Η παρούσα εργασία χωρίζεται σε δύο μέρη. Στην εισαγωγή γίνεται μια ιστορική ανασκόπηση. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται όλες εκείνες οι βασικές εισαγωγικές έννοιες που χρησιμοποιούνται από τη θεωρία του χάους και στο τρίτο κεφάλαιο γίνεται μια στοιχειώδης σύνοψη της Κβαντομηχανικής, τονίζονται οι διαφορές από την κλασική θεωρία και επιχειρείται μια πρώτη προσέγγιση στο ερώτημα "μπορεί να υπάρξει κβαντικό χάος"; Επίσης γίνεται μια πρώτη αναφορά για τις στατιστικές κατανομές ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων που παρατηρούνται στα κβαντομηχανικά συστήματα και βγαίνουν τα πρώτα θεωρητικά συμπεράσματα. Το δεύτερο μέρος είναι αφιερωμένο στα κβαντικά μπιλιάρδα. Το τέταρτο κεφάλαιο ασχολείται με τις στατιστικές ιδιότητες των ιδιοτιμών και των ιδιοσυναρτήσεων. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζεται αναλυτικά η μέθοδος μετασχηματισμού εφελκυσμού η οποία είναι και η μέθοδος που ακολουθήθηκε για την εξαγωγή των ιδιοτιμών στα πειραματικά μας δεδομένα. Επίσης παρουσιάζεται το μπιλιάρδο του Robnik και διάφορα άλλα μπιλιάρδα. Τέλος παρουσιάζονται τα συμπεράσματα από τη στατιστική ανάλυση των ιδιοτήτων των παραπάνω μπιλιάρδων. Επίσης υπάρχουν και τέσσερα παραρτήματα που αφορούν τη Θεωρία τυχαίων μητρών, Θεωρία διαταραχών, Στοιχειώδη τανυστική ανάλυση και άλλες αριθμητικές μεθόδους υπολογισμού των ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων κβαντικών μπιλιάρδων. / -

Orientador: Prof. Dr Gustavo Michel Mendoza La Torre / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Física, 2014. / Classical billiards are versatile models for detecting efects of the billiard table over dynamical properties of Hamiltonian systems. Similarly, quantum billiards are ultra-small versions of the same table but now their properties are re ected on eigenvalues of the stationary Schrodinger equation for certain boundary conditions. Integrable and chaotic signatures must distinguish systems at any scale in order to ensure quantum-classical correspondence in the limit ~ ! 0. We demonstrate the classical properties that characterize system dynamics. Also, two intermediate cases are added to debate - mixed and pseudointegrable - for the understanding of possible transitions between dierent dynamics. To do so, the role of action-angle variables in Hamiltonian maps must be discussed. In the quantum context, we seek for ngerprints of classical properties through a systematic study on Local Density of States (LDOS) generated by Green's function numerical methods applied to a lattice representing a Tight-Binding Hamiltonian. We analyze scatisticically the distributions of LDOS from ground state to suciently high levels of energy, trying to identify new characteristics of these systems. This study aims to stimulate experimental measures on LDOS capable to map these signatures through an AFM tip (Atomic Force Microscopy).