Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

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Une coloration des sommets de G s'appelle une b-coloration si chaque classe de couleur contient au moins un sommet qui a un voisin dans toutes les autres classes de couleur. Le nombre b-chromatique b(G) de G est le plus grand entier k pour lequel G a une b-coloration avec k couleurs. Ces notions ont été introduites par Irving et Manlove en 1999. Elles permettent d'évaluer les performances de certains algorithmes de coloration. Irving et Manlove ont montré que le calcul du nombre b-chromatique d'un graphe est un problème NP-difficile et qu'il peut être résolu en temps polynomial pour les arbres. Une question qui se pose naturellement est donc d'enquêter sur les graphes qui ont une structure proche des arbres: cactus, graphes triangulés, graphes série-parallèles, "block" graphes, etc. Dans cette thèse, nous généralisons le résultat d'Irving et Manlove pour les cactus dont le "m-degré" est au moins 7 et pour les graphes planaires extérieurs dont la maille est au moins 8. (Le m-degré m(G) est le plus grand entier d tel que G a au moins d sommets de degré au moins d −1.) Nous démontrons un résultat semblable pour le produit cartésien d'un arbre par une chaîne, un cycle ou une étoile. Pour ce qui concerne les graphes dont les blocs sont des cliques, nous montrons que le problème avec un nombre de couleurs fixé peut être résolu en temps polynomial et nous présentons des cas où le problème de décision peut être résolu. Toutefois, nous avons constaté que la différence m(G)−b(G) peut être arbitrairement grande pour les graphes blocs, ce qui montre qu'avoir une structure arborescence n'est pas suffisant pour que le graphe satisfasse b(G)>= m(G) − 1.