Šis darbas remiasi dviem straipsniais: Kahadawala Cooray, Malwane M. A. Amanda, „Modeling actuarial data with a composite lognormal – Pareto model“ (Scandinavian Actuarial Journal, 5, 321-334 psl.) ir McNeil Alexander J. „Estimating the tails of loss severity distributions using extreme value theory“ (ASTIN Bulletin, 27, 117-137 psl.). Pirmajame pristatomas sudėtinis lognormalusis – Pareto skirstinys. Antrajame nagrinėjamas apibendrintas Pareto skirstinys, tiriama, kaip jis aprašo dideles žalas. Šio magistro darbo tikslas yra sujungti lognormalųjį bei apibendrintą Pareto skirstinius. Pirmasis jų gerai aprašo mažas žalas su dideliais dažniais, antrasis – dideles, turinčias mažus dažnius. Darbe taip pat naudojamas kiek pakeistas Kahadawala Cooray ir Malwane M. A. Amanda straipsnyje pasiūlytas skirstinių sujungimo būdas. Šiame darbe ištirtos kai kurios sudėtinio lognormaliojo – apibendrinto Pareto skirstinio su keturiais laisvais parametrais savybės, pateiktas įverčių radimo metodas, bei, remiantis šiuo modeliu, išnagrinėtos trys duomenų imtys. Rezultatai rodo jog, dėl tam tikrų sujungimo savybių, modelis tinkamas aprašyti tiek didelėms, tiek mažoms žaloms, o, svarbiausia, mišrioms žaloms, tarp kurių pasitaiko tiek mažų, tiek labai didelių. Pastarojo tipo duomenys gana dažni draudimo praktikoje. / This work is based on two articles: Kahadawala Cooray, Malwane M. A. Amanda, „Modeling actuarial data with a composite lognormal – Pareto model“ (Scandinavian Actuarial Journal, 5, pages 321-334) and McNeil Alexander J. „Estimating the tails of loss severity distributions using extreme value theory“ (ASTIN Bulletin, 27, pages 117-137). The first article presents a two - parameter smooth continuous composite lognormal - Pareto model. The second one analyses generalised Pareto distribution and how does this distribution cover large loses. The purpose of this writing is to mix lognormal and generalised Pareto distributions in to one four parameter smooth continuous distribution. The lognormal distribution is used to model small data with higher frequencies, and the generalised Pareto distribution is used to model large data with low frequencies. In this work we also try to use a modified way of mixing these two distributions than Kahadawala Cooray and Malwane M. A. Amanda used in their work. Writing also includes an analysis of some properties of this model, method of parameter estimation and three data sets analysis based on this distribution. The results show that because of some properties of mixing these two distributions, a composite model is suitable for covering small loses as well as it is suitable for covering large loses. But most important result is that the composite lognormal - generalised Pareto distribution is fit to cover data sets, which include small loses and... [to full text]

The max-stable Paretian distribution is analyzed in this Master’s work.

Darbo tikslas – sukonstruoti dvimatį skirstinį, kai duoti vienmačiai (marginalieji) skirstiniai, atlikti maksimumų asimptotinę analizę ir ištirti konvergavimo greitį. Dvimatis skirstinys konstruojamas dviem atvejais: kai vektorių komponentės yra priklausomos ir nepriklausomos. Detalesnė konvergavimo greičio analizė atlikta, kai komponentės yra priklausomos. Tyrimui buvo pasirinktas Pareto skirstinys. Pirmoje tiriamosios dalies ir rezultatų dalyje yra konstruojamas dvimatis skirstinys, skaičiuojamos jo pagrindinės charakteristikos, tiriama, ar prie visų parametrų reikšmių jos egzistuoja. Taip pat generuojami atsitiktiniai dydžiai, kurių skirstiniai yra sukonstruotosios skirstinio funkcijos marginalieji skirstiniai, ir eksperimentiškai bandoma pagrįsti gautus rezultatus. Antroje dalyje atliekama asimptotinė analizė. Apibrėžiami dvimačiai maksimumai, ieškomas ribinis skirstinys. Juos suradus, apibrėžiamas apytikslis konvergavimo greičio įvertis, atliekama jo bei paklaidų kompiuterinė analizė, ieškoma, kokioms sąlygoms esant jie yra mažiausi. Sukonstruoto dvimačio skirstinio skaitinių charakteristikų tyrimas atliekama programiniu paketu MathCAD. Kompiuterinė konvergavimo greičio įverčių analizė atliekama programinio paketo Matlab pagalba. Jo aplinkoje buvo sukurta programa vartotojui, kuri nubraižo konvergavimo greičio įvertį bei paklaidas. / The aim of this paper is to construct two-dimensional random variables, having one-dimensional ones, carry out the asymptotical analysis and study the speed of convergence. Two-dimensional distribution is constructed in two ways: when the components of random variables are independent and dependent. As in the last few years Pareto distribution is popular in financial models, it was chosen for the analyses. It was proved, that in both cases of independent and dependent components of the vector, the limit distribution is the same. This means that although the components of the vector are dependent, the maxima are asymptotically independent. Besides, the errors are smaller than the approximate estimate. Although, the approximate estimate in the case of independent components is smaller than in the case of dependent components, the errors are on the contrary: they are smaller when the components are dependent than when the components are independent.

Draudimo matematikoje modeliuojant žalas dažnai naudojami dviejų parametrų lognormalusis ir Pareto skirstiniai. Lognormalusis skirstinys taikomas mažoms žaloms su dideliu dažniu aprašyti, o Pareto – didelėms su mažu. Siekiant, kad skirstinys vienodai gerai aprašytu visų tipų žalas, sudaromas nupjauto lognormaliojo ir Pareto skirstinių mišinys su trimis laisvais parametrais. Šis darbas parašytas remiantis Kahadawala Cooray ir Malwane M. A. Ananda straipsniu "Modeling actuarial data with a composite lognormal – Pareto model" ("Scandinavian Actuarial Journal", 2005, 5, 321 - 334 psl.), kuriame nagrinėjamas sudėtinis lognormalusis – Pareto skirstinys. Darbe nagrinėjami lognormalusis ir Pareto skirstiniai, aptariama, kodėl jie turėtų būti naudojami kartu kaip mišinys, pateikiamas nupjauto lognormaliojo ir Pareto skirstinių mišinio tankio funkcijos išvedimas, grafiškai iliustruojamas jos kitimas, priklausomai nuo parametrų parinkimo. Praktinėje dalyje nagrinėjamos trys imtys: sudėtiniu lognormaliuoju – Pareto skirstiniu modeliuoti duomenys, vienos Lietuvos draudimo bendrovės draudimo nuo nelaimingų atsitikimų žalos ir Danijos gaisrų draudimo žalos. Didžiausio tikėtinumo metodu skaitiškai įvertinami mišinio parametrai kiekvienai imčiai, gauti rezultatai lyginami su sudėtinio lognormaliojo – Pareto, lognormaliojo, Pareto, Gama, Weibull skirstinių didžiausio tikėtinumo įverčiais. Palyginimui naudojami Kolmogorovo – Smirnovo, Andersono – Darlingo kriterijai ir chi kvadrato suderinamumo... [toliau žr. visą tekstą] / In insurance mathematics are often used the lognormal ant the Pareto distributions with two parameters to model loss data. The lognormal distribution is used to model small data with higher frequencies, while the Pareto distribution is used to model large data with low frequencies. In order to achieve both of these losses in one model, the truncated lognormal and the Pareto distributions mixture with three parameter is presented. This work is written with reference to Kahadawala Cooray ir Malwane M. A. Ananda article "Modeling actuarial data with a composite lognormal – Pareto model" ("Scandinavian Actuarial Journal", 2005, 5, 321 - 334 pages), where composite lognormal – Pareto model is researched. In this work the necessity of the lognormal and the Pareto distributions mixture is discussed, the derivation of the truncated lognormal and the Pareto distributions mixture model are presented and behaviour of density function in dependent of parameter variation is discussed by illustrating. For practical application three data sets are chosen: simulated from the composite lognormal – Pareto distribution, personal accident insurance loss of one Lithuania insurance company, Danish fire loss data. For the each of data sets the parameters are estimated using maximum likelihood function, resulted estimators are compared with maximum likelihood estimators of composite lognormal – Pareto, lognormal, Pareto, Gamma and Weibull distributions. In order to compare the models the following... [to full text]

Šiame darbe nagrinėjau vienmačių ir dvimačių Pareto atsitiktinių dydžių geometrinį maks stabilumą. Įrodžiau, kad vienmatis Pareto skirstinys yra geometriškai maks stabilus, kai alfa=1. Tačiau nėra geometriškai maks stabilus, kai alfa nelygu 1. Naudodamasi geometrinio maks stabilumo kriterijumi dvimačiams Pareto atsitiktiniams dydžiams, įrodžiau, kad dvimatė Pareto skirstinio funkcija nėra geometriškai maks stabili, kai vektoriaus komponentės nepriklausomos (kai alfa=1, beta=1 ir alfa nelygu 1, beta nelygu 1). Taip pat dvimatė Pareto skirstinio funkcija nėra geometriškai maks stabili, kai vektoriaus komponentės priklausomos (kai alfa=1, beta=1 ir alfa nelygu 1, beta nelygu 1). Dvimačių Pareto skirstinių tyrimas pateikė nelauktus rezultatus. Gauta, kad dvimatė Pareto skirstinio funkcija nėra geometriškai maks stabili, kai alfa=1, beta=1. Tačiau vienmatės marginaliosios Pareto skirstinio funkcijos yra geometriškai maks stabilios, kai alfa=1, beta=1. / In this work I analyzed geometric max stability of univariate and bivariate Pareto random variables. I have proved, that univariate Pareto distribution is geometrically max stable when alpha=1. But it is not geometrically max stable when alpha unequal 1. Using the criterion of geometric max stability for bivariate Pareto random variables, I have proved, that bivariate Pareto distribution function is not geometrically max stable, when vectors’ components are independent (when alpha=1, beta=1 and alpha unequal 1, beta unequal 1). Also bivariate Pareto distribution function is not geometrically max stable, when vectors’ components are dependent (when alpha=1, beta=1 and alpha unequal 1, beta unequal 1). Research of bivariate Pareto distributions submitted unexpected results. Bivariate Pareto distribution function is not geometrically max stable, when alpha=1, beta=1. But marginal Pareto distribution functions are geometrically max stable, when alpha=1, beta=1.