Ce mémoire de thèse est consacré à l’équation de Fokker-Planckpartial_ f=∆f+div(Ef).Il est subdivisé en deux parties :une partie linéaire et une partie non linéaire. Dans la partie linéaire on considère un champ de vecteur E(x) dépendant seulement de x. Cette partie est constituée des chapitres 3, 4 et 5. Dans le chapitre 3 on montre que l’opérateur linéaire Lf :=∆ f + div(E f ) est le générateur d’un semi-groupe fortement continu (SL(t))_{t≥0} dans tous les espaces L^p. On y établit également que le semi-groupe (SL(t))_{t≥0} est positif et ultracontractif. Dans le chapitre 4 nous montrons comment est qu’une décomposition adéquate de l’opérateur L permet d’établir certaines propriétés du semi-groupe (SL(t))_{t≥0} notamment sa bornitude. Le chapitre 5 est consacré à l’existence d’un état d’équilibre. De plus on y montre que cet état d’équi- libre est asymptotiquement stable. Dans la partie non linéaire on considère un champ de vecteur de la forme E(x,f) := x+nabla (a*f) ou a et f sont des fonctions assez régulières et * est l’opérateur de convolution. Cette parties est contituée des chapitre 6 et 7. Dans le chapitre 6 nous établissons que poura appartenant à W^{2,infini}_locl’équation de Fokker-Planck non linéaire admet une unique solution locale dans l’espace L^2_{K_alpha} (R^d). Dans le dernier chapitre nous montrons que le problème non linéaire admet une solution globale. De plus cette solution dépend continument des données. / This thesis is devoted to the Fokker-Planck équation partial_t f =∆f + div(E f).It is divided into two parts. The rst part deals with the linear problem. In this part we consider a vector E(x) depending only on x. It is composed of chapters 3, 4 and 5. In chapter 3 we prove that the linear operator Lf :=∆f + div(Ef ) is an in nitesimal generator of a strong continuous semigroup (SL(t))_{t≥0}. We establish also that (SL(t))_{t≥0} is positive and ultracontractive. In chapter 4 we show how an adequate decomposition of the linear operator L allows us to deduce interesting properties for the semigroup (SL(t))_{t≥0}. Indeed using this decomposition we prove that (SL(t))_{t≥0} is a bounded semigroup. In the last chapter of this part we establish that the linear Fokker-Planck admits a unique steady state. Moreover this stationary solution is asymptotically stable.In the nonlinear part we consider a vector eld of the form E(x, f ) := x +nabla (a *f ), where a and f are regular functions. It is composed of two chapters. In chapter 6 we establish that fora in W^{2,infini}_locthe nonlinear problem has a unique local solution in L^2_{K_alpha}(R^d); . To end this part we prove in chapter 7 that the nonlinear problem has a unique global solution in L^2_k(R^d). This solution depends continuously on the data.

Ce mémoire présente une méthode de reconstruction de la surface d’un pare-brise à partir d’une image observée au travers de celui-ci. Cette image est déformée, car les rayons lumineux traversant le pare-brise subissent deux réfractions : une de chaque côté du verre. La déformation de l’image est dépendante de la forme du pare-brise, c’est donc cette donnée qui est utilisée pour résoudre le problème. La première étape est la construction d’un champ de vecteurs dans l’espace ambiant à partir des déviations des rayons lumineux passant par le pare-brise. Elle repose sur la loi de la réfraction de Snell-Descartes et sur des hypothèses simplificatrices au sujet de la courbure et de l’épaisseur du pare-brise. Le vecteur en un point de ce champ correspond à une prédiction du vecteur normal à la surface, sous l’hypothèse que celle-ci passe par le point en question. La deuxième étape est de trouver une surface compatible avec le champ de vecteurs obtenu. Pour y arriver, on formule un problème de minimisation où la donnée minimisée est la différence entre les vecteurs normaux à la surface et ceux construits à partir des mesures du système d’inspection. Il en résulte une équation d’Euler-Lagrange non linéaire à laquelle on impose des conditions de Dirichlet. Le graphe de la solution à ce problème est alors la surface recherchée. La troisième étape est une méthode de point fixe pour résoudre l’équation d’Euler-Lagrange. Elle donne une suite d’équations de Poisson linéaires dont la limite des solutions respecte l’équation non linéaire étudiée. On utilise le théorème du point fixe de Banach pour obtenir des conditions suffisantes d’existence et d’unicité de la solution, qui sont aussi des conditions suffisantes pour lesquelles la méthode de point fixe converge. / This Master’s thesis presents a method for the reconstruction of a windshield surface using an image observed through it. This image is distorted because the light rays passing through the windshield undergo two refractions : one on each side of the glass. The distortion depends on the windshield shape and therefore this data is used to solve the problem. The first step is the construction of a vector field in the ambient space, from the deviations of the light rays passing through the windshield. This step relies on the Snell-Descartes refraction law and on simplifying assumptions regarding the curvature and thickness of a windshield. A vector at a point of this field corresponds to a prediction of the surface normal vector at this point, under the hypothesis that this point lies on the surface. The second step is to find a surface that is compatible with the obtained vector field. For this purpose, a minimisation problem is formulated for which the minimized variable is the difference between the surface normal vector and the one deduced from the system’s measurements. This leads to a nonlinear Euler- Lagrange equation for which the Dirichlet boundary conditions are imposed. The graph of the solution is the desired surface. The third step is a fixed-point method to solve the Euler- Lagrange equation. At the center of this method is a sequence of linear Poisson equations, each giving an approximating solution. It is shown that the limit of this sequence of solutions respects the original nonlinear equation. The Banach fixed-point theorem is used to get sufficient existence and uniqueness conditions, that are also sufficient conditions under which the proposed fixed-point method converges.