Cette thèse étudie quelques problèmes d’analyse harmonique sur les groupes quantiques compacts. Elle consiste en trois parties. La première partie présente la théorie Lp élémentaire des transformées de Fourier, les convolutions et les multiplicateurs sur les groupes quantiques compacts, y compris la théorie de Hausdorff-Young et les inégalités de Young.Dans la seconde partie, nous caractérisons les opérateurs de convolution positifs sur un groupe quantique fini qui envoient Lp dans L2, et donnons aussi quelques constructions sur les groupes quantiques compacts infinis. La méthode pour étudier les états non-dégénérés fournit une formule générale pour calculer les états idempotents associés aux images deHopf, qui généralise un travail de Banica, Franz et Skalski. La troisième partie est consacrée à l’étude des ensembles de Sidon, des ensembles _(p) et des notions associées pour les groupes quantiques compacts. Nous établissons différentes caractérisations des ensembles de Sidon, et en particulier nous démontrons que tout ensemble de Sidon est un ensemble de Sidon fort au sens de Picardello. Nous donnons quelques liens entre les ensembles de Sidon, les ensembles _(p) et les lacunarités pour les multiplicateurs de Fourier sur Lp, généralisant un travail de Blendek et Michali˘cek. Nous démontrons aussi l’existence des ensembles de type _(p) pour les systèmes orthogonaux dans les espaces Lp non commutatifs, et déduisons les propriétés correspondantes pour les groupes quantiques compacts. Nous considérons aussi les ensembles de Sidon centraux, et nous prouvons que les groupes quantiques compacts ayant les mêmes règles de fusion et les mêmes fonctions de dimension ont des ensemble de Sidon centraux identiques. Quelques exemples sont aussi étudiés dans cette thèse. Les travaux présentés dans cette thèse se basent sur deux articles de l’auteur. Le premier s’intitule “Lp-improving convolution operators on finite quantum groups” et a été accepté pour publication dans Indiana University Mathematics Journal, et le deuxième est un travail intitulé “Lacunary Fourier series for compact quantum groups” et a été publié en ligne dans Communications in Mathematical Physics. / This thesis studies some problems in the theory of harmonic analysis on compact quantum groups. It consists of three parts. The first part presents some elementary Lp theory of Fourier transforms, convolutions and multipliers on compact quantum groups, including the Hausdorff-Young theory and Young’s inequalities. In the second part, we characterize positive convolution operators on a finite quantum group G which are Lp-improving, and also give some constructions on infinite compact quantum groups. The methods for ondegeneratestates yield a general formula for computing idempotent states associated to Hopf images, which generalizes earlier work of Banica, Franz and Skalski. The third part is devoted to the study of Sidon sets, _(p)-sets and some related notions for compact quantum groups. We establish several different characterizations of Sidon sets, and in particular prove that any Sidon set in a discrete group is a strong Sidon set in the sense of Picardello. We give several relations between Sidon sets, _(p)-sets and lacunarities for Lp-Fourier multipliers, generalizing a previous work by Blendek and Michali˘cek. We also prove the existence of _(p)-sets for orthogonal systems in noncommutative Lp-spaces, and deduce the corresponding properties for compact quantum groups. Central Sidon sets are also discussed, and it turns out that the compact quantum groups with the same fusion rules and the same dimension functions have identical central Sidon sets. Several examples are also included. The thesis is principally based on two works by the author, entitled “Lp-improvingconvolution operators on finite quantum groups” and “Lacunary Fourier series for compact quantum groups”, which have been accepted for publication in Indiana University Mathematics Journal and Communications in Mathematical Physics respectively.

Cette thèse présente quelques résultats de la théorie des probabilités quantiques et de l’analyse harmonique à valeurs operateurs. La thèse est composée des trois parties.Dans la première partie, on démontre la décomposition atomique des espaces de Hardy de martingales non commutatives. On identifie aussi les interpolés complexes et réels entre les versions conditionnelles des espaces de Hardy et BMO de martingales non commutatives.La seconde partie est consacrée à l’étude des espaces de Hardy à valeurs opérateursvia la méthode d’ondellettes. Cette approche est similaire à celle du cas des martingales non commutatives. On démontre que ces espaces de Hardy sont équivalents à ceux étudiés par Tao Mei. Par conséquent, on donne une base explicite complètement inconditionnelle pour l’espace de Hardy H1(R), muni d’une structure d’espace d’opérateurs naturelle. La troisième partie porte sur l’analyse harmonique sur le tore quantique. On établit les inégalités maximales pour diverses moyennes de sommation des séries de Fourier définies sur le tore quantique et obtient les théorèmes de convergence ponctuelle correspondant. En particulier, on obtient un analogue non commutative du théorème classique de Stein sur les moyennes de Bochner-Riesz. Ensuite, on démontre que les multiplicateurs de Fourier complètement bornés sur le tore quantique coïncident à ceux définis sur le tore classique. Finalement, on présente la théorie des espaces de Hardy et montre que ces espaces possèdent les propriétés des espaces de Hardy usuels. En particulier, on établit la dualité entre H1 et BMO. / This thesis presents some results in quantum probability and operator-valued harmonicanalysis. The main results obtained in the thesis are contained in the following three parts:In first part, we prove the atomic decomposition for the Hardy spaces h1 and H1 of noncommutative martingales. We also establish that interpolation results on the conditionedHardy spaces of noncommutative martingales. The second part is devoted to studying operator-valued Hardy spaces via Meyer’s wavelet method. It turns out that this way of approaching these spaces is parallel to that in the noncommutative martingale case. We also show that these Hardy spaces coincide with those introduced and studied by Tao Mei in [52]. As a consequence, we give an explicit completely unconditional base for Hardy spaces H1(R) equipped with a natural operator space structure. The third part deals with with harmonic analysis on quantum tori. We first establish the maximal inequalities for several means of Fourier series defined on quantum tori and obtain the corresponding pointwise convergence theorems. In particular, we prove the noncommutative analogue of the classical Stein theorem on Bochner-Riesz means. Then we prove that Lp completely bounded Fourier multipliers on quantum tori coincide with those on classical tori with equal cb-norms. Finally, we present the H1-BMO and Littlewood- Paley theories associated with the circular Poisson semigroup over quantum tori.

Quelques problèmes en analyse harmonique non commutative / Some problems on noncommutative harmonique analysis