Este trabalho é composto de duas partes distintas, ambas dentro de um mesmo tema: núcleos positivos definidos sobre variedades. Na primeira delas fornecemos uma caracterização para os núcleos contínuos, isotrópicos e positivos definidos a valores matriciais sobre um espaço compacto 2-homogêneo. Utilizando-a, investigamos a positividade definida estrita destes núcleos, apresentando inicialmente algumas condições suficientes para garantir tal propriedade. No caso em que o espaço 2-homogêneo não é uma esfera, descrevemos uma caracterização definitiva para a positividade definida estrita do núcleo. Neste mesmo caso, para núcleos a valores no espaço das matrizes de ordem 2, apresentamos uma caraterização alternativa para a positividade definida estrita do núcleo via os dois elementos na diagonal principal da representação matricial do núcleo. Na segunda parte, nos restringimos a núcleos positivos definidos escalares sobre os mesmos espaços e determinamos condições necessárias e suficientes para a positividade definida estrita de um produto de núcleos positivos definidos sobre um mesmo espaço compacto 2-homogêneo. Apresentamos ainda uma extensão deste resultado para núcleos positivos definidos sobre o produto cartesiano de um grupo localmente compacto com uma esfera de dimensão alta, mantendo-se a isotropia na componente esférica. / In this work we present a characterization for the continuous, isotropic and positive definite matrix-valued kernels on a compact two-point homogeneous space. After that, we consider the strict positive definiteness of the kernels, describing some independent sufficient conditions for that property to hold. In the case the space is not a sphere, one of the conditions becomes necessary and sufficient for the strict positive definiteness of the kernel. Further, for 22- matrix-valued kernels on a compact two-point homogeneous space which is not a sphere, we present a characterization for the strict positive definiteness of the kernels based upon the main diagonal elements in its matrix representation. In the last part of this work, we restrict ourselves to scalar kernels and determine necessary and sufficient conditions in order that the product of two continuous, isotropic and positive definite kernels on a compact two-point homogeneous space be strictly positive definite. We also discuss the extension of this result for kernels defined on a product of a locally compact group and a high dimensional sphere.

Este trabalho é composto de duas partes distintas, ambas dentro de um mesmo tema: núcleos positivos definidos sobre variedades. Na primeira delas fornecemos uma caracterização para os núcleos contínuos, isotrópicos e positivos definidos a valores matriciais sobre um espaço compacto 2-homogêneo. Utilizando-a, investigamos a positividade definida estrita destes núcleos, apresentando inicialmente algumas condições suficientes para garantir tal propriedade. No caso em que o espaço 2-homogêneo não é uma esfera, descrevemos uma caracterização definitiva para a positividade definida estrita do núcleo. Neste mesmo caso, para núcleos a valores no espaço das matrizes de ordem 2, apresentamos uma caraterização alternativa para a positividade definida estrita do núcleo via os dois elementos na diagonal principal da representação matricial do núcleo. Na segunda parte, nos restringimos a núcleos positivos definidos escalares sobre os mesmos espaços e determinamos condições necessárias e suficientes para a positividade definida estrita de um produto de núcleos positivos definidos sobre um mesmo espaço compacto 2-homogêneo. Apresentamos ainda uma extensão deste resultado para núcleos positivos definidos sobre o produto cartesiano de um grupo localmente compacto com uma esfera de dimensão alta, mantendo-se a isotropia na componente esférica. / In this work we present a characterization for the continuous, isotropic and positive definite matrix-valued kernels on a compact two-point homogeneous space. After that, we consider the strict positive definiteness of the kernels, describing some independent sufficient conditions for that property to hold. In the case the space is not a sphere, one of the conditions becomes necessary and sufficient for the strict positive definiteness of the kernel. Further, for 22- matrix-valued kernels on a compact two-point homogeneous space which is not a sphere, we present a characterization for the strict positive definiteness of the kernels based upon the main diagonal elements in its matrix representation. In the last part of this work, we restrict ourselves to scalar kernels and determine necessary and sufficient conditions in order that the product of two continuous, isotropic and positive definite kernels on a compact two-point homogeneous space be strictly positive definite. We also discuss the extension of this result for kernels defined on a product of a locally compact group and a high dimensional sphere.