Le thème de cette thèse est la théorie spatiale des valeurs extrêmes, et les objets principalement étudiés sont les processus max-stables à trajectoires continues. Nous commençons par déterminer la convergence des maximums de processus stochastiques indépendants, en utilisant la convergence de mesures empiriques vers des processus ponctuels de Poisson. Ensuite, nous déterminons les lois conditionnelles des processus max infiniment divisibles (max-i.d). La représentation des processus max-i.d par des processus ponctuels de Poisson permet l'introduction de notions telles que les fonctions extrémales et le hitting scénario qui permettent d'aboutir au résultat. Les processus max-stables étant des processus max-i.d, nous proposons un algorithme de simulation conditionnelle pour les champs max-stables puis nous l'utilisons pour des applications avec des données de précipitations autour de Zurich et de températures en Suisse. Nous trouvons aussi, une majoration du coefficient de β-mélange entre les restrictions d'un processus max-i.d sur deux sous-ensembles fermés et disjoints d'un espace métrique localement compact. Cette majoration permet d'obtenir de nouveaux critères pour le théorème de la limite central des processus stationnaires mélangeant. Enfin, nous terminons en démontrant qu'un processus stationnaire max-stable vérifiant la propriété de Markov est, quitte à renverser le temps, un processus max-autorégressif d’ordre 1. / The theme of this thesis is spatial extreme value theory and we focus on continuous max-stable processes. We begin with the convergence of the maximum of independent stochastic processes, by using the convergence of empirical measures to Poisson point processes. After that, we determine the regular conditional distributions of max infinitely divisible (max-i.d) processes. The representation of max-i.d. processes by Poisson point processes allows us to introduce the notions of extremal functions and hitting scenario. Our result relies on these new notions. Max-stable processes are max-i.d. processes, so we give an algorithm for conditional sampling and give an application to extreme precipitations around Zurich and extreme temperatures in Switzerland. We also find a upper bound for the β-mixing coefficient between the restrictions of a max-i.d. process on two disjoint closed subsets of a locally compact metric space. This entails a central limit theorem for stationary max-i.d processes. Finally, we prove that the class of stationary maxstable processes with the Markov property is equal, up to time reversal, to the class of stationary max-autoregressive processes of order 1.

Les catastrophes naturelles comme les canicules, les tempêtes ou les précipitations extrêmes, proviennent de processus physiques et ont, par nature, une dimension spatiale ou spatiotemporelle. Le développement de modèles et de méthodes d'inférences pour ces processus est un domaine de recherche très actif. Cette thèse traite de l'inférence statistique pour les événements extrêmes dans le cadre spatial et spatio-temporel. En particulier, nous nous intéressons à deux classes de processus stochastique: les processus spatiaux max-mélange et les processus max-stable spatio-temporels. Nous illustrons les résultats obtenus sur des données de précipitations dans l'Est de l'Australie et dans une région de la Floride aux Etats-Unis. Dans la partie spatiale, nous proposons deux tests sur le paramètre de mélange a d'un processus spatial max-mélange: le test statistique Za et le rapport de vraisemblance par paire LRa. Nous comparons les performances de ces tests sur simulations. Nous utilisons la vraisemblance par paire pour l'estimation. Dans l'ensemble, les performances des deux tests sont satisfaisantes. Toutefois, les tests rencontrent des difficultés lorsque le paramètre a se situe à la frontière de l'espace des paramètres, i.e., a ∈ {0,1}, dues à la présence de paramètre de “nuisance” qui ne sont pas identifiés sous l'hypothèse nulle. Nous appliquons ces tests dans le cadre d'une analyse d'excès au delà d'un grand seuil pour des données de précipitations dans l'Est de l'Australie. Nous proposons aussi une nouvelle procédure d'estimation pour ajuster des processus spatiaux max-mélanges lorsqu'on ne connait pas la classe de dépendance extrêmal. La nouveauté de cette procédure est qu'elle permet de faire de l'inférence sans spécifier au préalable la famille de distributions, laissant ainsi parle les données et guider l'estimation. En particulier, la procédure d'estimation utilise un ajustement par la méthode des moindres carrés sur l'expression du Fλ-madogramme d'un modèle max-mélange qui contient les paramètres d'intérêt. Nous montrons la convergence de l'estimateur du paramètre de mélange a. Une indication sur la normalité asymptotique est donnée numériquement. Une étude sur simulation montrent que la méthode proposée améliore les coefficients empiriques pour la classe de modèles max-mélange. Nous implémentons notre procédure d'estimations sur des données de maximas mensuels de précipitations en Australie dans un but exploratoire et confirmatoire. Dans la partie spatio-temporelle, nous proposons une méthode d'estimation semi-paramétrique pour les processus max-stables spatio-temporels en nous basant sur une expression explicite du F-madogramme spatio-temporel. Cette partie permet de faire le pont entre la géostatistique et la théorie des valeurs extrêmes. En particulier, pour des observations sur grille régulière, nous estimons le F-madogramme spatio-temporel par sa version empirique et nous appliquons une procédure basée sur les moments pour obtenir les estimations des paramètres d'intérêt. Nous illustrons les performances de cette procédure par une étude sur simulations. Ensuite, nous appliquons cette méthode pour quantifier le comportement extrêmal de maximum de données radar de précipitations dans l'Etat de Floride. Cette méthode peut être une alternative ou une première étape pour la vraisemblance composite. En effet, les estimations semi-paramétriques pourrait être utilisées comme point de départ pour les algorithmes d'optimisation utilisés dans la méthode de vraisemblance par paire, afin de réduire le temps de calcul mais aussi d'améliorer l'efficacité de la méthode / Natural hazards such as heat waves, extreme wind speeds, and heavy rainfall, arise due to physical processes and are spatial or spatio-temporal in extent. The development of models and inference methods for these processes is a very active area of research. This thesis deals with the statistical inference of extreme and rare events in both spatial and spatio-temporal settings. Specifically, our contributions are dedicated to two classes of stochastic processes: spatial max-mixture processes and space-time max-stable processes. The proposed methodologies are illustrated by applications to rainfall data collected from the East of Australia and from a region in the State of Florida, USA. In the spatial part, we consider hypothesis testing for the mixture parameter a of a spatial maxmixture model using two classical statistics: the Z-test statistic Za and the pairwise likelihood ratio statistic LRa. We compare their performance through an extensive simulation study. The pairwise likelihood is employed for estimation purposes. Overall, the performance of the two statistics is satisfactory. Nevertheless, hypothesis testing presents some difficulties when a lies on the boundary of the parameter space, i.e., a ∈ {0,1}, due to the presence of additional nuisance parameters which are not identified under the null hypotheses. We apply this testing framework in an analysis of exceedances over a large threshold of daily rainfall data from the East of Australia. We also propose a novel estimation procedure to fit spatial max-mixture processes with unknown extremal dependence class. The novelty of this procedure is to provide a way to make inference without specifying the distribution family prior to fitting the data. Hence, letting the data speak for themselves. In particular, the estimation procedure uses nonlinear least squares fit based on a closed form expression of the so-called Fλ-madogram of max-mixture models which contains the parameters of interest. We establish the consistency of the estimator of the mixing parameter a. An indication for asymptotic normality is given numerically. A simulation study shows that the proposed procedure improves empirical coefficients for the class of max-mixture models. In an analysis of monthly maxima of Australian daily rainfall data, we implement the proposed estimation procedure for diagnostic and confirmatory purposes. In the spatio-temporal part, based on a closed form expression of the spatio-temporal Fmadogram, we suggest a semi-parametric estimation methodology for space-time max-stable processes. This part provides a bridge between geostatistics and extreme value theory. In particular, for regular grid observations, the spatio-temporal F-madogram is estimated nonparametrically by its empirical version and a moment-based procedure is applied to obtain parameter estimates. The performance of the method is investigated through an extensive simulation study. Afterward, we apply this method to quantify the extremal behavior of radar daily rainfall maxima data from a region in the State of Florida. This approach could serve as an alternative or a prerequisite to pairwise likelihood estimation. Indeed, the semi-parametric estimates could be used as starting values for the optimization algorithm used to maximize the pairwise log-likelihood function in order to reduce the computational burden and also to improve the statistical efficiency