O objetivo deste trabalho é desenvolver um método numérico capaz de simular escoamentos viscoelásticos com superfícies livres governados pela equação constitutiva não-linear PTT (Phan-Thien-Tanner). Neste trabalho foram apresentados três métodos numéricos para simular escoamentos viscoelásticos modelados pela equação PTT. Dois desses métodos foram desenvolvidos para simular escoamentos viscoelásticos bidimensionais enquanto o terceiro método foi desenvolvido para simular escoamentos viscoelásticos tridimensionais. Estes métodos numéricos foram incorporados aos ambientes de simulação FreeDow2D e FreeDow3D, extendendo estes ambientes para escoamentos viscoelásticos descritos por uma equação constitutiva não-linear. Inicialmente, uma descrição de FreeDow2D e FreeDow3D é apresentada. As equações governantes para escoamentos descritos pelo modelo PTT são dadas na forma de tensorial e as formulações matemáticas para obtenção dos métodos numéricos são apresentadas. As equações que descrevem os métodos numéricos são resolvidas pela técnica de diferenças finitas numa malha deslocada e o fluido é representado por partículas arcadoras usando o método Marker-and-Cell. As condições de contorno para cada tipo de contorno são descritas em detalhes e o cálculo do tensor extra-tensão no contorno rígido é obtido utilizando as idéias de Tomé et al. [84] para o modelo Oldroyd-B. Seguindo a metodologia de Alves et al. [2], a solução analítica do modelo PTT para escoamentos totalmente desenvolvidos em um canal bidimensional é apresentada em detalhes. Esta solução analítica é então usada para validar o método numérico desenvolvido neste trabalho. Os métodos numéricos desenvolvidos nesse trabalho foram aplicados para simular os seguintes problemas: um jato de fluido viscoelástico incidindo numa placa rígida; o inchamento do extrudado e o problema de uma gota esférica de fluido viscoelástico incidindo perpendicularmente contra uma superfície rígida plana / The aim of this work is to develop a numerical method capable of simulating viscoelastic free surface flows governed by the non-linear constitutive equation PTT (Phan-Thien-Tanner). In this work three numerical methods to simulate vicoelastic Flows of fluids modelled by the PTT equation are presented. Two of these methods were developed to simulate two-dimensional viscoelastic flows while the third method was developed to simulate three-dimensional viscoelastic flows. These numerical methods were incorporated into the codes FreeFlow2D and FreeFlow3D, extending these codes to viscoelastic flows described by the non-linear constitutive equation PTT. Initially, a description of FreeFlow2D and FreeFlow3D is presented. The governing equations for flows described by the PTT model are given in index form and the mathematical formulations for obtaining the numerical methods are presented. The equations describing the numerical methods are solved by the finite difference method on a staggered grid and the fluid is modelled using a Marker-and-Cell type method. The boundary conditions for each type of boundary are described in details and the calculation of the extra-stress tensor on rigid boundaries is performed using the ideas of Tomé et al. [84] for an Oldroyd-B Fluid. Following the methodology presented by Alves et al. [2], the analytic solution of the PTT model for fully developed flows in a two-dimensional channel is presented in details. This analytic solution is then used to validate the numerical method developed in this work. Finally, the numerical methods developed in this work were applied to simulate viscoelastic flows such as a viscoelastic jet flowing onto a rigid plate, the extrudate swell of viscoelastic fluids and the simulation of a viscoelastic drop hitting a rigid plate

O objetivo deste trabalho é desenvolver um método numérico capaz de simular escoamentos viscoelásticos com superfícies livres governados pela equação constitutiva não-linear PTT (Phan-Thien-Tanner). Neste trabalho foram apresentados três métodos numéricos para simular escoamentos viscoelásticos modelados pela equação PTT. Dois desses métodos foram desenvolvidos para simular escoamentos viscoelásticos bidimensionais enquanto o terceiro método foi desenvolvido para simular escoamentos viscoelásticos tridimensionais. Estes métodos numéricos foram incorporados aos ambientes de simulação FreeDow2D e FreeDow3D, extendendo estes ambientes para escoamentos viscoelásticos descritos por uma equação constitutiva não-linear. Inicialmente, uma descrição de FreeDow2D e FreeDow3D é apresentada. As equações governantes para escoamentos descritos pelo modelo PTT são dadas na forma de tensorial e as formulações matemáticas para obtenção dos métodos numéricos são apresentadas. As equações que descrevem os métodos numéricos são resolvidas pela técnica de diferenças finitas numa malha deslocada e o fluido é representado por partículas arcadoras usando o método Marker-and-Cell. As condições de contorno para cada tipo de contorno são descritas em detalhes e o cálculo do tensor extra-tensão no contorno rígido é obtido utilizando as idéias de Tomé et al. [84] para o modelo Oldroyd-B. Seguindo a metodologia de Alves et al. [2], a solução analítica do modelo PTT para escoamentos totalmente desenvolvidos em um canal bidimensional é apresentada em detalhes. Esta solução analítica é então usada para validar o método numérico desenvolvido neste trabalho. Os métodos numéricos desenvolvidos nesse trabalho foram aplicados para simular os seguintes problemas: um jato de fluido viscoelástico incidindo numa placa rígida; o inchamento do extrudado e o problema de uma gota esférica de fluido viscoelástico incidindo perpendicularmente contra uma superfície rígida plana / The aim of this work is to develop a numerical method capable of simulating viscoelastic free surface flows governed by the non-linear constitutive equation PTT (Phan-Thien-Tanner). In this work three numerical methods to simulate vicoelastic Flows of fluids modelled by the PTT equation are presented. Two of these methods were developed to simulate two-dimensional viscoelastic flows while the third method was developed to simulate three-dimensional viscoelastic flows. These numerical methods were incorporated into the codes FreeFlow2D and FreeFlow3D, extending these codes to viscoelastic flows described by the non-linear constitutive equation PTT. Initially, a description of FreeFlow2D and FreeFlow3D is presented. The governing equations for flows described by the PTT model are given in index form and the mathematical formulations for obtaining the numerical methods are presented. The equations describing the numerical methods are solved by the finite difference method on a staggered grid and the fluid is modelled using a Marker-and-Cell type method. The boundary conditions for each type of boundary are described in details and the calculation of the extra-stress tensor on rigid boundaries is performed using the ideas of Tomé et al. [84] for an Oldroyd-B Fluid. Following the methodology presented by Alves et al. [2], the analytic solution of the PTT model for fully developed flows in a two-dimensional channel is presented in details. This analytic solution is then used to validate the numerical method developed in this work. Finally, the numerical methods developed in this work were applied to simulate viscoelastic flows such as a viscoelastic jet flowing onto a rigid plate, the extrudate swell of viscoelastic fluids and the simulation of a viscoelastic drop hitting a rigid plate