Consideramos a predição ótima de valores latentes com base em dados sujeitos a erros de medida endógenos e exógenos, obtidos a partir de uma amostra aleatória de uma população finita. Consideramos o modelo misto para populações finitas (MMPF) com erros de medida exógenos e endógenos usando o enfoque proposto por Stanek et al. (2004) e Stanek & Singer (2004), e calculamos o melhor preditor linear não enviesado (BLUP) do valor latente da i-ésima unidade selecionada na amostra. Quando as variâncias endógenas são heterocedásticas, o preditor obtido sob o MMPF é diferente do preditor obtido sob o modelo misto usual, pois a constante de encolhimento depende da média das variâncias individuais. Utilizamos simulação para comparar o preditor obtido sob o modelo misto usual (utilizado conforme a interpretação usual) com o preditor obtido sob o MMPF, mostrando que apesar do primeiro ser enviesado, ele geralmente apresenta erro quadrático médio (EQM) menor (ou ligeiramente maior) do que aquele obtido sob o MMPF. Adicionalmente, mostramos como utilizar dois pacotes de \\emph estatístico (Proc MIXED do SAS e lme(nlme) do R), construídos sob o modelo misto usual, para ajustar corretamente modelos em situações com erros exógenos e endógenos, heterocedásticos ou homocedásticos. / We consider optimal estimation and prediction of latent values based on data subject to endogenous and exogenous measurement errors, obtained via simple random sample from a finite population. We consider a finite population mixed model (FPMM) with endogenous and exogenous measurement errors proposed by Stanek III et al. (2004) and Stanek III & Singer (2004) and obtained the best linear unbiased predictor (BLUP) of the latent value of the i-th unit selected in the sample. When the endogenous variances are heteroscedastic, the predictor obtained under the FPMM is different than the predictor obtained with the usual mixed model, because the shrinkage constant depends on the average of the individual variances. We consider simulation studies to compare the predictor obtained under the usual mixed model (used according to the usual interpretation) with the predictor obtained under the FPMM, and show that the former is biased, but usually presents smaller (or slightly larger) mean squared error (MSE) than the predictor obtained under the FPMM. Additionally, we indicate how two commonly used statistical software packages (SAS\'s Proc MIXED and R\'s lme(nlme) ) may be employed to fit mixed models in situations with heteroscedastic or homoscedastic exogenous and endogenous errors.

Consideramos a predição ótima de valores latentes com base em dados sujeitos a erros de medida endógenos e exógenos, obtidos a partir de uma amostra aleatória de uma população finita. Consideramos o modelo misto para populações finitas (MMPF) com erros de medida exógenos e endógenos usando o enfoque proposto por Stanek et al. (2004) e Stanek & Singer (2004), e calculamos o melhor preditor linear não enviesado (BLUP) do valor latente da i-ésima unidade selecionada na amostra. Quando as variâncias endógenas são heterocedásticas, o preditor obtido sob o MMPF é diferente do preditor obtido sob o modelo misto usual, pois a constante de encolhimento depende da média das variâncias individuais. Utilizamos simulação para comparar o preditor obtido sob o modelo misto usual (utilizado conforme a interpretação usual) com o preditor obtido sob o MMPF, mostrando que apesar do primeiro ser enviesado, ele geralmente apresenta erro quadrático médio (EQM) menor (ou ligeiramente maior) do que aquele obtido sob o MMPF. Adicionalmente, mostramos como utilizar dois pacotes de \\emph estatístico (Proc MIXED do SAS e lme(nlme) do R), construídos sob o modelo misto usual, para ajustar corretamente modelos em situações com erros exógenos e endógenos, heterocedásticos ou homocedásticos. / We consider optimal estimation and prediction of latent values based on data subject to endogenous and exogenous measurement errors, obtained via simple random sample from a finite population. We consider a finite population mixed model (FPMM) with endogenous and exogenous measurement errors proposed by Stanek III et al. (2004) and Stanek III & Singer (2004) and obtained the best linear unbiased predictor (BLUP) of the latent value of the i-th unit selected in the sample. When the endogenous variances are heteroscedastic, the predictor obtained under the FPMM is different than the predictor obtained with the usual mixed model, because the shrinkage constant depends on the average of the individual variances. We consider simulation studies to compare the predictor obtained under the usual mixed model (used according to the usual interpretation) with the predictor obtained under the FPMM, and show that the former is biased, but usually presents smaller (or slightly larger) mean squared error (MSE) than the predictor obtained under the FPMM. Additionally, we indicate how two commonly used statistical software packages (SAS\'s Proc MIXED and R\'s lme(nlme) ) may be employed to fit mixed models in situations with heteroscedastic or homoscedastic exogenous and endogenous errors.

Uma série de problemas de filas em sistemas de transportes com picos de tráfego, ou um número finito de elementos no sistema, são usualmente representados pelo modelo de fonte infinita, dadas as dificuldades de utilização do modelo exato de fonte finita. Este trabalho apresenta uma solução alternativa baseada no cálculo de um limitante superior para as probabilidades de equilíbrio do modelo exato de fonte finita, e compara as medidas de desempenho dos sistemas calculadas pelos dois modelos. Mostra-se que para índices de congestionamento menores que um, as diferenças entre estas medidas são tanto menores quanto menor for este índice. A partir destes resultados, compara-se as medidas de desempenho do modelo aproximado proposto com as do modelo de população infinita, para diferentes tamanhos de população e números de servidores. Conclui-se que os modelos conduzem a resultados numéricos muito próximos para uma ampla variação do índice de congestionamento, e que estes resultados são tão melhores quanto maior for o número de servidores no sistema e o número de elementos na população. São também apresentados três estudos de casos comparando os resultados induzidos pelos modelos exato, proposto e usual de fonte infinita, que ilustram a aplicabilidade prática dos resultados deste trabalho em sistemas de transportes. / A set of stochastic queueing problems in transportation systems with traffic peaks, or a finite number of elements in the system, are usually represented by the infinite source model, due to the difficulties of applying the exact finite source model. This study presents an alternative solution based on the upper bound values of the equilibrium probabilities of the exact finite source model, and compares the performance measurements of the two models. It is shown that for congestion factors below one, the smaller the value of the congestion factor, the smaller is the difference between the models. Based on this results the measures of performance of the proposed aproximate model are compared with the results of the usual infinite source model for different population sizes and number of servers. It is concluded that the models lead to very close numerical results for a wide range of congestion factors of the system and that these results are the better the larger is the number of servers and the number of elements in the system. Three case studies ilustrating the pratical applicability of the results of this study to transportation systems are also presented.

Uma série de problemas de filas em sistemas de transportes com picos de tráfego, ou um número finito de elementos no sistema, são usualmente representados pelo modelo de fonte infinita, dadas as dificuldades de utilização do modelo exato de fonte finita. Este trabalho apresenta uma solução alternativa baseada no cálculo de um limitante superior para as probabilidades de equilíbrio do modelo exato de fonte finita, e compara as medidas de desempenho dos sistemas calculadas pelos dois modelos. Mostra-se que para índices de congestionamento menores que um, as diferenças entre estas medidas são tanto menores quanto menor for este índice. A partir destes resultados, compara-se as medidas de desempenho do modelo aproximado proposto com as do modelo de população infinita, para diferentes tamanhos de população e números de servidores. Conclui-se que os modelos conduzem a resultados numéricos muito próximos para uma ampla variação do índice de congestionamento, e que estes resultados são tão melhores quanto maior for o número de servidores no sistema e o número de elementos na população. São também apresentados três estudos de casos comparando os resultados induzidos pelos modelos exato, proposto e usual de fonte infinita, que ilustram a aplicabilidade prática dos resultados deste trabalho em sistemas de transportes. / A set of stochastic queueing problems in transportation systems with traffic peaks, or a finite number of elements in the system, are usually represented by the infinite source model, due to the difficulties of applying the exact finite source model. This study presents an alternative solution based on the upper bound values of the equilibrium probabilities of the exact finite source model, and compares the performance measurements of the two models. It is shown that for congestion factors below one, the smaller the value of the congestion factor, the smaller is the difference between the models. Based on this results the measures of performance of the proposed aproximate model are compared with the results of the usual infinite source model for different population sizes and number of servers. It is concluded that the models lead to very close numerical results for a wide range of congestion factors of the system and that these results are the better the larger is the number of servers and the number of elements in the system. Three case studies ilustrating the pratical applicability of the results of this study to transportation systems are also presented.