Tableau d’honneur de la Faculté des études supérieures et postdoctorales, 2010-2011 / Dans la première partie, nous étudions le comportement au bord des fonctions dans les espaces de Dirichlet pondérés D(u). Une fonction analytique f sur le disque unité appartient à D(u) si le carré du module de sa dérivée est integrable par rapport à la mesure Pu dA, où Pu est l'intégrale de Poisson de la mesure positive u et dA est la mesure d'aire sur le disque unité. Pour étudier ces fonctions, nous introduisons une capacité cu qui généralise la capacité logarithmique. Nous prouvons que cu est une capacité au sens de Choquet. Nous montrons que les fonctions de D(u) sont quasi-continues par rapport à la capacité cu, permettant de définir une fonction f(ei0) sur le cercle unité à un ensemble de cu capacité nulle près. À l'aide de cette fonction, nous pouvons étudier les sous-espaces invariants pour l'opérateur shift sur D(u). Dans le cas où u est une somme finie de mesures de Dirac, nous donnons une description complète des sous-espaces invariants. Dans la deuxième partie, nous étudions les espaces de de Branges-Rovnyak H(b) lorsque b est un point non extrême de la boule unité de H°°. Lorsque u est une mesure de Dirac, l'espace D(u) coïncide avec un tel espace, avec égalité des normes. Nous prouvons que c'est le seul cas possible. Nous étudions ensuite la relation qui existe entre les espaces de Dirichlet et les espaces de de Branges-Rovnyak. Nous prouvons une formule de transfert permettant d'exprimer la norme dans 1i(b) comme une intégrale de Dirichlet. Nous montrons aussi une formule pour la norme dans H (b) analogue à une formule donnée par Shimorin pour l'intégrale de Dirichlet locale. Finalement, nous étudions la validité de l'approximation fr(z) = f(rz) ?¿ f(z) lorsque r ?¿ 1- dans H(b).