Les systèmes implicites (dits aussi " descripteurs ") peuvent décrire des processus régis à la fois par des équations dynamiques et statiques et permettent de préserver la structure des systèmes physiques. Ils comportent trois types de modes : dynamiques finis, infinis (réponse temporelle impulsive (en cas continu) ou acausale (en cas discret)) et statiques. Dans le cadre du formalisme descripteur, les contributions de cette thèse sont triples : i) revisiter des résultats existants pour les systèmes d'état, ii) étendre certains résultats classiques au cas des systèmes implicites, iii) résoudre rigoureusement des problèmes de commande non standard. Ainsi, le présent mémoire commence par revisiter les résultats concernant la caractérisation LMI stricte de la dissipativité, les caractérisations de l'admissibilité et des performances H2 ou H∞ par LMI étendues et les équations de Sylvester et de Riccati généralisées. Il aborde dans un deuxième temps, le problème de stabilisation simultanée, avec ou sans critère H∞, à travers l'extension de certains résultats récents au cas des systèmes implicites. La solution proposée s'appuie sur la résolution combinée d'une équation algébrique de Riccati généralisée (GARE) et d'un problème de faisabilité sous contrainte LMI stricte. Il traite enfin des problèmes H2 et H∞ non standards : i) en présence de pondérations instables voire impropres, ii) sous contraintes de régulation; dans le cas des systèmes implicites. Ces dernières contributions permettent désormais de traiter rigoureusement, sans approximations ou transformations, de nombreux problèmes H2 ou H∞ formalisant des problèmes pratiques de commande, dont ceux faisant intervenir une pénalisation haute fréquence de la commande ou un modèle interne instable des signaux exogènes.

Les systèmes implicites (dits aussi « descripteurs ») peuvent décrire des processus régis à la fois par des équations dynamiques et statiques et permettent de préserver la structure des systèmes physiques. Ils comportent trois types de modes : dynamiques finis, infinis (réponse temporelle impulsive (en cas continu) ou acausale (en cas discret)) et statiques. Dans le cadre du formalisme descripteur, les contributions de cette thèse sont triples : i) revisiter des résultats existants pour les systèmes d’état, ii) étendre certains résultats classiques au cas des systèmes implicites, iii) résoudre rigoureusement des problèmes de commande non standard. Ainsi, le présent mémoire commence par revisiter les résultats concernant la caractérisation LMI stricte de la dissipativité, les caractérisations de l’admissibilité et des performances H2 ou H∞ par LMI étendues et les équations de Sylvester et de Riccati généralisées. Il aborde dans un deuxième temps, le problème de stabilisation simultanée, avec ou sans critère H∞, à travers l’extension de certains résultats récents au cas des systèmes implicites. La solution proposée s’appuie sur la résolution combinée d’une équation algébrique de Riccati généralisée (GARE) et d’un problème de faisabilité sous contrainte LMI stricte. Il traite enfin des problèmes H2 et H∞ non standards : i) en présence de pondérations instables voire impropres, ii) sous contraintes de régulation; dans le cas des systèmes implicites. Ces dernières contributions permettent désormais de traiter rigoureusement, sans approximations ou transformations, de nombreux problèmes H2 ou H∞ formalisant des problèmes pratiques de commande, dont ceux faisant intervenir une pénalisation haute fréquence de la commande ou un modèle interne instable des signaux exogènes. / The descriptor systems have been attracting the attention of many researchers over recent decades due to their capacity to preserve the structure of physical systems and to describe static constraints and impulsive behaviors. Within the descriptor framework, the contributions of this dissertation are threefold: i) review of existing results for state-space systems, ii) generalization of classical results to descriptor systems, iii) exact and analytical solutions to non standard control problems. A realization independent Kalman-Yakubovich-Popov (KYP) lemma and dilated LMI characterizations are deduced for descriptor systems. The solvability and corresponding numerical algorithms of generalized Sylvester equations and generalized algebraic Riccati equations (GARE) associated with descriptor systems are provided. In addition, the simultaneous H∞ control problem is considered through extending recently reported results. A sufficient condition is proposed through a combination of a generalized algebraic Riccati equation and a set of LMIs. Moreover, the nonstandard H2 and H∞ control problems with unstable and/or nonproper weighting functions or subject to regulation constraints are addressed. These contributions allow, without approximation or transformation, dealing with many practical problems defined within H2 or H∞ control methodologies, where the control signals are penalized at high frequency or unstable internal models specified by external signals is involved.