In this dissertation we study the Lyapunov diagonal stability and its extensions through partitions of the index set {1,...,n}. This type of matrix stability plays an important role in various applied areas such as population dynamics, systems theory and complex networks. We first examine a result of Redheffer that reduces Lyapunov diagonal stability of a matrix to common diagonal Lyapunov solutions on two matrices of order one less. An enhanced statement of this result based on the Schur complement formulation is presented here along with a shorter and purely matrix-theoretic proof. We develop a number of extensions to this result, and formulate the range of feasible common diagonal Lyapunov solutions. In particular, we derive explicit algebraic conditions for a set of 2 x 2 matrices to share a common diagonal Lyapunov solution. In addition, we provide an affirmative answer to an open problem concerning two different necessary and sufficient conditions, due to Oleng, Narendra, and Shorten, for a pair of 2 x 2 matrices to share a common diagonal Lyapunov solution. Furthermore, the connection between Lyapunov diagonal stability and the P-matrix property under certain Hadamard multiplication is extended. Accordingly, we present a new characterization involving Hadamard multiplications for simultaneous Lyapunov diagonal stability on a set of matrices. In particular, the common diagonal Lyapunov solution problem is reduced to a more convenient determinantal condition. This development is based upon a new concept called P-sets and a recent result regarding simultaneous Lyapunov diagonal stability by Berman, Goldberg, and Shorten. Next, we consider various types of matrix stability involving a partition alpha of {1,..., n}. We introduce the notions of additive H(alpha)-stability and P_0(alpha)-matrices, extending those of additive D-stability and nonsingular P_0-matrices. Several new results are developed, connecting additive H(alpha)-stability and the P_0(alpha)-matrix property to the existing results on matrix stability involving alpha. We also point out some differences between these types of matrix stability and the conventional matrix stability. Besides, the extensions of results related to Lyapunov diagonal stability, D-stability, and additive D-stability are discussed. Finally, we introduce the notion of common alpha-scalar diagonal Lyapunov solutions over a set of matrices, which is a generalization of common diagonal Lyapunov solutions. We present two different characterizations of this new concept based on the well-known results for Lyapunov alpha-scalar stability [34]. The first one hinges on a general version of the theorem of the alternative, and the second one using Hadamard multiplications stems from an extension of the P-set property. Several illustrative examples and an application concerning a set of block upper triangular matrices are provided.

O principal objetivo deste estudo foi investigar os processos responsáveis pela evolução morfológica craniana de primatas da subordem Strepsirrhini, com maior ênfase ao clado endêmico à ilha de Madagascar. Sistemas multidimensionais morfológicos como o crânio descrevem a quantidade de variação disponível para atuação de processos evolutivos. A partir de 27 marcos anatômicos cranianos e 39 distâncias euclidianas estimei matrizes de variância e covariância fenotípicas (Matrizes P) para 40 espécies das sete famílias viventes de Strepsirrhini e duas espécies do gênero Tarsius. Utilizei a abordagem da genética quantitativa para investigar o padrão de variação nas matrizes P dessa linhagem de primatas, conjuntamente com um par de matrizes fenotípica e genética de Saguinus fuscicolis. Para investigar a estabilidade e conservção do padrão da estrutura de variação ao longo da diversidade deste clado de primatas compararei estas matrizes através de dois métodos complementares que me permitiram avaliar a distribuição da variação no morfoespaço (Random Skewers) e o compartilhamento de direções de variação (Krzanowski) das matrizes. Os resultados obtidos sugerem uma estabilidade das matrizes, possivelmente mantida por seleção estabilizadora interna comum ao clado, aos demais primatas e mamíferos em geral. Esses resultados de comparação de matrizes são apresentados no Capítulo 1 e corroboram a conjectura de Cheverud, indicando que as matrizes cumprem o pressuposto de similaridade estrutural entre as matrizes P e a matriz G. Além disso o padrão de variação apresentou um sinal filogenético e algumas das diferenças observadas nas matrizes parecem estar relacionadas com fatores de dieta. No Capítulo 2 investiguei a evolução da divergência morfológica craniana em um conjunto de 70 espécies, onde testei a hipótese nula de deriva genética como explicação suficiente para a divergencia entre as médias das espécies. Esta hipótese foi avaliada dentro das expectativas de modelos da genética quantitativa através de duas metodologias. Tais testes avaliam a proporcionalidade de variação dentro (W) e entre grupos (B) sob perspectivas complementares. Com o teste de regressão investiguei a manutenção da quantidade de variação associada a cada eixo de variação, e com o teste de correlação avaliei o alinhamento entre estes eixos. Rejeitamos a H_0 em diversos pontos da árvore que representam eventos de cladogenese a nível de família e gênero. Nestes casos aceitamos a H_1 de seleção natural e vemos que a maior parte da diversificação da linhagem de primatas de Madagascar foi influenciada por seleção direcional envolvendo tamanho e alterações anatômicas relacionadas a dieta / The main goal of this study was to investigate the evolutionary processes responsible for Strepsirrhini cranial morphological evolution. Multidimensional morphological structures like the cranium can describe the amount of variance available to evolution. We used 27 landmarks and 39 euclidean distances between them to describe the variation in the cranium. We used a broad phylogenetic scaled comparison of cranial P matrices representing 40 species of Strepsirrhini primates combined to a pair of Saguinus fuscicolis G and P to investigate the stability of variance structure along this lineage. Our results show a relative stability in the patterns of variance and covariance of the clade and that P matrices can be considered as surrogates to its underling G. We also report a high association between matrix similarity and phylogenetic distance. We investigated particular contributions of each trait to matrix dissimilarity through a evolutionary perspective considering the main dietary shifts observed in the clade. Our results suggest that differences in observed patterns of variation can be attributed to characters with heterogeneity in the degree of stabilizing selection in the adult cranium and to differences in directional selection involved in chewing of specialized feeding behavior. Under the quantitative genetics theory lies an expectation for the evolution of average phenotypes that if populations have diverged by random processes, patterns of within and between-taxon morphological variation should be proportional. In chapter 2 we tested the null hypothesis that genetic drift is a sufficient explanation to observed divergence in cranial multivariate means of 70 Strepsirrhini primates. We detected deviations from neutrality along the whole clade of Strepsirrhini and specially in more inclusive nodes. We argue that this deviations reflect important historical shifts in the evolution of the clade associated with directional selection for size and in anatomical features related with diet

O principal objetivo deste estudo foi investigar os processos responsáveis pela evolução morfológica craniana de primatas da subordem Strepsirrhini, com maior ênfase ao clado endêmico à ilha de Madagascar. Sistemas multidimensionais morfológicos como o crânio descrevem a quantidade de variação disponível para atuação de processos evolutivos. A partir de 27 marcos anatômicos cranianos e 39 distâncias euclidianas estimei matrizes de variância e covariância fenotípicas (Matrizes P) para 40 espécies das sete famílias viventes de Strepsirrhini e duas espécies do gênero Tarsius. Utilizei a abordagem da genética quantitativa para investigar o padrão de variação nas matrizes P dessa linhagem de primatas, conjuntamente com um par de matrizes fenotípica e genética de Saguinus fuscicolis. Para investigar a estabilidade e conservção do padrão da estrutura de variação ao longo da diversidade deste clado de primatas compararei estas matrizes através de dois métodos complementares que me permitiram avaliar a distribuição da variação no morfoespaço (Random Skewers) e o compartilhamento de direções de variação (Krzanowski) das matrizes. Os resultados obtidos sugerem uma estabilidade das matrizes, possivelmente mantida por seleção estabilizadora interna comum ao clado, aos demais primatas e mamíferos em geral. Esses resultados de comparação de matrizes são apresentados no Capítulo 1 e corroboram a conjectura de Cheverud, indicando que as matrizes cumprem o pressuposto de similaridade estrutural entre as matrizes P e a matriz G. Além disso o padrão de variação apresentou um sinal filogenético e algumas das diferenças observadas nas matrizes parecem estar relacionadas com fatores de dieta. No Capítulo 2 investiguei a evolução da divergência morfológica craniana em um conjunto de 70 espécies, onde testei a hipótese nula de deriva genética como explicação suficiente para a divergencia entre as médias das espécies. Esta hipótese foi avaliada dentro das expectativas de modelos da genética quantitativa através de duas metodologias. Tais testes avaliam a proporcionalidade de variação dentro (W) e entre grupos (B) sob perspectivas complementares. Com o teste de regressão investiguei a manutenção da quantidade de variação associada a cada eixo de variação, e com o teste de correlação avaliei o alinhamento entre estes eixos. Rejeitamos a H_0 em diversos pontos da árvore que representam eventos de cladogenese a nível de família e gênero. Nestes casos aceitamos a H_1 de seleção natural e vemos que a maior parte da diversificação da linhagem de primatas de Madagascar foi influenciada por seleção direcional envolvendo tamanho e alterações anatômicas relacionadas a dieta / The main goal of this study was to investigate the evolutionary processes responsible for Strepsirrhini cranial morphological evolution. Multidimensional morphological structures like the cranium can describe the amount of variance available to evolution. We used 27 landmarks and 39 euclidean distances between them to describe the variation in the cranium. We used a broad phylogenetic scaled comparison of cranial P matrices representing 40 species of Strepsirrhini primates combined to a pair of Saguinus fuscicolis G and P to investigate the stability of variance structure along this lineage. Our results show a relative stability in the patterns of variance and covariance of the clade and that P matrices can be considered as surrogates to its underling G. We also report a high association between matrix similarity and phylogenetic distance. We investigated particular contributions of each trait to matrix dissimilarity through a evolutionary perspective considering the main dietary shifts observed in the clade. Our results suggest that differences in observed patterns of variation can be attributed to characters with heterogeneity in the degree of stabilizing selection in the adult cranium and to differences in directional selection involved in chewing of specialized feeding behavior. Under the quantitative genetics theory lies an expectation for the evolution of average phenotypes that if populations have diverged by random processes, patterns of within and between-taxon morphological variation should be proportional. In chapter 2 we tested the null hypothesis that genetic drift is a sufficient explanation to observed divergence in cranial multivariate means of 70 Strepsirrhini primates. We detected deviations from neutrality along the whole clade of Strepsirrhini and specially in more inclusive nodes. We argue that this deviations reflect important historical shifts in the evolution of the clade associated with directional selection for size and in anatomical features related with diet