du cube booléen a des conséquences en théorie de la percolation. Dans une dernier chapitre, nous mettons en lien ce critère quantitatif pour donner une généralisation à des graphes produits du théorème "Junta" de Friedgut. / The general topic of this Ph.D thesis is functional and geometrical inequalities, in both continuous and discrete setting. In particular, we make use of the monotone property along the heat flow, which had led to important developments in analysis, geometry and probability since the pioneer work of Bakry and Émery. More recently, this principle has been used in the analysis of Boolean functions in view of application in theoretical computer science. In the first part, we present some multiple integrals inequalities and geometric type inequalities obtained by monotonicity along the heat flow. We characterize, for most of them, equality cases and we put forward rigidity phenomenon in the setting of Riemannian manifolds. In particular, we study rigidity for the Bakry-Ledoux isoperimetric comparison theorem using their semigroup proof. This proof has been exploited by Mossel and Neeman to derive robust dimension free bounds for the Gaussian isoperimetry. We simplify their proof an in particular remove most of Gaussian-specific parts. This gives hope to derive robust estimates to more general log-concave measures or on high dimensional Euclidean spheres. The second part is devoted to analysis of Boolean functions. The principal contribution in this field is the extension of a criterion of Benjamini, Kalai and Schramm linking noise sensitivity and influences of a Boolean function. Such a criterion has been extended recently in continuous setting via the concept of geometric influence. We give a new, semigroup, proof of a quantitative version of it previously established in the discrete cube and in the Gaussian space. This quantitative version generalizes both to various models of Schreier graphs and more general continuous spaces. In particular, the quantitative version over the slices of the Boolean cube has consequences in percolation theory. In the last chapter, we link this quantitative criterion with a generalization over graph products of the "Junta" theorem of Friedgut.

<p>Дисертација истражује најприхватљивије методе мерења стабилности фреквенције у<br />фреквенцијском домену, односно мерење вредности величине &bdquo;фазни шум&ldquo;, приликом<br />процеса еталонирања мерне опреме. Када се говори о мерној опреми која је предмет<br />еталонирања, дисертација је, пре свега, окренута ка еталонирању врхунских<br />комерцијалних стандарда (еталона) фреквенције. Приказана истраживања су била основ<br />за покретање и реализацију истраживачко-развојног пројекта у оквиру Министарства<br />одбране, који је имао за циљ оспособљавање метролошке лабораторије Техничког<br />опитног центра Војске Србије за потпуно еталонирање мерне опреме из области<br />времена и фреквенције. Различите методе мерења подразумевају и различите мерне<br />могућности, као и врло широк спектар еталонске и мерне опреме која се користи при<br />њиховој реализацији. У дисертацији се приказују различити начини мерења фазног шума<br />и описују методе реализоване на основу доступне мерне опреме. Како се ради о<br />методама упоредне анализе референтног и мереног сигнала, посебно критична позиција<br />је одабир референце, односно референтног еталона. Истраживање је довело до<br />закључака којима је предложен метод мерења потребне и довољне мерне несигурности<br />као и начин реализације изабране методе, односно одабир еталонске мерне опреме. У<br />циљу увођења мерне методе у употребу, извршена су и приказана мерења на<br />различитим типовима и врстама мерне опреме. Валидација методе је остварена<br />билатералним поређењем са Дирекцијом за мере и драгоцене метале, Група за време,<br />фреквенцију и дистрибуцију времена. Да је могуће реализовати методу мерења фазног<br />шума приликом еталонирања најквалитетнијих осцилатора је постављена хипотеза<br />дисертације, која је истраживањем доказана и практично спроведена. Крајњи резултат<br />истраживања је довео до увођења признате методе еталонирања фазног шума, први пут</p> / <p>Disertacija istražuje najprihvatljivije metode merenja stabilnosti frekvencije u<br />frekvencijskom domenu, odnosno merenje vrednosti veličine &bdquo;fazni šum&ldquo;, prilikom<br />procesa etaloniranja merne opreme. Kada se govori o mernoj opremi koja je predmet<br />etaloniranja, disertacija je, pre svega, okrenuta ka etaloniranju vrhunskih<br />komercijalnih standarda (etalona) frekvencije. Prikazana istraživanja su bila osnov<br />za pokretanje i realizaciju istraživačko-razvojnog projekta u okviru Ministarstva<br />odbrane, koji je imao za cilj osposobljavanje metrološke laboratorije Tehničkog<br />opitnog centra Vojske Srbije za potpuno etaloniranje merne opreme iz oblasti<br />vremena i frekvencije. Različite metode merenja podrazumevaju i različite merne<br />mogućnosti, kao i vrlo širok spektar etalonske i merne opreme koja se koristi pri<br />njihovoj realizaciji. U disertaciji se prikazuju različiti načini merenja faznog šuma<br />i opisuju metode realizovane na osnovu dostupne merne opreme. Kako se radi o<br />metodama uporedne analize referentnog i merenog signala, posebno kritična pozicija<br />je odabir reference, odnosno referentnog etalona. Istraživanje je dovelo do<br />zaključaka kojima je predložen metod merenja potrebne i dovoljne merne nesigurnosti<br />kao i način realizacije izabrane metode, odnosno odabir etalonske merne opreme. U<br />cilju uvođenja merne metode u upotrebu, izvršena su i prikazana merenja na<br />različitim tipovima i vrstama merne opreme. Validacija metode je ostvarena<br />bilateralnim poređenjem sa Direkcijom za mere i dragocene metale, Grupa za vreme,<br />frekvenciju i distribuciju vremena. Da je moguće realizovati metodu merenja faznog<br />šuma prilikom etaloniranja najkvalitetnijih oscilatora je postavljena hipoteza<br />disertacije, koja je istraživanjem dokazana i praktično sprovedena. Krajnji rezultat<br />istraživanja je doveo do uvođenja priznate metode etaloniranja faznog šuma, prvi put</p> / <p>The dissertation examines the most acceptable methods for measuring the frequency stability<br />in the frequency domain, that is, measuring the value of the &quot;phase noise&quot;, during the process<br />of measuring equipment calibration. When it comes to measuring equipment as a subject of<br />calibration, the dissertation is, first of all, oriented towards the calibration of the highest<br />commercial frequency standards. The presented researches were the basis for initiation and<br />realization of the research and development project within the Ministry of Defense, which was<br />aimed at training the metrology laboratory of the Technical Test Center of the Serbian Army<br />for complete calibration of measuring equipment in the area of time and frequency. Different<br />measurement methods also involve different measurement possibilities, as well as a very wide<br />range of calibration and measuring equipment used in their realization. Different methods of<br />measuring phase noise are described in the dissertation and they describe realized methods<br />based on available measuring equipment. As for methods of comparative analysis of the<br />reference and measured signal, a particularly critical position is the selection of the reference,<br />that is, the reference oscillator. The research led to conclusions suggesting the method of<br />measuring the necessary and sufficient measurement uncertainty, as well as the method of<br />realization of the chosen method, i.e. selection of the standard measuring equipment. In order<br />to put the measurement method into practice, measurements were performed on different<br />types of measuring equipment. Validation of the method was achieved by bilateral<br />comparison with the Directorate of Measures and Precious Metals, Group for time, frequency<br />and time dissemination. The possibility to realize the method of phase noise measurement<br />during the calibration of the highest quality oscillators is a hypothesis of the dissertation that<br />has been set up, and has been proven and practically carried out by the research. The final<br />result of the research led to the introduction of a recognized calibration method of the phase<br />noise, for the first time in the Republic of Serbia.</p>