En general, encontrar una solución analítica de una ecuación diferencial parcial no es fácil, y más aún cuando ésta ecuación es no lineal. Debido a esto, surgieron varios métodos numéricos para encontrar una solución aproximada a la deseada. Los métodos numéricos más conocidos son: • Métodos de Diferencias Finitas que tuvo su gran auge en la década de 1950. • Métodos de Elementos Finitos que tuvo su gran auge en la década de 1960. • Métodos Espectrales que tuvo su gran auge en la década de 1970. Mientras que los métodos de diferencias finitas dan soluciones aproximadas en los puntos de la malla computacional elegida, los métodos de elementos finitos dan aproximaciones polinomiales continuas o continuas por partes en regiones poligonales (generalmente triangulares en dos dimensiones), mientras que los métodos espectrales brindan soluciones aproximadas en la forma de polinomios sobre todo su dominio. Los métodos espectrales son una clase de discretización espacial para ecuaciones diferenciales. Las componentes claves para su formulación son las funciones base (llamadas también funciones de aproximación o expansión) y las funciones de prueba. Las funciones base se usan para dar una representación aproximada de la solución. Las funciones de prueba se usan para asegurar que la ecuación diferencial y quizás algunas condiciones de frontera se cumplan tanto como sea posible por la serie truncada de expansión. Esto se consigue minimizando, con respecto a una norma adecuada, el residuo producido por el uso de la expansión truncada en lugar de la solución exacta. Los métodos espectrales tienen un amplio uso en diferentes áreas como: teoría cuántica ([31], [36]) basado en la ecuación Schrödinger que proporciona la descripción teórica de numerosos sistemas en química y física; teoría cinética basada en la ecuación de Boltzmann ([27], [32]) o en la ecuación de Fokker-Planck ([5], [45]); problemas en mecánica de fluidos ([4], [20], [42]). También hay importantes aplicaciones en el escape átomos de la atmósfera del planeta ([14], [51]) como la pérdida de carga de partículas de la tierra ([33], [43]) y del sol [11]. El presente trabajo pretende contribuir en sentar los fundamentos sobre métodos espectrales, para que sean aplicados en futuras investigaciones más elaboradas, así como brindar los códigos de implementación (en Matlab), los cuales raramente se encuentran en forma explícita en la literatura. Este trabajo está organizado de la siguiente manera: el Capítulo 1 abarca las propiedades más importantes de los polinomios ortogonales; en particular, los polinomios de Chebyshev, los cuales son adecuados para representar funciones de dominio finito y sus relaciones de recurrencia asociadas. Además, se presenta un breve repaso de las fórmulas de cuadratura gaussiana. En el Capítulo 2, se presenta en forma detallada los métodos espectrales polinomiales, útiles para problemas con condiciones de frontera no periódicas. Presentamos los métodos de Galerkin, Tau y de Colocación. En el Capítulo 3 se da ejemplos de la implementación numérica de la ecuación del calor usando los métodos de diferencias finitas y los métodos espectrales, usando los polinomios de Chebyshev. Además, se brindan los detalles necesarios para implementar la ecuación de Burger usando los métodos espectrales. / Tesis

Ingeniero Civil Eléctrico / La penetración de energías renovables no convencionales en la matriz energética del país ha tenido un gran aumento, en especial las tecnologías solar fotovoltáica y eólica, lo que plantea grandes desafíos en la operación técnica y económica del sistema eléctrico debido a la variabilidad e incertidumbre de los recursos y a que dadas las condiciones actuales, no contribuyen con reservas al sistema y no aportan inercia. Los modelos de despacho convencionales utilizan una baja resolución temporal y por lo tanto no se encuentran preparados para capturar adecuadamente la variabilidad de la energía solar y eólica. Para ello, se requeriría aumentar la resolución, lo que tiene como desventaja el crecimiento computacional del problema a resolver, pudiendo incluso ser inviable de resolver. Es por esto, que en este trabajo se estudia el problema de despacho económico utilizando la modelación en el dominio Chebyshev. Para esto, se estudian las principales características de los modelos convencionales y las principales propiedades de los polinomios de Chebyshev, y se analiza la formulación de ambos modelos, su desempeño computacional y calidad de resultados. La metodología de estudio abarca todas las etapas para modelar el problema en el tiempo continuo y discreto, donde se destaca la obtención de datos, la formulación de los problemas en sus dominios respectivos y la resolución de los problemas variando la resolución temporal y la cantidad de información suministrada a cada modelo. De los resultados se desprende que al utilizar la modelación en el dominio de Chebyshev es posible disminuir la cantidad de variables y restricciones del problema, sin embargo, esto implica un aumento en la densidad de las matrices de restricciones, lo que provoca un deterioro en el desempeño computacional. Tambien se observa que al aumentar la resolución temporal del problema es posible obtener una mejor aproximación de los costos de operación, y que, al utilizar la modelación en el dominio de Chebyshev es necesario tener en cuenta las posibles oscilaciones de las aproximaciones obtenidas para obtener mejores resultados. En conjunto con lo anterior, en este trabajo también se estudia la aplicación de los polinomios de Chebyshev en la modelación de la dinámica del sistema, donde se busca representar la respuesta inercial del sistema a través de la ecuación de swing del generador. En el ejemplo ilustrado se observa que es posible llegar a una buena aproximación y que la representación en Chebyshev genera un sistema lineal de ecuaciones algebraicas, por lo que es posible su incorporación en modelos de optimización lineales.

Ingeniero Civil Eléctrico / Sistemas eléctricos de potencia - Administración / El cambio en la legislación referente a los requerimientos de energías renovables no convencionales (ERNC) en Chile y los precios más competitivos han incentivado fuertemente su inserción, planteando interrogantes sobre la operación técnica y económica de los sistemas eléctricos debido a la variabilidad de las ERNC y el requerimiento de redespachos intrahorarios. Ante la necesidad de mejores herramientas con resolución horaria o menor, en esta memoria de título se estudia un modelo de predespacho en base a polinomios de Chebyshev con resolución continua, permitiendo incorporar de mejor manera la variabilidad de fuentes renovables y ciertas restricciones técnicas como rampas y balances hidráulicos en comparación al método tradicional con resolución horaria. Esta formulación es fácilmente extensible a otros problemas de operación eléctrica, como microredes y coordinación hidrotérmica. En esta memoria se estudian las propiedades numéricas de los polinomios, destacando el uso de los puntos extremos de Chebyshev y el método one-side para aproximación de perfiles temporales no negativos. Posteriormente se estudia el uso de matrices operacionales de Integración y Derivación para representación de restricciones técnicas de la operación eléctrica en el continuo. Adicionalmente, se elabora un modelo uninodal y monoembalse que incorpora diversas restricciones, proponiendo una solución al tratamiento de los puntos extremos de Chebyshev en variables binarias con el fin de realizar un equivalente al modelo horario. Este modelo se compara con un predespacho horario elaborado previamente, validando así la formulación propuesta. En este trabajo, se demuestra que es posible modelar mediante polinomios de Chebyshev, obteniendo resultados de costos totales similares al modelo horario (con diferencias menores a un 0.1 %), respetando el orden de mérito, recuperando los costos marginales y valores del agua de manera equivalente. También es posible modelar mediante reducción de coeficientes (dos tercios de la totalidad de las variables de generación), pudiendo de igual forma recuperar resultados similares al despacho horario, donde fundamentalmente se recupera el mismo valor del agua, lo cual permite la extensión a modelos de coordinación hidrotérmica.

Ingeniero Civil Eléctrico / La creciente competitividad de las Energías Renovables No Convencionales (ERNC) y la preocupación por el medio ambiente han cambiado el paradigma energético, han permitido que en los últimos años este tipo de energías jueguen un rol cada vez más relevante en los Sistemas Eléctricos de Potencia (SEP), donde las tecnologías eólicas y solar fotovoltaica han aumentado explosivamente, particularmente en Chile. Sin embargo, por naturaleza estas energías tienen características de variabilidad e incertidumbre, lo que plantea desafíos adicionales en la operación de los SEP, que deben adaptarse a los cambios rápidos e intempestivos de generación, producto de las ráfagas de viento y/o del ciclo solar diario, mediante la toma de carga o descarga por parte de otras unidades de generación en el sistema. La capacidad de un SEP de adaptarse a estos cambios se denomina flexibilidad. Este trabajo aborda principalmente al estudio de la flexibilidad como un atributo sistémico y al desafío correspondiente a los procesos de toma de carga y descarga de las máquinas térmicas del sistema, especialmente críticos en los períodos de amanecer y atardecer por los importantes cambios de energía solar disponible. El proceso se vuelve cada vez más crítico en la medida que se aumenta la participación solar fotovoltaica, tecnología muy relevante para el futuro energético de Chile, pues se estima que para el año 2035 alcance cerca de 13 GW de capacidad instalada, lo que será aproximadamente el 30% del parque generador para aquel año. La propuesta metodológica de este trabajo consiste en la simulación de la operación horaria del sistema en el corto y largo plazo, para el cálculo de índices de flexibilidad que cuantifiquen la capacidad del sistema de adaptarse a cambios rápidos en generación. Para ello se considera como caso base de estudio el Plan de Expansión de Largo Plazo , en su Escenario B, publicado por el Ministerio de Energía, y se simula la operación horaria del sistema durante 4 años específicos (2018, 2025, 2035 y 2050), considerando la estocasticidad de diferentes escenarios hidrológicos futuros. El análisis de resultados de los índices de flexibilidad obtenidos permite identificar una situación crítica en los procesos de toma de carga para el año 2035, específicamente en las horas de atardecer, año donde la penetración de energía solar fotovoltaica es máxima. Para resolver el problema de falta de flexibilidad sistémica, se proponen y evalúan dos medidas claves que deben ser tomadas en conjunto; (i) adelantar parte de la inversión en tecnología solar térmica (CSP) que propone el plan de expansión y (ii) el reemplazo de centrales de carbón lentas por un equivalente de Gas Natural Licuado flexible. Una vez tomadas, las medidas indicadas permiten mejorar la situación crítica identificada. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por Acciona Energía Chile

En general, encontrar una solución analítica de una ecuación diferencial parcial no es fácil, y más aún cuando ésta ecuación es no lineal. Debido a esto, surgieron varios métodos numéricos para encontrar una solución aproximada a la deseada. Los métodos numéricos más conocidos son: • Métodos de Diferencias Finitas que tuvo su gran auge en la década de 1950. • Métodos de Elementos Finitos que tuvo su gran auge en la década de 1960. • Métodos Espectrales que tuvo su gran auge en la década de 1970. Mientras que los métodos de diferencias finitas dan soluciones aproximadas en los puntos de la malla computacional elegida, los métodos de elementos finitos dan aproximaciones polinomiales continuas o continuas por partes en regiones poligonales (generalmente triangulares en dos dimensiones), mientras que los métodos espectrales brindan soluciones aproximadas en la forma de polinomios sobre todo su dominio. Los métodos espectrales son una clase de discretización espacial para ecuaciones diferenciales. Las componentes claves para su formulación son las funciones base (llamadas también funciones de aproximación o expansión) y las funciones de prueba. Las funciones base se usan para dar una representación aproximada de la solución. Las funciones de prueba se usan para asegurar que la ecuación diferencial y quizás algunas condiciones de frontera se cumplan tanto como sea posible por la serie truncada de expansión. Esto se consigue minimizando, con respecto a una norma adecuada, el residuo producido por el uso de la expansión truncada en lugar de la solución exacta. Los métodos espectrales tienen un amplio uso en diferentes áreas como: teoría cuántica ([31], [36]) basado en la ecuación Schrödinger que proporciona la descripción teórica de numerosos sistemas en química y física; teoría cinética basada en la ecuación de Boltzmann ([27], [32]) o en la ecuación de Fokker-Planck ([5], [45]); problemas en mecánica de fluidos ([4], [20], [42]). También hay importantes aplicaciones en el escape átomos de la atmósfera del planeta ([14], [51]) como la pérdida de carga de partículas de la tierra ([33], [43]) y del sol [11]. El presente trabajo pretende contribuir en sentar los fundamentos sobre métodos espectrales, para que sean aplicados en futuras investigaciones más elaboradas, así como brindar los códigos de implementación (en Matlab), los cuales raramente se encuentran en forma explícita en la literatura. Este trabajo está organizado de la siguiente manera: el Capítulo 1 abarca las propiedades más importantes de los polinomios ortogonales; en particular, los polinomios de Chebyshev, los cuales son adecuados para representar funciones de dominio finito y sus relaciones de recurrencia asociadas. Además, se presenta un breve repaso de las fórmulas de cuadratura gaussiana. En el Capítulo 2, se presenta en forma detallada los métodos espectrales polinomiales, útiles para problemas con condiciones de frontera no periódicas. Presentamos los métodos de Galerkin, Tau y de Colocación. En el Capítulo 3 se da ejemplos de la implementación numérica de la ecuación del calor usando los métodos de diferencias finitas y los métodos espectrales, usando los polinomios de Chebyshev. Además, se brindan los detalles necesarios para implementar la ecuación de Burger usando los métodos espectrales. / Tesis