Dans ma thèse, je décris les feuilles stables et instables pour le flot géodésique sur l’espace des géodésiques non-errant de type espace d’un espace-temps de Margulis et je démontre des propriétés de contraction des feuilles sous le flot. Je montre aussi que la monodromie d’un espace-temps de Margulis est une représentation Anosov dans un groupe de Lie non semisimple. En outre, je montre que les applications limites et reparamétrisation varient analytiquement. Enfin, à l’aide de la propriété métrique Anosov, nous définissons la métrique de pression sur l’espace modulaire des espaces-temps de Margulis sans pointes et je démontre qu’elle est définie positive sur les sections d’entropie constante. / In my thesis I describe the stable and unstable leaves for the geodesic flow on the space of non-wandering spacelike geodesics of a Margulis Space Time and prove contraction properties of the leaves under the flow. I also show that monodromy of Margulis Space Times are “Anosov representations in non semi-simple Lie groups”. Moreover, I show that the limit maps and reparametrizations vary analytically. Finally using the metric Ansosov property we define the Pressure metric on the Moduli Space of Margulis Space Times without “cusps” and show that it is positive definite on the constant entropy sections.

Cette thèse consiste en trois parties que j'ai faites pendant ces trois ans.La première partie va être constituée de l'étude de la distribution de la longueur de corde sur le plan hyperbolique. Nous montrons l'identité de Pleijel pour le plan hyperbolique. En utilisant cette identité, nous remontrons l'identité de formule de Crofton et l'inégalité isopérimétrique pour le plan hyperbolique, et puis nous calculons la distribution de la longueur de corde associée à un triangle idéal et celle associée à un quadrilatère idéal. Ensuit, nous montons les résultats analogues pour les surfaces riemannienne simplement connexes avec la courbure constante. La seconde partie va contribuer aux études de la métrique de pression sur l'espace de Teichmüller d'un tore privé d'un disque. En étudiant la dégénération du tore quand la longueur du bord va à l'infini, nous trouvons la relation de cette métrique avec la métrique de pression sur l'espace modulaires des graphes métriques. Nous montrons ensuite que la fonction de l'entropie n'est pas constante sur les feuilles symplectique de l'espace Teichmüller d'une surface à bord.Finalement, la troisième partie concerne la quantification de l'espace de Teichmüller d'une surface avec les piqûres. nous montrons. Dans ce chapitre, nous étudions l'extension centrale du groupe modulaire via la quantification de Chekhov-Fock et calculons sa classe de cohomologie qui est 12 fois la classe de Meyer plus les classes d'Euler associées aux piqûres. / This thesis consists of three parts corresponding to the three subjects that I have studied during the last three years.The first part contains the study of the chord length distribution associated to a compact (or non-compact) domain in the hyperbolic plane. We prove the hyperbolic Pleijel identity. By using this identity, we find new approaches to the Crofton's formula and the isoperimetric inequality, and then compute the chord length distribution associated to an ideal triangle and that associated to an ideal quadrilateral. Then we prove the analogue results for the simply connected Riemannian surface with constant curvature.The second part of this thesis (Chapter 5) consists of the study of the pressuremetric on the Teichmüller space of one-holed torus. By studying the degeneration of the torus when the boundary length goes to infinity, we find the relation of this metric to the pressure metric on the moduli space of metric graphs. Then we study the entropy function and prove that it is not constant on the symplectic leaf of the Teichmüller space of a bordered surface.Finally, the third part concerns the quantization of the Teichmüller space of a punctured surface. In this chapter, we study the central extension of the mapping class group coming from the quantization and compute its cohomology class which is 12 times the Meyer class plus the Euler classes associated to punctures.