Ce mémoire est une contribution à la résolution du problème d'équivalence pour les variétés de Cauchy-Riemann en dimension inférieure ou égale à 5. On traite d'abord du cas des variétés CR de dimension 5, qui sont 2-nondégénérées et de rang de Levi constant égal à 1. Pour une telle variété, on obtient deux invariants, J et W, dont l'annulation simultanée caractérise l'équivalence locale à une variété modèle, le tube au-dessus du cône de lumière. Si l'un des deux invariants ne s'annule pas, on construit un parallélisme absolu, i.e. on montre que le problème d'équivalence se réduit à un problème d'équivalence entre {e}-structures de dimension 5. On étudie ensuite le problème d'équivalence pour certaines variétés CR de dimension 4 appelées variétés de Engel. Ce problème est résolu par la construction d'une connexion de Cartan sur un fibré principal de dimension 5. On traite ensuite du cas de variétés CR de dimension 5 dont le fibré CR vérifie une certaine hypothèse de dégénérecence. Le problème d'équivalence est résolu dans ce cas par la construction d'une connexion de Cartan sur un fibré de dimension 6. Enfin, on détermine les algèbres de Lie des automorphismes infinitésimaux des modèles pour les trois classes de variétés CR étudiées. / This memoir contributes to solve the equivalence problem for CR-manifolds in dimension up to 5. We first deal with the equivalence problem for 5-dimensional CR-manifolds which are 2-nondegenerate and of constant Levi rank 1. For such a manifold M, we find two invariants, J and W, the annulation of which gives a necessary and sufficient condition for M to be locally CR-equivalent to a model hypersurface, the tube over the light cone. If one of the invariants does not vanish on M, we construct an absolute parallelism on M, that is we show that the equivalence problem reduces to an equivalence problem between 5-dimensional {e}-structures. We then study the equivalence problem for 4-dimensional CR-manifolds which are known as Engel manifolds. This problem is solved by the construction of a canonical Cartan connection on a 5-dimensional bundle through Cartan's equivalence method. We also study the equivalence problem for 5-dimensional CR-manifolds whose CR-bundle satisfies a certain degeneracy assumption, and show that in this case, the problem is solved by the construction of a Cartan connection on a 6-dimensional bundle. The last part of this memoir is devoted to the determination of the Lie algebra of infinitesimal automorphisms for the model manifolds of the three previous classes.

Mon travail de thèse consiste à comprendre une géométrie introduite par Cartan en 1933 \cite{Cartan1933}. \textit{La géométrie de Finsler} présente de nombreuses analogies avec cette théorie. Nous avons étudié les grandes lignes de cette géométrie. Le point de départ de Cartan qui est analogue à celui qui conduit à la géométrie finslerienne, est d'imaginer l'espace comme étant un lieu ''d'éléments de contact'', un élément étant la donnée d'un point $M\in\mathcal{M}^n$ et d'un hyperplan $H$ passant par ce point et orienté dans l'espace tangent $T_M\mathcal{M}^n$. Nous avons ainsi défini \textit{la géométrie de Cartan fondée sur la notion d'aire} dans un premier temps, je me suis intéressé à la notion d'orthogonalité dans cette géométrie. La méthode de Cartan pour étudier le problème d'équivalence est un outil puissant qui est implicitement décrit dans cette géométrie. Nous avons ensuite appliqué cette méthode aux équations de Monge-Ampère (cas elliptique), en s'inspirant des travaux de R. Bryant, D. Grossmann et P. Griffiths. Plusieurs faits ne sont pas encore suffisamment clairs pour disposer d'un dictionnaire évident entre ces travaux et celui donné par Cartan.