The degradation and recycling of protein is a process essential for the maintenance and regulation of cellular function. More specifically, in Caulobacter crescentus, the ClpXP protease is responsible for driving progression through the cell cycle and protein quality control. This protease utilizes three known adaptors to selectively degrade proteins that initiate different stages of development. This thesis will elaborate on the specific binding interface on one of these adaptors, PopA, with another, RcdA, and focus in on specific residues on PopA and investigate their roles in adaptor binding and delivery of CtrA, the master regulator of Caulobacter. Finally, I will investigate the relationship between and necessity of these adaptors using a mutant PopA that does not require the presence of RcdA or the other adaptor, CpdR. The remainder of this thesis will present data that arises from these projects.

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Dans le chapitre 1, nous développons le “corps d’Okounkov” pour une (1,1)-classe pseudo-effective sur une variété kählerienne compacte. Nous démontrons la formule de différentiabilité des volumes de classes grosses pour les varétés kähleriennes sur lesquelles les cônes nef modifiés et les cônes nef coı̈ncident. Par conséquent, nous démontrons l’inégalité de Morse transcendante de Demailly pour ces variétés kähleriennes particulières, y compris les surfaces kähleriennes. Ensuite, nous construisons le corps d’Okounkov généralisé pour toute (1,1)-classe grosse, et nous donnons une caractérisation complète des corps d’Okounkov généralisés sur les surfaces. Nous démontrons que cela se rapporte le volume euclidien standard du corps au volume de la classe grosse correspondant défini par Boucksom, ce qui permet de résoudre un problème proposé par Lazarsfeld et Mustaţă dans le cas des surfaces. Nous étudions aussi le comportement des corps d’Okounkov généralisé sur le bord du cône gros.Dans le chapitre 2, nous étudions la dégénérescence des courbes entières qui sont les feuilles de feuilletages sur des variétés projectives. Nous généralisons l’approximation diophantienne de McQuillan pour les feuilletages de dimension 1 avec des singularités absolument isolées. Comme une application, nous donnons une nouvelle preuve du théorème de Brunella, c’est-à-dire, toutes les feuilles d’un feuilletage générique de degré superieur à 2 dans CP^n est hyperbolique. Ensuite, nous introduisons la notion singularités faiblement réduites pour les feuilletages de dimension 1. L’hypothèse de singularités faiblement réduites est moins exigeante que celle de singularités réduites, mais joue le même rôle dans l’étude de la conjecture de Green-Griffiths-Lang. Finalement, nous discutons d’une stratégie pour démontrer cette conjecture pour les surfaces complexes.Dans le chapitre 3, nous démontrons la non-dégénérescence de la mesure de volume au sens de Kobayashi-Eisenman pour une variété dirigée singulière, c’est-à-dire l’hyperbolicité de la mesure au sens de Kobayashi, lorsque le faisceau canonique est gros au sens de Demailly.Dans le chapitre 4, notre premier objectif est de traiter des questions d’effitivité liées aux conjectures de Kobayashi et Debarre, reliant sur le travail de Brotbek et celui en collaboration avec Darondeau. Ensuite, nous combinons ces techniques pour étudier la conjecture sur l’amplitude des fibrés de Demailly-Semple proposés par Diverio et Trapani, et nous obtenons des estimations effectives liées à ce problème. Notre résultat contient à la fois les conjectures de Kobayashi et Debarre, avec certaines estimations effectives.Le but du chapitre 5 est double: d’une part, nous étudions une conjecture du type Fujita proposée par Popa et Schnell, et nous donnons une borne effective linéaire sur la génération globale générique de l’image directe du faisceau pluricanonique tordu. Nous signalons également la relation entre la constante de Seshadri et la borne optimale. D’autre part, nous donnons une réponse affirmative à une question de Demailly-Peternell-Schneider dans un cadre plus général. Comme des applications, nous généralisons les théorèmes de Fujino et Gongyo sur les images des variétés de Fano faibles aux cas KLT, et nous raffinons un résultat de Broustet et Pacienza sur la connexité rationnelle de l’image.Dans le chapitre 6, nous donnons une preuve concrète et constructive de l’équivalence entre la catégorie de fibrés de Higgs semistables de classes de Chern nulles, et celle des représentations linéaires du groupe fondamental d’une variété kählerienne compacte lisse. / In Part 1 of this thesis, we construct “Okounkov bodies” for an arbitrary pseudo-effective (1,1-class on a Kähler manifold. We prove the differentiability formula of volumes of big classes for Kähler manifolds on which modified nef cones and nef cones coincide. As a consequence we prove Demailly’s transcendental Morse inequality for these particular Kähler manifolds; this includes Kähler surfaces. Then we construct the generalized Okounkov body for any big (1,1)-class, and give a complete characterization of generalized Okounkov bodies on surfaces. We show that this relates the standard Euclidean volume of the body to the volume of the corresponding big class as defined by Boucksom; this solves a problem raised by Lazarsfeld and Mustaţă in the case of surfaces. We also study the behavior of the generalized Okounkov bodies on theboundary of the big cone.Part 2 deals with Kobayashi hyperbolicity-related problems. Chapter 2’s goal is to study the degeneracy of leaves of the one-dimensional foliations on higher dimensional manifolds. The first part of Chapter 2 generalizes McQuillan’s Diophantine approximations for one-dimensional foliations with absolutely isolated singularities, on higher dimensional manifolds. As an application, we give a new proof of Brunella’s hyperbolicity theorem, that is, all the leaves of a generic foliation of degree larger than 2 in CP 6n is hyperbolic. In the second part of Chapter 2 we introduce the so-called weakly reduced singularities for one-dimensional foliations on higher dimensional manifolds. The “weakly reduced singularities” assumption is less demanding than the one required for “reduced singularities”, but play the same role in studying the Green-Griffiths-Lang conjecture. Finally we discuss a strategy to prove the Green-Griffiths-Lang conjecture for complex surfaces.In Chapter 3, assuming that the canonical sheaf is big in the sense of Demailly, we prove theKobayashi volume-hyperbolicity for any (possibly singular) directed variety.In Chapter 4, our first goal is to deal with effective questions related to the Kobayashi and Debarre conjectures, relying on the work of Brotbek and his joint work with Darondeau. We then combine these techniques to study the conjecture on the ampleness of the Demailly-Semple bundles raised by Diverio and Trapani, and also obtain some effective estimates related to this problem. Our result integrates both the Kobayashi and Debarre conjectures, with some effective estimates.The purpose of Chapter 5 is twofold: on the one hand we study a Fujita-type conjecture by Popa and Schnell, and give an effective (linear) bound on the generic global generation of the direct image of the twisted pluricanonical bundle. We also point out the relation between the Seshadri constant and the optimal bound. On the other hand, we give an affirmative answer to a question by Demailly-Peternell-Schneider in a more general setting. As applications, we generalize the theorems by Fujino and Gongyo on images of weak Fano manifolds to the Kawamata log terminal cases, and refine a result by Broustet and Pacienza on the rational connectedness of the image.In Chapter 6, we give a concrete and constructive proof of the equivalence between the category of semistable Higgs bundles with vanishing Chern classes and the category of all representations of the fundamental groups on smooth Kähler manifolds. This chapter is written for the complex geometers who are not familiar with the language of differential graded category used by Simpson to prove the above equivalence on smooth projective manifolds, and for those who would like to see an elementary proof of Corlette-Simpson correspondence for semistable Higgs bundles.

Ce travail étend nos connaissances des entropies libres et des équations différentielles stochastiques (EDS) libres dans trois directions. Dans un premier temps, nous montrons que l'algèbre de von Neumann engendrée par au moins deux autoadjoints ayant une information de Fisher finie n'a pas la propriété $Gamma$ de Murray et von Neumann. C'est un analogue d'un résultat de Voiculescu pour l'entropie microcanonique libre. Dans un second temps, nous étudions des EDS libres à coefficients opérateurs non-bornés (autrement dit des sortes d' EDP stochastiques libres ). Nous montrons la stationnarité des solutions dans des cas particuliers. Nous en déduisons un calcul de la dimension entropique libre microcanonique dans le cas d'une information de Fisher lipschitzienne. Dans un troisième et dernier temps, nous introduisons une méthode générale de résolutions d'EDS libres stationnaires, s'appuyant sur un analogue non-commutatif d'un espace de chemins. En définissant des états traciaux sur cet analogue, nous construisons des dilatations markoviennes de nombreux semigroupes complètement markoviens sur une algèbre de von Neumann finie, en particulier de tous les semigroupes symétriques. Pour des semigroupes particuliers, par exemple dès que le générateur s'écrit sous une forme divergence pour une dérivation à valeur dans la correspondance grossière, ces dilatations résolvent des EDS libres. Entre autres applications, nous en déduisons une inégalité de Talagrand pour l'entropie non-microcanonique libre (relative à une sous-algèbre et une application complètement positive). Nous utilisons aussi ces déformations dans le cadre des techniques de déformations/rigidité de Popa / This works extends our knowledge of free entropies, free Fisher information and free stochastic differential equations in three directions. First, we prove that if a $W^{*}$-probability space generated by more than 2 self-adjoints with finite non-microstates free Fisher information doesn't have property $Gamma$ of Murray and von Neumann (especially is not amenable). This is an analogue of a well-known result of Voiculescu for microstates free entropy. We also prove factoriality under finite non-microstates entropy. Second, we study a general free stochastic differential equation with unbounded coefficients (``stochastic PDE"), and prove stationarity of solutions in well-chosen cases. This leads to a computation of microstates free entropy dimension in case of Lipschitz conjugate variable. Finally, we introduce a non-commutative path space approach to solve general stationary free Stochastic differential equations. By defining tracial states on a non-commutative analogue of a path space, we construct Markov dilations for a class of conservative completely Markov semigroups on finite von Neumann algebras. This class includes all symmetric semigroups. For well chosen semigroups (for instance with generator any divergence form operator associated to a derivation valued in the coarse correspondence) those dilations give rise to stationary solutions of certain free SDEs. Among applications, we prove a non-commutative Talagrand inequality for non-microstate free entropy (relative to a subalgebra $B$ and a completely positive map $eta:Bto B$). We also use those new deformations in conjunction with Popa's deformation/rigidity techniques, to get absence of Cartan subalgebra results