Tableau d'honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2022-2023. / La théorie quantique des champs est un cadre théorique important pour la physique des particules moderne. Ses prédictions sont parmi les plus précises de toute la physique. Par contre, l'approche standard à la théorie quantique des champs consiste à utiliser la théorie des perturbations pour évaluer des fonctions de corrélation, qui sont les quantités mesurables de la théorie quantique des champs. Ce stratagème n'est pas toujours valide puisqu'elle présume que les constantes de couplage du système étudié sont faibles. Certains systèmes ont de grandes constantes de couplage et ne peuvent être étudiés avec la théorie des perturbations. Ce défaut a mené et continue de mener beaucoup de physiciens à chercher des approches non-perturbatrices à la théorie quantique des champs. Le groupe de renormalisation établit un lien entre les différentes théories quantiques des champs, qui diffèrent par leurs constantes de couplage. Il suggère aussi l'existence de théories quantiques des champs qui sont localement invariantes d'échelle - les théories conformes des champs. Le groupe de symétries élargi des théories conformes des champs les contraint au point qu'elles peuvent être résolues exactement. Les fonctions de corrélation à deux et à trois points sont complètement fixées par la symétrie conforme et le développement du produit d'opérateurs permet de réduire une fonction de corrélation à quatre points ou plus en une somme de fonctions de corrélation à moins de points. Peu de résultats analytiques sont connus pour les théories conformes des champs, surtout dans l'espace de plongement. L'objectif final de notre recherche est de développer une technique pour évaluer des fonctions de corrélation à partir de l'espace de plongement, et ce, en traitant toutes les représentations irréductibles de l'algèbre de Lorentz de la même façon peu importe le nombre de dimensions d'espace-temps. Pour ce faire, nous adaptons une méthode connue pour les fonctions de corrélation de champs scalaires à des fonctions de corrélation de champs quelconques par le biais d'une nouvelle technique, la scalairisation. Nous avons essayé d'utiliser la scalairisation pour trouver un ensemble de variables qui diagonalise un ensemble complet d'opérateurs de Casimir qui commutent afin de faciliter de futurs calculs. / Quantum field theory is an important framework for modern particle physics. Its predictions are among the most accurate in all of physics. However, the standard approach to quantum field theory is to use perturbation theory in order to evaluate correlation functions, which are the measurable quantities of quantum field theory. This strategy is not always valid because it relies on the theory's coupling constants being small. Some systems' coupling constants are large, so they can't be studied through the lens of perturbation theory. This flaw leads many physicists to look for non-perturbative approaches to quantum field theory. The renormalization group establishes a connection between different quantum field theories, which are parameterized by their coupling constants. It also suggests the existence of quantum field theories that are invariant under local dilations - conformal field theories. Conformal field theories' symmetries constrain them to such an extent that they can be solved exactly. Two-point and three-point correlation functions are completely fixed by conformal symmetry, and the operator product expansion equates a correlation function with four or more points to a linear combination of correlation functions with fewer points. Few analytical results have been obtained in conformal field theory, especially in the embedding space. Our research's end goal is to develop a method to evaluate correlation functions in the embedding space in a way that treats every irreducible representation of the Lorentz algebra homogeneously, regardless of the number of spacetime dimensions. For this purpose, we generalized a known method to evaluate correlation functions of scalar fields to more general correlation functions by using a new technique – scalarization. We tried to use scalarization to find a set of variables that diagonalize a complete set of commuting Casimir operators in order to ease future calculations.

Titre de l'écran-titre (visionné le 29 février 2024) / La théorie quantique des champs (QFT), née de la combinaison entre la mécanique quantique et de la relativité restreinte, est aujourd'hui l'approche la plus fondamentale utilisée en physique théorique. Les théories conformes des champs (CFTs) sont des cas particuliers de QFTs qui possèdent des symétries conformes supplémentaires qui sont très intéressantes puisqu'elles nous permettent de résoudre des CFTs sans avoir recours à leur lagrangien. En effet, elles permettent de fixer complètement la forme des fonctions de corrélation à 2 et 3 points. Pour les fonctions de corrélations à 4 points et plus, le développement en produit d'opérateurs (OPE) est l'un des outils les plus importants, qui nous permet de réécrire le produit de deux champs en une somme d'un champ sur lequel s'applique un opérateur différentiel. L'OPE nous permet de réduire les fonctions de corrélation à plusieurs points en une somme de fonctions de corrélation plus petites dont nous connaissons la forme. Cependant, l'opérateur différentiel apparaissant dans l'OPE est plus facilement utilisable dans l'espace de plongement, qui est un espace à d+2 dimensions, dans lequel l'algèbre conforme vit naturellement et qui simplifie grandement les calculs impliquant l'OPE. Pourtant, il existe peu de résultats analytiques utilisant l'OPE directement dans l'espace de plongement pour calculer les fonctions de corrélations à 4 points non scalaires. Le but de mon projet est de calculer les fonctions de corrélation à 3 points en utilisant l'OPE directement dans l'espace de plongement, afin de mieux comprendre la base de l'OPE dans l'espace de plongement pour éventuellement calculer les fonctions de corrélations à 4 points. Nous avons alors trouvé que les fonctions de corrélations à 3 points s'écrivent comme une somme de fonctions de Gegenbauer, ce qui était effectivement ce à quoi on s'attendait. Cela est la première étape pour trouver la meilleure base de l'OPE pour les fonctions de corrélation à 3 points qui nous permettrait de diagonaliser un ensemble complet d'opérateurs qui commutent puis d'éventuellement obtenir une base d'OPE pour toutes les fonctions de corrélation de théories conformes des champs. / Quantum field theory (QFT), born from the combination of quantum mechanics and special relativity, is today the most fundamental approach used in theoretical physics. Conformal field theories (CFTs) are special cases of QFTs which have additional conformal symmetries which are very interesting since they allow us to solve CFTs without resorting to their Lagrangian. Indeed, they make it possible to completely fix the form of the correlation functions at 2 and 3 points. For correlation functions with 4 points and more, operator product expansion (OPE) is one of the most important tools, which allows us to rewrite the product of two fields into a sum of a field over which applies a differential operator. OPE allows us to reduce multipoint correlation functions to a sum of smaller correlation functions whose form we know. However, the differential operator appearing in the OPE is more easily usable in the embedding space, which is a (d + 2)-dimensional space, in which conformal algebra naturally lives and which greatly simplifies calculations involving the OPE. However, there are few analytical results using the OPE directly in the embedding space to compute nonscalar 4-point correlation functions. The goal of my project is to compute the 3-point correlation functions using the OPE directly in the embedding space, in order to better understand the basis of the OPE in the embedding space to eventually compute the 4-point correlation functions. We have found that the 3-point correlation functions are expressible as a sum of Gegenbauer functions, which was indeed what we expected. This is the first step in finding the best basis of the OPE for the 3-point correlation functions which would allow us to diagonalize a complete set of commuting operators and then eventually obtain a basis of the OPE for all the functions of correlation of conformal field theories.

En 2008, Losert [3] résout le fameux problème de dérivation, resté ouvert depuis les années 1960. Le raisonnement de Losert s'articule autour d'un résultat central pour lequel Bader, Gelander et Monod [1] arrivent à trouver une courte preuve en 2012. Celle-ci découle d'un nouveau théorème de point fixe qui, outre son rôle dans la résolution du problème de dérivation, est intéressant en soi car il ne fait intervenir que les propriétés géométriques de l'espace ambiant, et non un argument de compacité ou un quelconque principe de contraction. Le présent mémoire donne une démonstration détaillée de ce nouveau théorème, tout en rappelant préalablement les bases topologiques et algébriques sur lesquelles il repose.