This work is dedicated to the theoretical and numerical study of nonlinear phononic crystals. The studied nonlinearities are those due to the second (quadratic) and third (cubic) order elastic constants of the materials that constitute the crystals. Nonlinear effects are studied by the means of finite element methods, used to simulate the propagation of an elastic wave through the crystals. A first research project concerns the study of a bone structure, namely the dispersion of elastic waves in a structure composed of collagen and hydroxy apatite alternate constituent layers. Simulations showed that it exists a strong link between bones hydration and their ability to dissipate the energy. The second study relates to an elastic resonator. A structure composed of steel inclusions in a silica matrix shows a switch behavior when the cubic nonlinearities of steel are taken into account. This strong nonlinear effect appears when the amplitude of the incident wave reaches a threshold. A full analytical model is provided. The last study demonstrates the design of composite materials with both strong cubic nonlinearities and weak quadratic nonlinearities. The derivation of the mixing laws of the elastic parameters of a nonlinear material inside a linear one is performed up to order three. Equations show a strong amplification of the nonlinear parameters of the material for some concentrations. Numerical simulations allow to conclude that the above mentioned resonator can be produced. For this thesis, an innovative tool based on the Discontinuous Galerkin (DG) finite element method is developed for the simulation of elastic wave propagation, in linear and nonlinear systems and in finite and semi-infinite media. The implementation of this DG code for 2D and 3D simulations benefits from the efficient exploitation of modern computer infrastructure (GPU units, clusters) using the property of massive parallelization of DG algorithms. This thesis is part of a joint agreement for an international Ph.D. degree between École Centrale de Lille and the Materials Science and Engineering department of the University of Arizona at Tucson. Ce travail porte sur l'étude théorique et numérique des cristaux phononiques non-linéaires. Les non-linéarités étudiées sont celles dues aux constantes élastiques d'ordre deux (quadratiques) et trois (cubiques) des matériaux constituant les cristaux. Les effets non-linéaires sont étudiés grâce á des méthodes d'éléments finis en simulant la propagation d'une onde élastique á travers les cristaux. Un premier projet de recherche a porté sur l'étude d'une structure osseuse, et plus spécifiquement sur la dispersion des ondes élastiques dans une structure constituée d'une alternance de couches de collagène et d'hydroxy apatite. Les simulations montrent qu'il existe un lien étroit entre l'hydratation des os et leur capacité à dissiper l'énergie. La seconde étude réalisée concerne un résonateur élastique. Une structure constituée d'inclusions d'acier dans de la silice présente un comportement de commutateur (switch) lorsque les non-linéarités cubiques de l'acier sont prises en compte. Cet effet fortement non-linéaire apparaît lorsque l'amplitude de l'onde incidente dépasse un certain seuil. Un modèle analytique complet est fourni. La dernière étude réalisée montre la conception de matériaux composites possédant de fortes non-linéarités cubiques mais de faibles non-linéarités quadratiques. La dérivation des lois de mélange des paramètres élastiques d'un matériau non-linéaire dans un matériau linéaire est effectuée à l'ordre trois. Les équations montrent une forte amplification des paramètres non-linéaires du matériau résultant pour certaines concentrations. Les simulations permettent de conclure que le résonateur mentionné ci-dessus peut effectivement étre réalisé. Pour cette thèse, un outil numérique innovant basé sur la méthode des éléments finis de type Galerkin Discontinu (DG) est développé pour la simulation de la propagation d'ondes élastiques, dans des systèmes linéaires et non-linéaires et dans des milieux finis et semi-infinis. L'implémentation de ce code DG pour des simulations 2D et 3D tire parti des infrastructures de calcul actuelles (processeurs graphiques, clusters) grâce à la propriété de parallélisation massive des algorithmes DG. Cette thèse s'est déroulée dans le cadre d'une cotutelle entre l'École Centrale de Lille et le département de Science et ingénierie des matériaux de l'Université d'Arizona, à Tucson.

Les phénomènes de contact entre les corps, déformables ou non, sont omniprésents dans la vie courante. Leurs modélisations requièrent des outils mathématiques faisant appel à des systèmes d'équations aux dérivées partielles incluant des conditions aux limites non triviales pour décrire le contact. Si les aspects physiques de la mécanique du contact sont connus depuis longtemps, la théorie mathématique qui lui est dédiée reste relativement récente laissant ainsi place à de nombreux problèmes à investiguer. Ce travail porte sur la modélisation, l'analyse et la simulation numérique de tels problèmes. Il se situe à mi-chemin entre la mécanique du contact et les aspects mathématiques inhérents au type de problème qui en découle. L'objectif est ici d'étudier certaines catégories de problèmes faisant intervenir des conditions originales de contact (avec et sans frottement) à la fois d'un point de vue mathématique et numérique, afin d'apporter une contribution à la théorie mathématique, puis de mettre en avant quelques méthodes numériques adaptées à leur résolution dans un cadre spécifique. / Contact phenomena between bodies, whether they are deformable or not, abound in everyday life. Their modellings require mathematical tools using systems of partial differential equations and involving complex boundary conditions, in order to describe the contact. While the physical aspects of such phenomena have been known for a long time, the mathematical theory remains relatively recent which leaves room for numerous problems. This work focuses on the modelling, the analysis and the numerical simulations of such problems. It is located halfway between contact mechanics and the mathematical aspects inherent to the mechanical questions involved. Our aim is to study several groups of problems that include original contact conditions (with or without friction), both from a mathematical and numerical point of view, in order to contribute to the theory, and also to highlight several numerical methods used to solve specific contact problems.

Ce travail porte sur l'étude théorique et numérique des cristaux phononiques non linéaires. Les non linéarités étudiées sont celles dues aux constantes élastiques d'ordre deux (quadratiques) et trois (cubiques) des matériaux constituant les cristaux. Les effets non linéaires sont étudiés grâce à des méthodes d'éléments finis en simulant la propagation d'une onde élastique à travers les cristaux.Un premier projet de recherche a porté sur l'étude d'une structure osseuse, et plus spécifiquement sur la dispersion des ondes élastiques dans une structure constituée d'une alternance de couches de collagène et d'hydroxy apatite. Les simulations montrent qu'il existe un lien étroit entre l'hydratation des os et leur capacité à dissiper l'énergie.La seconde étude réalisée concerne un résonateur élastique. Une structure constituée d'inclusions d'acier dans de la silice présente un comportement de commutateur lorsque les non linéarités cubiques de l'acier sont prises en compte. Cet effet fortement non linéaire apparaît lorsque l'amplitude de l'onde incidente dépasse un certain seuil. Un modèle analytique complet est fourni.La dernière étude réalisée montre la conception de matériaux composites possédant de fortes non linéarités cubiques mais de faibles non linéarités quadratiques. La dérivation des lois de mélange des paramètres élastiques d'un matériau non linéaire dans un matériau linéaire est effectuée à l'ordre trois. Les équations montrent une forte amplification des paramètres non linéaires du matériau résultant pour certaines concentrations. Les simulations permettent de conclure que le résonateur mentionné ci-dessus peut effectivement être réalisé. / This work is dedicated to the theoretical and numerical study of nonlinear phononic crystals. The studied nonlinearities are those due to the second (quadratic) and third (cubic) order elastic constants of the materials that constitute the crystals. Nonlinear effects are studied by the means of finite element methods, used to simulate the propagation of an elastic wave through the crystals.A first research project concerns the study of a bone structure, namely the dispersion of elastic waves in a structure composed of collagen and hydroxy apatite alternate constituent layers. Simulations showed that it exists a strong link between bones hydration and their ability to dissipate the energy.The second study relates to an elastic resonator. A structure composed of steel inclusions in a silica matrix shows a switch behavior when the cubic nonlinearities of steel are taken into account. This strong nonlinear effect appears when the amplitude of the incident wave reaches a threshold. A full analytical model is provided.The last study demonstrates the design of composite materials with both strong cubic nonlinearities and weak quadratic nonlinearities. The derivation of the mixing laws of the elastic parameters of a nonlinear material inside a linear one is performed up to order three. Equations show a strong amplification of the nonlinear parameters of the material for some concentrations. Numerical simulations allow to conclude that the above mentioned resonator can be produced.